Estatística Experimental

Prof Antonio Ricardo S de Andrade UFAPE UNIVERSIDADE FEDERAL DO AGRESTE DE PERNAMBUCO UFAPE LISTA DE EXERCÍCIOS TESTE DE SIGNIFICÂNCIA PARA DUAS MÉDIAS Questão 1 Em um estudo a seguintes contagens de linfócitos foi obtido em vacas de dois anos da raça Holstein e de vacas de dois anos da raça Guernseys Os resultados estão na Tabela abaixo Holstein 516 608 703 670 Guernsys 631 629 449 518 Calcular a Média geral média de cada tratamento raças variância e o desviopadrão de cada raça b Podemos concluir que a contagem de linfáticos nas duas raças difere assumindo que as variâncias amostras são homogenias Considere 5 Questão 2 Os dados a seguir referemse às mensurações da glicose arterial em mM em amostras independentes de animais ruminantes tratados e não tratados controle com o medicamento Phlorizin Estatística Controle não tratados Tratados Phlorizin Tamanho da amostra 10 14 Media amostral 321 311 Variância amostral 085 080 Aplicar o teste da hipótese t Student para duas médias amostrais considerando o valor nominal de significância 5 para verificar se existem diferenças entre as médias da glicose arterial na população controle e tratada com Phlorizin Considere as variâncias populacionais iguais Tire as conclusões de interesse Adaptado de Bauer et al 1995 Questão 3 Um pesquisador admite que o peso kg de animais pertencentes à raça Nelore é diferente dos animais pertencentes à raça Gir Foram pesados 4 animais da raça Nelore e 4 da raça Gir Os pesos observados são Gir 37640 36590 37540 38020 Nelore 36410 36677 35960 37080 Testar ao nível de 5 de significância se a afirmação do pesquisador está correta Prof Antonio Ricardo S de Andrade UFAPE Questão 4 Dois estimulante deve ser testado para verificar o efeito na pressão sanguínea Oito suínos Wessex tiveram as pressões medidas depois da ingestão do estimulante cujos resultados são em mmHg Estimulante A 106 105 109 111 Estimulante B 101 104 107 108 Considerando α 0 05 há razão para acreditar que o estimulante A gera um aumento maior na pressão sanguínea média suínos Wessex em comparação com estimulante B Prof Antonio Ricardo S de Andrade UFAPE ANOVA Questão 1 Três extratos de origem vegetal foram fornecidos a 12 cães por via oral com a finalidade de testar o possível efeito sobre a pressão arterial sistólica desses animais Os cães foram divididos em grupos de três animais recebendo cada grupo um tipo de extrato ao acaso B C ou D além de um grupo controle A tratado com placebo Os dados obtidos foram Tratamentos tipo de extratos Repetição I II III Controle A placebo 6 7 8 B 5 4 6 C 4 3 3 D 3 2 2 a A partir dos dados confeccionar a tabela da análise da variância ANOVA b Considerandose α 5 responda qual o melhor tipo extratos de origem vegetal foram fornecidos a 12 cães Use o teste de Tukey caso necessário Questão 2 Contagens médias de linfócitos de células de gatos 1000mm3 foram comparadas dando uma de duas drogas e um placebo controle Ninhadas de gatos do mesmo sexo foram usadas para formar blocos homogêneos de 3 gatos cada dentro de cada bloco 3 tratamentos foram sorteados ao acaso Parece razoável assumir que os efeitos dos três tratamentos deve ser relativamente constante para vários genótipos de gatos para diferentes ninhadas Tratamentos Drogas Blocos idades I II III Placebo 54 40 50 Droga 1 60 42 50 Droga 2 51 39 49 a Estabelecer as hipóteses estatísticas H0 e H1 para testar os efeitos dos tratamentos b Montar o quadro da análise de variância ANOVA e com base nos resultados do teste F faça as conclusões pertinentes sobre as hipóteses do item a c Calcular as médias dos tratamentos coeficiente de variação CV e de determinação R2 do experimento d Verificar pelo teste de Tukey se os efeitos de cada droga diferem entre se Considere 5 Questão 3 Um novo medicamento para cicatrização está sendo testado e um experimento é feito para estudar o tempo em dias de completo fechamento em cortes provenientes de cirurgia em animais Mediuse o tempo de cicatrização em uma amostra de 12 cobaias sendo 4 cobaias por substância A B e C obtendose os seguintes resultados Prof Antonio Ricardo S de Andrade UFAPE Tabela 1 Tempo de cicatrizantes dias Substância Repetições números de pacientes 1 2 3 4 A 13 19 15 16 B 12 10 11 12 C 18 12 14 15 A partir dos dados da Tabela 1 pedese a Confeccionar a tabela da variância b Entre as substâncias deverá haver diferenças na redução do tempo de cicatrização ao nível de significância de 5 Interpretar c Aplicar o teste de Tukey ao nível de 5 de probabilidade na comparação de médias de tratamento d Qual é a substância proporciona menor tempo de cicatrização Questão 4 Retirouse 4 amostras de tamanho 3 de uma população Nμ σ2 Para cada amostra foi aplicado um antiparasitário tratamentos Em seguida os pesos dos animais foram analisados para cada tratamento Teste se existe efeito de antiparasitário no peso dos animais Os tratamentos antiparasitários e os pesos em quilogramas dos animais estão dados na tabela abaixo Tratamento antiparasitários Repetições 1 2 3 4 T1 Neguvon 33 34 33 32 T2 Methiridim 27 28 27 28 T3 Controle 30 31 29 30 a Estabelecer as hipóteses estatísticas H0 e H1 para testar os efeitos dos tratamentos b Montar o quadro da análise de variância ANOVA e com base nos resultados do teste F faça as conclusões pertinentes sobre as hipóteses do item a a Calcular as médias dos tratamentos coeficiente de variação CV e de determinação R2 do experimento b Verificar pelo teste de Tukey se os efeitos de cada antiparasitários diferem entre se Considere 5 Prof Antonio Ricardo S de Andrade UFAPE TESTE DE ASSOCIAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS QUALITATIVA NOMINAIS Questão 1 Um pesquisador selecionou 1000 animais da raça Charolesa 1140 animais da raça Indubrasil e 800 animais da raça Nelore para um estudo de acasalamento cujas respostas foram Fecundo ou Infecundo O resultado do estudo é apresentado a seguir Raça Acasalamento Totais Fecundo Infecundo Charolesa 606 394 Indubrasil 508 632 Nelore 394 406 Totais 2940 Fonte Silva C da Costa Ao nível de 5 de significância verificar se existe dependência entre as raças quanto ao acasalamento Use o teste Quiquadrado Questão 2 Um pesquisador selecionou 365 animais cães segundo o sexo Macho e Fêmea e soro positividade pela RIFI Positivo e Negativo em Barra de Boa Vista GaranhunsPE 20222024 O resultado do estudo é apresentado a seguir Sorologia Sexo Positivos Negativos Total Macho 48 152 Fêmea 46 119 Total Fonte Hipotético Ao nível de 5 de significância verificar se existe dependência entre o sexo dos animais e a sorologia Use o teste Quiquadrado Questão 3 Suponha que seguindo determinados critérios uma amostra de animais foi classificada por raça e por produção de carne de acordo com a seguinte tabela Raça Produção Alta Média Baixa R1 30 28 10 R2 70 40 25 Podese dizer usando o teste de quiquadrado com 1 de significância que a produção independe da raça dos animais Prof Antonio Ricardo S de Andrade UFAPE Questão 4 Em um estudo visando determinar a conversão alimentar de aves consumo médio em quilos de ração peso médio em kg ao abate em um período de 0 a 21 dias foram obtidos os seguintes valores segundo o sexo e o animal Conversão alimentar Sexo Ava 1 Ave 2 Total Macho 149 174 Fêmea 159 162 Total Podese dizer usando o teste de quiquadrado com 1 de significância que a Conversão alimentar independe do sexo das aves Prof Antonio Ricardo S de Andrade UFAPE Regressão Questão 1 Cinco onças do zoológico de Jupi foram anestesiados e os pesquisadores mediram o comprimento em polegadas e obtiveram seus pesos em libras os quais são apresentados na tabela a seguir Comprimente pol X 50 60 70 80 90 Peso libras Y 80 110 140 170 200 a Construa o diagrama de dispersão c Determine a equação de regressão b Calcule o coeficiente de determinação R2 d Considerando a reta estimada dada no item c estime o peso médio das onças para um comprimento 75 polegadas Questão 2 Considere um experimento em que se analisa a influência da tóxina solanina mg na pressão arterial média PAM mmHg em animais Para isso foram realizados ensaios com valores de 1 2 3 4 e 5 de solanina mg Os resultados se encontram na Tabela abaixo X Toxina Solanina mg Y Pressão arterial média mmHg 1 05 2 16 3 30 4 37 5 38 a Apresente o diagrama de dispersão b Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson rxy entre os valores da tóxina solanina mg e os valores de pressão arterial média mmHg dos animais e faça um interpretação dos resultados c Estabeleça a equação de regressão linear d Considerando a reta estimada dada no item c estime a pressão arterial média mmHg dos animais quando o valor da Toxina Solanina for de 42 75 mg Questão 3 O modelo de regressão linear de 1º grau foi proposto para explicar a relação entre a quantidade de ração fornecida e a produção de leite por cabras Por meio dos dados fornecidos abaixo Níveis de Ração g X 50 75 100 125 150 Produção de Leite ldia Y 12 17 20 21 25 a Apresente o diagrama de dispersão b Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson rxy e R2 entre os valores Níveis de ração e Produção de Leite em gramas dos animais e faça um interpretação dos resultados c Estabeleça a equação de regressão linear d Erropadrão das estimativas ES dos valores estimados pela equação de regressão Antes de falar escute Antes de escrever pense Antes de gastar ganhe Antes de julgar espere Antes de rezar perdoe Antes de desistir tente Bioestatística Teste de significância para duas médias 1 Questão 1 11 Letra a Para a raça Holstein Média xHolstein 5166087036704 62425 Variância sHolstein² ΣxixHolstein² n 05069 Desviopadrão sHolstein sHolstein² 07120 Para a raça Guernseys Média xGuernseys 6316294495184 55675 Variância sGuernseys² ΣxixGuernseys² n 05961 Desviopadrão sGuernseys sGuernseys² 07721 A média geral combinada é calculada por xgeral Σ xHolstein Σ xGuernseys nHolstein nGuernseys 59050 12 Letra b O valor da estatística de teste é t xHolstein xGuernseys sp² n 62425 55675 05069059614 18178 O valor crítico de t para um teste bicaudal com um nível de significância de α 005 e 6 graus de liberdade é aproximadamente 24469 Como t 18178 tcrítico24469 e o pvalor é p 01190 α 005 não rejeitamos a hipótese nula H0 Isso significa que não há evidência suficiente para afirmar que existe uma diferença significativa nas contagens de linfócitos entre as raças Holstein e Guernseys ao nível de significância de 5 2 Questão 2 O valor da estatística de teste é t x1 x2 sp² 1n1 1n2 321 311 085 110 114 02666 O valor crítico de t para um teste bicaudal com um nível de significância de α 005 e 22 graus de liberdade é aproximadamente 20739 Como t 02666 tcrítico20739 e o pvalor é p 07922 α 005 não rejeitamos a hipótese nula H0 Isso significa que não há evidência suficiente para afirmar que existe uma diferença significativa nas médias de glicose arterial entre os grupos controle e tratado com Phlorizin ao nível de significância de 5 3 Questão 3 Para a raça Gir Média xGir ΣxGir n 376403659037540380204 374475 kg Variância sGir² ΣxGirxGir² n1 37640 374475² 36590 374475² 37540 374475² 38020 374475² 4 1 369558 kg² Para a raça Nelore Média xNelore ΣxNelore n 364103667735960370804 3653175 kg Variância sNelore² ΣxNelorexNelore² n1 36410 3653175² 36677 3653175² 35960 3653175² 37080 3653175² 4 1 221132 kg² A estatística de teste calculada é t xGir xNelore sGir² n sNelore² n 23830 O valor crítico de t para um teste bicaudal com um nível de significância de α 005 e aproximadamente 5644 graus de liberdade é 24849 Como t 23830 tcrítico24849 e o pvalor é p 00572 α 005 não rejeitamos a hipótese nula H0 Portanto não há evidência suficiente para afirmar que existe uma diferença significativa nos pesos entre as raças Gir e Nelore ao nível de significância de 5 4 Questão 4 Para o estimulante A Média xA ΣxA n 1061051091114 10775 mmHg Variância sA² ΣxAxA² n1 2275 41 75833 mmHg² Para o estimulante B Média xB ΣxB n 1011041071084 10500 mmHg Variância sB² ΣxBxB² n1 3000 41 1000 mmHg² A estatística de teste calculada é t xA xB sA² n sB² n 13116 O valor crítico de t para um teste unicaudal à direita com um nível de significância de α 005 e aproximadamente 5889 graus de liberdade é 19498 Como t 13116 tcrítico19498 e o pvalor é p 01192 α 005 não rejeitamos a hipótese nula H0 Portanto não há evidência suficiente para afirmar que o estimulante A gera um aumento maior na pressão sanguínea média em suínos Wessex em comparação com o estimulante B ao nível de significância de 5 5 ANOVA 51 Questão 1 Letra a Fonte de Variação Somas dos Quadrados gl Média dos Quadrados F Tratamentos 3758 3 1253 1879 Erro 533 8 067 Total 4292 11 xgeral Σxij N 53 12 442 SST Σxij xgeral² SST 6 442² 7 442² 2 442² SST 4292 xA 6 7 83 xB 5 4 63 xC 4 3 33 xD 3 2 23 SSTreat 37 4422 5 4422 333 4422 233 4422 SSTreat 3758 SSError SST SSTreat 4292 3758 534 gltrat 4 1 3 glerro 12 4 8 MQtrat SSTreat gltrat 3758 3 1253 MQerro SSError glerro 534 8 067 F MQtrat MQerro 1253 067 1879 Com um valor F calculado de aproximadamente 1879 e considerando um nıvel de significˆancia de 5 podemos concluir que ha evidˆencias significativas para rejeitar a hipotese nula de que nao ha efeito dos tratamentos no peso dos animais 52 Questao 1 Letra b Tratamento I Tratamento J Diferenca das Medias pajustado Limite Inferior Limite Superior Rejeita H0 B C 03333 09000 61806 55139 Nao B Controle A placebo 03333 09000 55139 61806 Nao B D 10000 09000 68473 48473 Nao C Controle A placebo 06667 09000 51806 65139 Nao C D 06667 09000 65139 51806 Nao Controle A placebo D 13333 08741 71806 45139 Nao Entre os tratamentos ativos B C D o tratamento B teve a maior media observada o que poderia indicar que este extrato teve o maior efeito sobre a pressao arterial sistolica dos caes entre os extratos testados 53 Questao 2 Letra a Hipoteses H0 µ1 µ2 µ3 H1 Pelo menos um µi e diferente 54 Questao 2 Letra b Com um pvalor tao alto nao rejeitamos a hipotese nula de que nao ha diferenca significativa entre os tratamentos 4 56 Questao 2 Letra d Para o teste de Tukey HSD a diferenca media entre os tratamentos o intervalo de confianca e a decisao sobre a rejeicao da hipotese nula sao calculados como segue Diferenca media entre Droga 1 e Droga 2 x1 x2 04333 Intervalo de confianca para Droga 1 vs Droga 2 IC12 04333 qα SE IC12 23449 14782 Rejeitar a hipotese nula para Droga 1 vs Droga 2 reject12 Falso Diferenca media entre Droga 1 e Placebo 1 xP 02667 Intervalo de confianca para Droga 1 vs Placebo SE IC1P 02667 qα SE IC1P 21782 16449 Rejeitar a hipotese nula para Droga 1 vs Placebo reject1P Falso Diferenca media entre Droga 2 e Placebo x2 xP 01667 Intervalo de confianca para Droga 2 vs Placebo IC2P 01667 qα SE IC2P 17449 20782 Rejeitar a hipotese nula para Droga 2 vs Placebo reject2P Falso Teste de Tukey para comparacao multipla de medias Grupo 1 Grupo 2 Diferenca Media pvalor ajustado Limite Inferior Limite Superior Rejeitar H0 Droga 1 Droga 2 04333 07747 23449 14782 Falso Droga 1 Placebo 02667 09055 21782 16449 Falso Droga 2 Placebo 01667 09616 17449 20782 Falso Com um nıvel de significˆancia de 5 Porcento nao ha diferencas estatistica mente significativas entre os efeitos das drogas e o placebo A hipotese nula de 6 que nao ha diferenca entre as medias dos grupos nao foi rejeitada para nenhum dos pares de tratamentos comparados 57 Questao 3 Letra a 58 Questao 3 Letra b ValorF calculado 49938 PValor 00348 α 005 Como o PValor 00348 e menor que o nıvel de significˆancia 005 rejeita mos a hipotese nula Portanto ha evidˆencias estatısticas de que existe diferenca significativa nas medias de tempo de cicatrizacao entre as substˆancias 59 Questao 3 Letra c Substˆancia 1 Substˆancia 2 Diferenca de Media Pvalor Ajustado Limite Inferior Limite Superior Rejeita H0 A B 350 01883 85869 15869 Nao A C 125 07772 63369 38369 Nao B C 225 04637 28369 73369 Nao Como todos os valores de Pvalor ajustados sao maiores que 005 nao re jeitamos a hipotese nula para nenhuma das comparacoes entre substˆancias Isso indica que nao ha diferencas estatisticamente significativas nas medias de tempo de cicatrizacao ao nıvel de significˆancia de 5 entre as substˆancias testadas 510 Questao 3 Letra d As medias dos tempos de cicatrizacao para as substˆancias A B e C sao calcu ladas como segue Media A 13 19 15 16 4 1575 Media B 12 10 11 12 4 1125 Media C 18 12 14 15 4 1475 Comparando as medias calculadas observamos que a substˆancia B tem o menor tempo medio de cicatrizacao com 1125 dias Portanto dentro das substˆancias testadas a substˆancia B e a que proporciona o menor tempo de cicatrizacao 7 MSTreat SSTreat k 1 MSTreat 606667 2 MSTreat 303333 MSError SSError N k MSError 50000 9 MSError 05556 Fonte de variação Soma quadrados Graus de liberdade Média dos quadrados FValor PValor Tratamentos 606667 2 303333 546 000009 Erro 50000 9 05556 Total 656667 11 Como o PValor 000001 é menor que o nível de significância 005 rejeitamos a hipótese nula H0 Há evidências significativas de que pelo menos um dos tratamentos antiparasitários tem um efeito no peso dos animais 513 Questão 4 Letra c Médias dos Tratamentos Média T1 33 34 33 324 330 Média T2 27 28 27 284 275 Média T3 30 31 29 304 300 Coeficientes de Variação CV CVT1 Desvio Padrão T1 33 100 STD T1 330 100 2474 CVT2 Desvio Padrão T2 275 100 2099 CVT3 Desvio Padrão T3 30 100 2722 Coeficiente de Determinação R2 R2 606667 656667 0924 11 Critério de Verificação SQ GL MQ F pvalor Tratamento 0028667 2 0014333 0041863 0789504 Erro 4833333 6 0805222 Total 5700000 8 55 Questão 2 Letra c Soma dos Quadrados Total SQT SQT yij ȳ² 378 Soma dos Quadrados dos Tratamentos SQTratamentos SQTratamentos niȳi ȳ² 029 Soma dos Quadrados do Erro SQErro SQErro SQT SQTratamentos 349 Graus de Liberdade dos Tratamentos GLTratamentos GLTratamentos k 1 2 Graus de Liberdade do Erro GLErro GLErro N k 6 Média dos Quadrados dos Tratamentos MQTratamentos MQTratamentos SQTratamentos GLTratamentos014 Média dos Quadrados do Erro MQErro MQErro SQErro GLErro058 Estatística F F MQTratamentos MQErro025 pvalor p 1 FCDFF GLTratamentos GLErro 079 Coeficientes de Variação CV para cada tratamento CVPlacebo sPlacebo ȳPlacebo 015 CVDroga 1 sDroga 1 ȳDroga 1 018 CVDroga 2 sDroga 2 ȳDroga 2 014 Coeficiente de Determinação R2 R2 SQTratamentos SQT 008 Médias dos tratamentos xPlacebo 54 40 50 3 48 xDroga 1 60 42 50 3 507 xDroga 2 51 39 49 3 463 14 511 Questão 4 Letra a Hipótese nula H0 Os tratamentos antiparasitários não têm efeito no peso dos animais Em termos matemáticos isso significa que a média dos pesos dos animais é a mesma para todos os tratamentos Hipótese alternativa H1 Pelo menos um dos tratamentos antiparasitários tem um efeito no peso dos animais 512 Questão 4 Letra b H0 Os tratamentos antiparasitários não têm efeito no peso dos animais µT1 µT2 µT3 H1 Pelo menos um dos tratamentos antiparasitários tem um efeito no peso dos animais µT1 µT2 ou µT1 µT3 ou µT2 µT3 xgeral 33 34 33 32 27 28 27 28 30 31 29 30 12 xgeral 330 12 xgeral 275 SST xij xgeral² SST 33 301667² 34 301667² 30 301667² SST 656667 SSTreat n xj xgeral² SSTreat 4 335 301667² 275 301667² 30 301667² SSTreat 606667 SSError SST SSTreat SSError 656667 606667 SSError 50000 SST xij xgeral² SSTreat njxj xgeral² SSError SST SSTreat 514 Questão 4 Letra d SE 055564 03727 ICT1T2 xT1 xT2 q SE 33 275 3499 03727 55 13042 41958 68042 ICT1T3 xT1 xT3 q SE 33 30 3499 03727 3 13042 16958 43042 ICT2T3 xT2 xT3 q SE 275 30 3499 03727 25 13042 38042 11958 Não há evidência estatística suficiente para rejeitar a hipótese nula para qualquer um dos pares de tratamentos Portanto concluímos que não há diferença significativa no peso dos animais entre os tratamentos antiparasitários ao nível de significância de 5 6 TESTE DE ASSOCIAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS QUALITATIVA NOMINAIS 61 Número 1 χ² 606 51293²51293 394 48707²48707 508 58473²58473 632 55527²55527 394 41034²41034 406 38966²38966 56685 O resultado do cálculo é χ² 56685 com um valorp aproximado de 491 10¹³ e 2 graus de liberdade Como o valorp é menor que 005 rejeitamos a hipótese nula concluindo que há uma associação significativa entre as raças e o acasalamento 62 Número 2 Total de machos 48 152 200 Total de fêmeas 46 119 165 Total de positivos 48 46 94 Total de negativos 152 119 271 Total de animais 200 165 365 X² 48 5151²5151 152 14849²14849 46 4249²4249 119 12251²12251 X² 351²5151 351²14849 331²4249 331²12251 X² 02391 00829 02899 01005 X² 07124 O valorp é aproximadamente 04696 que é maior que o nível de significância de 5 por cento Portanto não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese Valores esperados EAlta R1 Total Alta Total R1 Total animais EMedia R1 Total Media Total R1 Total animais EBaixa R1 Total Baixa Total R1 Total animais EAlta R2 Total Alta Total R2 Total animais EMedia R2 Total Media Total R2 Total animais EBaixa R2 Total Baixa Total R2 Total animais Calculo do Quiquadrado χ2 OAlta R1 EAlta R12 EAlta R1 OMedia R1 EMedia R12 EMedia R1 OBaixa R1 EBaixa R12 EBaixa R1 OAlta R2 EAlta R22 EAlta R2 OMedia R2 EMedia R22 EMedia R2 OBaixa R2 EBaixa R22 EBaixa R2 Substituindo os valores observados O e esperados E χ2 30 33502 3350 28 22782 2278 10 11722 1172 70 66502 6650 40 45222 4522 25 23282 2328 Calculando cada termo χ2 3502 3350 5222 2278 1722 1172 3502 6650 5222 4522 1722 2328 12 O valorp obtido é aproximadamente 02553 que é maior que o nível de significância de 1 Porcento Portanto não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula de independência entre a raça dos animais e a produção de carne 7 Regressão 71 Numero 1 Letra a 72 Número 1 Letra b Primeiro calculamos a média dos X e Y x ΣXin 50 60 70 80 905 3505 70 Ȳ ΣYin 80 110 140 170 2005 7005 140 Então encontramos a inclinação da reta m m ΣXi xYi ȲΣXi x² m 50 7080 140 60 70110 140 70 70140 140 80 70170 140 90 70200 14050 70² 60 70² 70 70² 80 70² 90 70² m 2060 1030 00 1030 206020² 10² 0² 10² 20² m 1200 300 0 300 1200400 100 0 100 400 m 30001000 30 O intercepto b é calculado como b Ȳ mX b 140 30 70 b 140 210 700 Assim a equação da linha de regressão é Y 30X 700 Para o coeficiente de determinação R² usamos R² CorrelaçãoXY² A correlação entre X e Y é dada por CorrelaçãoXY ΣXi XYi ȲΣXi X² ΣYi Ȳ² Como já calculamos o numerador para a inclinação e o denominador é o produto das somas dos quadrados de X e Y que também já calculamos temos CorrelaçãoXY 30001000 1000 10 Portanto 73 Número 1 Letra c R² 10² 10 O coeficiente de determinação R² é 10 o que indica que a linha de regressão explica 100 da variabilidade dos dados 74 Número 1 Letra d Para prever o peso de uma onça para um comprimento de 75 polegadas substituímos X por 75 na equação da reta Y 30 75 70 Y 225 70 Y 155 Portanto o peso médio estimado para uma onça com 75 polegadas de comprimento é de 155 libras 75 Número 2 Letra a Scatter plot shown title Diagrama de Dispersão da Pressão Arterial pela Toxina Solanina 76 Número 2 Letra b O coeficiente de correlação de Pearson rxy é calculado pela fórmula rxy ΣXi XYi ȲΣXi X² ΣYi Ȳ² onde Xi e Yi são os valores individuais de X e Y e X e Ȳ são as médias dos valores de X e Y Substituindo os valores dados temos X 1 2 3 4 55 3 Ȳ 05 16 30 37 385 252 Calculando os somatórios ΣXi XYi Ȳ 1 305 252 5 338 252 ΣXi X² 1 3² 5 3² ΣYi Ȳ² 05 252² 38 252² Finalmente calculando o coeficiente rxy ΣXi XYi ȲΣXi X² ΣYi Ȳ² 09615 Com um r de aproximadamente 09615 podemos concluir que existe uma relação linear quase perfeita entre a Toxina Solanina e a Pressão Arterial Média Isso sugere que a Toxina Solanina pode ser um bom preditor da Pressão Arterial Média nos animais estudados e é provável que aumentos na Toxina Solanina estejam associados a aumentos na Pressão Arterial Média 77 Número 2 Letra c Dado um conjunto de valores X e Y a equação da reta de regressão linear é dada por Y mX b Para calcular os coeficientes m inclinação e b intercepto y usamos as fórmulas m nΣXY ΣXΣYnΣX² ΣX² b ΣYΣX² ΣXΣXYnΣX² ΣX² Onde n é o número de observações Substituindo os valores dados obtemos n 5 ΣX 1 2 3 4 5 15 ΣY 05 16 30 37 38 126 ΣXY 105 216 330 437 538 714 ΣX² 1² 2² 3² 4² 5² 55 ΣY² 05² 16² 30² 37² 38² 3974 Substituindo os somatórios na fórmula dos coeficientes m 5714 15126 555 15² 087 b 12655 15714 555 15² 009 Portanto a equação da linha de regressão é Y 087X 009 78 Número 2 Letra D Para X 425 mg de Toxina Solanina a previsão da Pressão Arterial Média Y é calculada pela equação da reta Y 087X 009 Substituindo X por 425 temos Y 087 425 009 Y 36975 009 Y 361 mmHg Assim a pressão arterial média estimada para um valor de Toxina Solanina de 425 mg é aproximadamente 361 mmHg 79 Número 3 Letra a Diagrama de Dispersão da Produção de Leite pelos Níveis de Ração 710 Número 3 Letra b Dados n5 X 500 g Y 95 ldia XY 1025 gldia X² 56250 g² Y² 1899 ldia² O coeficiente de correlação de Pearson é calculado por r nXY XY nX² X²nY² Y² Substituindo os valores temos r 51025 50095 556250 500²51899 95² r 5125 4750 31250 47 r 375 146875 r 375 38324 r 09785 O coeficiente de determinação R² é o quadrado do coeficiente de correlação de Pearson R² r² R² 09785² R² 09574 Isso indica uma forte correlação positiva entre os níveis de ração e a produção de leite com aproximadamente 9574 da variabilidade na produção de leite sendo explicada pelos níveis de ração 711 Número 3 Letra c A equação de regressão linear é dada pela relação Y mX b onde m é a inclinação da linha de regressão e b é o intercepto com o eixo y Os coeficientes são calculados a partir dos seguintes somatórios dos dados X 500 Y 95 XY 1025 X²56250 n5 Substituindo esses valores calculamos m e b como m nXY XY nX² X² m 51025 50095 556250 500² m 5125 4750 281250 250000 m 375 31250 m 0012 Para b b YX² XXY nX² X² b 9556250 5001025 556250 500² b 534375 512500 281250 250000 b 21875 31250 b 07 Portanto a equação final da linha de regressão é Y 0012X 07 Esta equação sugere que cada grama adicional de ração está associada a um aumento na produção de leite de 0012 litros por dia 712 Número 3 Letra d O erropadrão das estimativas ES é calculado pela fórmula ES Yi Ŷi² n 2 onde Yi são os valores observados e Ŷi são os valores estimados pela equação de regressão Os valores estimados são calculados a partir da equação da linha de regressão Y 0012X 07 Os resíduos são as diferenças entre os valores observados e estimados que são então elevados ao quadrado e somados para obter a soma dos quadrados dos resíduos SQE SQE Σ Yi Ŷi2 Com os cálculos realizados obtemos SQE 004 n 5 Substituindo na fórmula do ES temos ES 004 5 2 ES 004 3 ES 00133 ES 01155 O erropadrão das estimativas fornece uma medida da dispersão dos valores observados em torno da linha de regressão estimada