Exercícios 2 Álgebra Linear

Pergunta 1\nSeja T: R2->R2 uma transformação linear, definida por:\nT(x,y) = f(x,y) = (x-2y,x).\nDetermine a matriz de transformação, considerando a base canônica de R2.\nOcultar opções de resposta \nA) T = [0 -2; 0 1] \nB) T = [-1 -2; 1 0] \nC) T = [-1; 2; 5] \nD) T = [1; 1; -2] \nE) T = [1 1; 1 1] \nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nA transformação linear é definida por T(x,y) = f(x,y) = (x-2y,x). Logo, na forma matricial podemos escrever T[x;y] como T(x,y) = f(x-2y,x) de forma que T = [-1 -2; 1 0] se escrevemos T.x Pergunta 2\nDizemos que u é uma combinação linear dos vetores v1, v2, v3 quando existem números reais, a1, a2 e a3 tais que\nu = a1v1 + b1v2 + c1v3\nConsidere os vetores\n→ u = (9,3,1) \n→ v1 = (1,2,-1) \n→ v2 = (2,0,1) \n→ v3 = (1,-1,0) \nAssinale a alternativa que descreve o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 \nA) u = 2v1 - 2v2 - v3 \nB) u = 2v1 + 3v2 + v3 \nC) u = 2v1 - 2v2 + v3 \nD) u = v1 + 2v2 - v3 \nE) u = v1 - 2v2 - v3 Comentários\nGabarito\nEscrevendo em forma de combinação linear, temos: u = a1v1 + b1v2 + c1v3\nSubstituindo os vetores\n(9,3,1) = a(1,2,-1) + b(2,0,1) + c(1,-1,0)\n(9,3,1) = (a,2a,-a) + (2b,0,b) + (c,-c,0)\n{ a + 2b + c = 9 equação (1) \n2a - c = 3 equação (2) \n-a + b = 1 equação (3) }\nIsolando b na equação (3)\n-a + b = 1\nb = 1 + a\nIsolando c na equação (2)\n2a - c = 3\n-c = 3 - 2a\n(-1)\nc = -3 + 2a Consideré os vetores v1=(-1,3), v2=(3,2) e v3=(7,1) em R2. Dada a transformação linear T(x,y)=(x+y,y), considere as seguintes assertivas e marque a alternativa correta.\n1. T(-1,3)=(2,-4)\n2. T(3,2)=(5,1)\n3. T(7,1)=(8,6)\n\nAssinale a alternativa correta:\n\nOcultar opções de resposta\nA) I e II, apenas\nB) II e III, apenas\nC) I e III, apenas\nD) I, apenas\nE) I e II, apenas\n\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nA afirmativa I é correta, pois T(-1,3)=(2,-4)\nA afirmativa II é correta, pois T(3,2)=(5,1)\nA afirmativa III é incorreta, pois T(7,1)=(8,6) Seja a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y). Assinale a alternativa que apresenta a alternativa verdadeira.\n\nOcultar opções de resposta\nA) T(5,2)=(5,2)\nB) T(5,2)=(2,9)\nC) T(5,2)=(2,5)\nD) T(5,2)=(1,1)\nE) T(5,2)=(9,2)\n\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nComo em T(5,2), x=5 e y=2, temos que:\nT(x,y)=(x+2y,y)=(5+2*2,2)=(9,2). Determine a matriz da transformação linear definida por T(x,y)=(4x+5y,2x+y).\n\nOcultar opções de resposta\nA) [4 -5; 6 -1]\nB) [4 -2; -2 1]\nC) [4 5; 1]\nD) [4 -5; 2 1]\nE) [4 5; 2 1]\n\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nSendo a matriz da transformação linear definida por Tx, temos que T=[4 5; 2 1][x;y] define essa transformação linear. Considere os vetores no R3, u=(1,2,3), v=(3,4,5) e w=(8,1,2). Dado que dois vetores são ortogonais e seu produto interno é zero, assinale a alternativa correta.\n\nOcultar opções de resposta\nA Os três vetores são ortogonais.\nB Não existe produto interno entre esses vetores.\nC Incorreto: Apenas os vetores u e w são ortogonais.\nD Apenas os vetores u e v são ortogonais.\nE Os vetores u, v e w não são ortogonais entre si.\n\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\n\nEfetuando o produto interno entre os vetores, verificamos que:\nu.w=(1)(8)+(2)(1)+(3)(2)=5=4\nu.v=(1)(3)+(2)(1)+(3)(1)=2+1+3=6\nw.v=(3)(8)+(1)(-2)+(2)(-3)=30\napenas u e w têm produto interno igual a zero. Logo, apenas u e w são ortogonais. Pergunta 7\n\nDizemos que u é uma combinação linear dos vetores v1 e v2, quando existem números reais, a e b tais que:\nu = a v1 + b v2\n\nConsidere os vetores\n\nu = (14,10)\nv1 = (1,1)\nv2 = (3,-2)\n\nAssinale a alternativa que descreve os valores de a e b.\n\nOcultar opções de resposta\nA a = 3 e b = -2\nB a = 1 e b = 2\nC a = 2 e b = 4\nD a = 2 e b = 2\nE a = 1 e b = -2. Pergunta 8\n\nSeja a transformação linear dada por:\nT(x,y)=(x+y,2x+2x).\nMarque a alternativa que apresenta o valor de T(2,3).\n\nOcultar opções de resposta\nA T(2,3)=(3,2)\nB T(2,3)=(1,1)\nC T(2,3)=(5,10)\nD T(2,3)=(2,3)\nE T(2,3)=(2,10)\n\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nComo x=2 e y=3, temos:\nT(x,y)=T(2,3)=(2+3,2.2+2.3)=(5,10). Pergunta 9\nConsidere a transformação definida por T(x,y,z)=(1,2,x+y+z)\nLeia as afirmativas abaixo e marque a alternativa correta:\nSendo assim, analise as sentenças a seguir e assinale V se a sentença for verdadeira e F se a sentença for falsa:\n• ( ) T é uma transformação linear.\n• ( ) 0 núcleo de T é N(T)={((0,0,0))}\n• ( ) JT(1,1,1)=(1,2,3)\n• ( ) .\n• ( ) .\nA sequência correta é:\nOcultar opções de resposta\nA F, V, V\nB V, F, F\nC V, V, F\nD F, F, V\nE V, V, V\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nObservamos que T não é uma transformação linear, visto que: T(1,1)+T(2,2,2) não é igual a T(3,3,3)! Além disso, o núcleo desse conjunto é o conjunto vazio. Mas, ao usar a transformação, observamos que: T(1,1,1)=(1,2,3) Pergunta 10\nSeja uma transformação linear dada por: T(x,y)=(x-y,x+y)\nMarque a alternativa verdadeira:\nOcultar opções de resposta\nA Essa transformação leva vetores pertencentes a bissetriz dos quadrantes ímpares ao plano.\nB Essa transformação leva vetores do plano a outros vetores do plano.\nC Essa transformação leva vetores do espaço tridimensional ao espaço tridimensional.\nD Essa transformação leva vetores do espaço tridimensional ao plano.\nE Essa transformação leva vetores do plano a vetores do espaço tridimensional.\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nNote que a transformação possui como entrada vetores do plano e valores de saída, vetores do espaço tridimensional (3 coordenadas). Pergunta 1\nDetermine a matriz da transformação linear definida por T(x,y)=(4x+5y,2x+y)\nOcultar opções de resposta\nA [2;5;1]\nB [4;5;2;1]\nC [-4;-5;-2;1]\nD [-2;-2;1]\nE [-4;-5;-6;1]\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nSendo a matriz de transformação linear definida por Tx, temos que T=[4;5;2;1][xy] define essa transformação linear. Pergunta 2\nSeja T:R2->R2 uma transformação linear, definida por:\nT(x,y)=T(x,y)=(x-2y,x). Determine a matriz de transformação, considerando a base canônica de R2.\n\nOcultar opções de resposta A\nA:T=[0; 2 | 0]\nB:T=[-2; 1 | 0]\nT=[1; 1 | 1]\nC:D:T=[1; 2 | 1]\nD:E:T=[1; 1 | 2]\n\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nA transformação linear é definida por T(x,y)=(x-2y,x). Logo, na forma matricial podemos escrever T[x;y] como T(x;y)=(x-2y,x) de forma que T=[ ] e se escrevemos TX Dizemos que \n u é uma combinação linear dos vetores v1 e v2, quando existem números reais, a e b tais que:\n u = a*v1 + b*v2.\n\nConsidera os vetores\n u = (14,10)\n v1 = (1,1)\n v2 = (3,-2)\n\nAssinale a alternativa que descreve os valores de a e b.\n\nOcultar opções de resposta \nA\na = 3 e b = -2\nB\na = 2 e b = 2\nC\na = 2 e b = 4\nD\na = 1 e b = -2\nE\na = 1 e b = -2 Pergunta 4\nConsidere os vetores v1=(-1,3), v2=(-3,2) e v3=(7,1) em R2. Dada a transformação linear T(x,y)=(x-y,y), considere as seguintes assertivas e marque a alternativa correta.\nAssinale a alternativa correta:\n\nOcultar opções de resposta A\nI, apenas\nB\nI e II, apenas\nC\nII, apenas\nD\nIII, apenas\nE\nI e III, apenas\n\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nA afirmativa I é correta, pois T(-1,3)=(2,-4)\nA afirmativa II é correta, pois T(-3,2)=(5,1)\nA afirmativa III é incorreta, pois T(7,1)=(8,6) Pergunta 5\nConsidera os vetores do R3, u=(1,2,3), v=(3,4,5) e w=(8,1,2). Dado que dois vetores são ortogonais se o seu produto interno é zero, assinale a alternativa correta.\n\nOcultar opções de resposta\nA) Apenas os vetores u e v são ortogonais.\nB) Os vetores u, v e w não são ortogonais entre si.\nC) Apenas os vetores u e w são ortogonais. (Resposta correta)\nD) Os três vetores são ortogonais.\nE) Não existe produto interno entre estes vetores.\n\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\n\nEfetuando o produto interno entre os vetores, verificamos que:\n\nu•v=(1,2,3)•(4,5)=(1*4)+(2*5)+(3*0)=4\nu•w=(1,2,3)•(8,1,2)=(1*8)+(2*1)+(3*2)=20\nv•w=(3,4,5)•(8,1,2)=(3*8)+(4*1)+(5*2)=30\napenas u e w têm produto interno igual a zero. Logo, apenas u e w são ortogonais. Pergunta 6\nSeja a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y). Assinale a alternativa que apresenta a alternativa verdadeira.\n\nOcultar opções de resposta\nA) T(5,2)=(9,2) (Resposta correta)\nB) T(5,2)=(1,1)\nC) T(5,2)=(2,5)\nD) T(5,2)=(2,9)\nE) T(5,2)=(5,2)\n\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nComo em T(5,2), x=5 e y=2, temos que:\nT(x,y)=(x+2y,y)=(5+2*2,2)=(9,2). Pergunta 7\nDizemos que u é uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, quando existem números reais, a1, a2 e a3 tais que\n u = a1v1 + a2v2 + a3v3.\nConsidere os vetores\n u = (9,3,1)\nv1 = (1,2,-1)\nv2 = (2,0,1)\nv3 = (1,-1,0)\nAssinale a alternativa que descreve o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.\n\nOcultar opções de resposta\nA) u = 2v1 - 2v2 - v3\nB) u = v1 + v2 - v3\nC) u = 2v1 - 2v2 + v3\nD) u = 2v1 + 3v2 - v3 (Resposta correta)\nE) u = v1 + 2v2 - v3 Pergunta 8\nSeja a transformação linear dada por:\nT(x,y)=(x+y,2x+2x).\nMarque a alternativa que apresenta o valor de T(2,3)\nOcultar opções de resposta\nA\nT(2,3)=(3,2)\nB\nT(2,3)=(2,3)\nC\nT(2,3)=(2,10)\nD\nT(2,3)=(5,10)\nE\nT(2,3)=(1,1)\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nComo x=2 e y=3, temos:\nT(x,y)=T(2,3)=(2+3,2.2+2.3)=(5,10) Pergunta 9\nSeja uma transformação linear dada por:\nT(x,y)=(x,y,x+y)\nMarque a alternativa verdadeira:\nOcultar opções de resposta\nA\nEssa transformação leva vetores do plano a outros vetores do plano.\nB\nEssa transformação leva vetores do espaço tridimensional ao plano.\nC\nEssa transformação leva vetores do plano a vetores do espaço tridimensional.\nD\nEssa transformação leva vetores pertencentes a bissetriz dos quadrantes ímpares ao plano.\nE\nEssa transformação leva vetores do espaço tridimensional ao espaço tridimensional.\nComentários\nDe acordo com o livro-base, capítulo 5:\nNote que a transformação possui como entrada vetores do plano e valores de saída, vetores do espaço tridimensional (3 coordenadas). Pergunta 10\nConsidere a transformação definida por\nT(x,y,z)=(1,2,x+y+z)\nLeia as afirmativas abaixo e marque a alternativa correta:\nSendo assim, analise as sentenças a seguir e assinale V se a sentença for verdadeira e F se a sentença for falsa:\n• ( ) T é uma transformação linear.\n• ( ) núcleo de T é N(T)={ (0,0,0) } \n• ( ) T(1,1,1)=(1,2,3)\n• ( ) .\nA sequência correta é:\nOcultar opções de resposta\nA\nF,F,V\nB\nV,V,V\nC\nF,V,V\nD\nV,F,F\nE\nV,V,F