Prova Discursiva Álgebra Linear

As equações paramétricas da reta são utilizadas para determinar um subespaço gerado, que representa uma reta que passa pela origem. Considerando os vetores \( \vec{v_1} = (1,2,0) \) e \( \vec{v_2} = (-2,1,1) \), assinale a alternativa que representa o valor de \( m \) para que o vetor \( \vec{v_3} = (1,m,1) \) pertença ao subespaço gerado. A 6 B 8 C 7 D 9 E 10 GABARITO (Capítulo 4 – Combinação Linear – Página 94) Primeiramente para determinar o valor de m vamos determinar o subespaço gerado entre \( \vec{v_1} \) e \( \vec{v_2} \) \( \vec{v} = a\vec{v_1} + b\vec{v_2} \) \( (x,y,z) = a(1,2,0) + b(-2,1,1) \) \[a-2b=x \quad (1) \] \[2a+b=y \quad (2) \] \[z=b \quad (3) \] Nota-se que \( b=z \) Substituindo o valor de b na equação (2) \[2a+b=y \quad 2a+z=y \quad 2a=y-z \quad a=\frac{y-z}{2}\] Substituindo os valores de a e b na equação (1) \[a-2b=x \quad \frac{y-z}{2} - 2z = x \quad y-z-4z=2x \Rightarrow 2x-y+5z=0\] Para determinar m basta substituir o vetor no subespaço vetorial gerado \[2(1) - m + 5(1) = 0\] \[2 - m + 5 = 0\] \[7 - m = 0\] \[m = 7\] Logo o valor de \( m \) para que o vetor \( \vec{v_3} = (1,m,1) \) pertença ao subespaço gerado é 7. Uma combinação linear é expressa a partir de um conjunto de vetores realizando operações como soma e multiplicação, permitindo assim obter novos vetores a partir de outros vetores. Sejam os vetores \( \vec{u} = (2,1,3), \vec{v} = (1,0,1) \) e \( \vec{w} = (2,1,0) \) em \( \mathbb{R}^3 \). De acordo com a definição de combinação linear \( \vec{m} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} \), onde o vetor \( \vec{m} = (3,0,9) \), assinale a alternativa que representa os valores das constantes \( a, b, c \) respectivamente. A 2, 5 e 3 B 3, 6 e 9 C 2, 3 e -2 Solução: Capítulo 4 – Espaços Vetoriais Euclidianos (página 88 – Combinação Linear) Iniciamos a solução escrevendo os vetores em forma de combinação linear: \( \vec{m} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} \) Substituindo os vetores \((3,0,9) = a(2,1,3) + b(1,0,1) + c(2,1,0)\) Escrevendo em forma de sistema linear \[2a+b+2c=3\] \[a+c=0\] \[3a+b=9\] Utilizando o método da substituição para a resolução do sistema, isolamos a letra \( c \) na segunda linha \[a+c=0\] \[c=-a\] Capítulo 4 – Espaços Vetoriais Euclidianos (página 88 – Combinação Linear) Iniciamos a solução escrevendo os vetores em forma de combinação linear: \( \vec{m} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} \) Substituindo os vetores \((3,0,9) = a(2,1,3) + b(1,0,1) + c(2,1,0)\) Escrevendo em forma de sistema linear \[2a+b+2c=3\] \[a+c=0\] \[3a+b=9\] Utilizando o método da substituição para a resolução do sistema, isolamos a letra \( c \) na segunda linha \[a+c=0\] \[c=-a\] Determinando os valores de \( b \) e \( c \) Substituindo em \( b \) o valor de \( a \) \[b=9-3a\] substituindo em \( c \) o valor de \( a \) \[c=-a\] \[c=-2\] Portanto os valores das constantes \( a, b, c \) são: \[a=2, b=3 \text{ e } c=-2\] Determinando os valores de \( b \) e \( c \) As transformações lineares possuem os elementos de domínio, contradomínio e imagem, assim como as funções com números reais. O núcleo de uma transformação linear é todo vetor 𝑣 do domínio que, quando aplicada a transformação linear, leva a um vetor nulo do contradomínio. Assinale a alternativa que apresenta o núcleo da transformação linear dada por: T: R^3 \rightarrow R^2, T(x,y,z) = (2x+y,x−z) A ☐ ker T = {(x, 2x) / x ∈ R} = {x(1, 2) / x ∈ R} B ☐ ker T = {(y, y) / y ∈ R} = {y(1, 1) / y ∈ R} C ☐ ker T = {(2z, −z) / z ∈ R} = {z(2, −1) / z ∈ R} D ☑ ker T = {(−z, z) / z ∈ R} = {z(−1, 1) / z ∈ R} E ☐ ker T = {(−x, −x) / x ∈ R} = {x(−1, −1) / x ∈ R} GABARITO (Capítulo 5 – Combinação Linear – Página 144) T : R^3 \rightarrow R^2 , T ( x , y , z ) = ( 2 x + y , y − z ) Para determinar o núcleo da transformação linear, escrevemos: { 2 x + y + z , y − z ) = ( 0 , 0 ) \n} \ { 2 x + y + z = 0 \ \hspace{0.5cm} ( 1 ) \ \ \ \ y − z = 0 \ \hspace{0.5cm} \ ( 2 ) } \n\ {( 1 ) x = − z \ \ ( 2 ) y = z \n Portanto ker T = {(−z,z)/z∈R}={z(−1,1)/z∈R} Em muitos momentos na matemática é importante que ao determinar uma base de um espaço vetorial V, obtenha-se o menor conjunto de vetores no espaço, representando completamente V. Com base nos conceitos de Base de um espaço vetorial V, avalia as afirmativas: I) Para que seja uma base de um espaço vetorial V, o conjunto de vetores devem ser LI. II) Para que seja uma base de um espaço vetorial V, o conjunto de vetores devem ser LD. III) Para que seja uma base de um espaço vetorial V, o conjunto de vetores devem ser geradores do espaço vetorial IV) Para que seja uma base de um espaço vetorial V, os autovalores devem ser distintos. É correto o que se afirmar apenas em: Ocultar opções de resposta A) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras. B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. C) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. D) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. E) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. Comentários Solução: Capítulo 4 – Espaços Vetoriais Euclidianos (página 113 – Base e Dimensão) Para determinação de uma base de um espaço vetorial V é necessário que o conjunto de vetores sejam Linearmente Independentes e que gera o conjunto de vetores. Portanto apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. Pergunta 7 Para que seja possível determinar uma base de um espaço vetorial V, o qual nos proporciona o menor conjunto de vetores, é necessário que esse conjunto seja linearmente independente. Utilizando os conceitos de dependência e independência linear, avalie as afirmativas: I. O conjunto de vetores {[2,1,1], [1,-2,-1]} são linearmente independentes II. O conjunto de vetores {[1,1,0], (-1,0,1), (0,0,0)} são linearmente dependentes III. O conjunto de vetores {[2,1,1], (-1,2,1), (1,-2,-1]} são linearmente dependentes IV. O conjunto de vetores {[2,1,-3], (4,6,-2), (4,2,-6]} são linearmente independentes É correto o que se afirma em: Mostrar opções de resposta A) Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras B) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras C) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras D) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras E) Apenas as afirmativas II e III são verdadeira Comentários GABARITO (Capítulo 4 – Combinação Linear – Página 100) Analisando cada uma das afirmativas, temos: I. O conjunto de vetores {[2,1,1], [1,-2,-1]} são linearmente independentes Falso, pois o número de equações é menor que o número de variáveis. II. O conjunto de vetores {[1,1,0], (-1,0,1), (0,0,0)} são linearmente dependentes Verdadeiro, pois todo conjunto de vetores que possui o vetor nulo é linearmente dependente. III. O conjunto de vetores {[2,1,1], (-1,2,1), (1,-2,-1]} são linearmente dependentes Verdadeiro, pois o segundo vetor é múltiplo escalar do terceiro vetor. IV. O conjunto de vetores {[2,1,-3], (4,6,-2), (4,2,-6]} são linearmente independentes Falso, o conjunto de vetores são linearmente dependentes, pois o primeiro vetor é múltiplo escalar do terceiro vetor. Logos as afirmativas verdadeiras são II e a III apenas. Pergunta 8 Um engenheiro mecânico está desenvolvendo um projeto que consiste fazer em um robô faça a revisão de uma máquina de produção de peças, par isso foi necessário desenvolver um software que calcula basicamente todos os ajustes a serem feitos na máquina a partir de uma transformação linear. Toda vez que a soma dos autovalores for zero, o robô indica que a máquina não apresentava defeito e toda vez que a soma dos autovalores for diferente de zero, a máquina precisava de manutenção. Se em um certo dia, os dados inseridos no software foi: T: R² -> R², T(x,y) = (-x+4y, 2x-y) Podemos afirmar que: I. Nada se pode concluir II. A máquina precisa de manutenção III. A máquina não precisa de manutenção IV. Os autovalores são: λ¹=2 e λ²=2 V. Os autovalores são: λ¹=3 e λ²=-5 É correto o que se afirma em: A Apenas a afirmativa II está correta. B Apenas a afirmativa I está correta. C Apenas as afirmativas II e V estão corretas. D Apenas as afirmativas II e IV estão corretas. E Apenas a afirmativa III está correta.