Ex Conhecimento Álgebra Linear

Pergunta 1 A propriedade comutativa também é aplicada no conceito de matrizes, mas a multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa em geral. Há casos em que a multiplicação de matrizes comuta. A alternativa em que duas matrizes obedecem a propriedade comutativa na multiplicação é: A) 1 1 0 1 0 1 B) 2 4 3 2 4 3 C) 2 1 0 1 0 2 D) 1 0 2 3 0 1 0 3 E) 1 1 2 1 1 2 Resposta correta Comentários #Solução: Na propriedade comutativa da multiplicação de matrizes, temos que a ordem dos fatores pode alterar o resultado. Nas matrizes da alternativa C, mesmo trocando a ordem dos fatores, o resultado da multiplicação continua sendo o mesmo: 1 0 2 3 0 1 0 3 3 0 1 0 3 0 3 e 3 x 0 + 0 3 8 x 1 0 + 0 3 3 1 2 0 1 2 0 0 x 3 + 0 x 3 + 0 3 8 x 1 0 + 0 3 Pergunta 2 Uma fábrica de automóveis calcula o custo na confecção x peças usadas nos motores substituindo o valor de x, da matriz a seguir, pela quantidade de peças que irá produzir e, assim, resolve-se o determinante da matriz, conseguindo o custo total na produção. x 1 1 0 0 -100 0 -1 0 1 Então, para se produzir 70 peças, pode-se afirmar que o custo total será de: A) R$ 2.500,00 B) R$ 3.100,00 C) R$ 4.100,00 D) R$ 3.500,00 E) R$ 2.100,00 Resposta correta Comentários #Solução Fazendo o determinante: x . (-x) . 1 + 1 . 100 . 0 + 0 . 0 . (-1) - 0 . (-x) . 0 - (-1) . 100 . x - 1 . 0 . 1 Det = -x² + 100 . x Substituindo x = 70, temos: Det = -70² + 100 . 70 Det = -4900 + 7000 Det = 2100 Pergunta 3 Um aluno da escola Acreditar, quer comprar material escolar e possui uma quantidade de dinheiro onde é possível comprar 5 cadernos do tipo A que possuem o mesmo valor, e sobram R$ 2,50. Ou pode comprar, com a mesma quantidade de dinheiro, 7 cadernos do tipo B, de mesmo valor, e lhe sobra R$ 0,50. Se o caderno do tipo B custa R$ 1,00 a menos que o caderno do tipo A, então, o preço de um caderno do tipo B é: A) R$ 3,50. B) R$ 3,80. C) R$ 4,20. D) R$ 4,90. E) R$ 4,60. Resposta correta Comentários Solução: Seja x o valor do caderno tipo A e y o valor do caderno do tipo B. Assim, temos o sistema com duas equações: (1) 5x + 2,50 = 7y + 0,50 (2) y = x - 1,00 substituindo a segunda equação na primeira equação e resolvendo, fica 5x + 2,50 = 7(x - 1,00) + 0,50 5x + 2,5 = 7x - 7 + 0,5 7x - 6,5 = 5x + 2,5 7x - 5x = 2,5 + 6,5 2x = 9 x = 9/2 = 4,50 Agora determinando o valor de y: y = x - 1,00 = 4,50 - 1,00 = 3,50 Pergunta 4 O procedimento chamado de diagonalização de matriz consiste em, sempre que possível, formar uma base do espaço R^n, apenas com autovetores de uma matriz quadrada A, sendo assim, possível fazer uma mudança de base tal que se consegue uma matriz diagonal com os autovalores. Para determinar a diagonalização de uma matriz devemos seguir alguns passos matemáticos. A alternativa que apresenta um dos passos correto para resolver a diagonalização de uma matriz é: Ocultar opções de resposta A Calcular todos os autovalores e autovetores associados a matriz inversa A^-1. B Calcular todos os auto espaços associados. C Calcular o polinômio característico p(A) = det(A). D Calcular o polinômio característico p(A) = det(A - λI). E Calcular as raízes do polinômio característico p(A) = det(λI). Comentários Solução: Um dos passos a ser executado é calcular o polinômio característico p(A)=det(A-λI), onde uma quantidade significativa de cálculos é exigida e aumenta de acordo com a dimensão do problema. Pergunta 5 Considere o vetor u = (x, y, z, t) do R^4. Das aplicações abaixo, qual é definida como aplicação lineares do R^4? Ocultar opções de resposta A F(u) = (1, 0, 1, 1) B F(u) = (x, y - z, y + z, x + t) C F(u) = (senx, y, z, t) D F(u) = u + (1, 0, 1, 0) E F(u) = (cosx, y, z, t) Comentários Solução: Sendo u = (x, y, z, t), e v = (x1, y1, z1, w1), então u + v = (x + x1, y + y1, z + z1, t + t1) assim, F é linear, pois (i) F(u + v) = F(x1 + x1, y + y1, z + z1, t + t1) = F(u + v) = (x + x1, (y + y1) - (z + z1), (y + y1) + (z + z1), (x + x1) + (t + t1) ) F(u + v) = (x, y - z, y + z, x + t) + (x1, y1 - z1, y1 + z1, x1 +t1) F(u + v) = F(u) + F(v) (ii) F(ku) = F(k(x, y, z, t)) F(ku) =( kx, k(y − z), k(y + z), k(x + t)) F(ku) = k(x, y − z, y + z, x + t) F(ku) = kF(u)