Exercícios Resolvidos de Estatística: Testes de Hipóteses e Intervalos de Confiança

a Use um teste unicaudal para verificar se a variância é menor do que 06 b Use um teste bicaudal para verificar se a variância é diferente de 06 Observação na prática apenas uma dessas hipóteses é testada 8 Um fabricante de cigarros afirma que seu produto não contém mais que 25 miligramas de nicotina Uma amostra de 16 cigarros dessa marca revelou uma média de 264 e desvio padrão de 20 mg de nicotina Estes dados indicam com evidência suficiente que o fabricante está mentindo Considere α005 9 Suponha que alguém tenha sugerido de experiências passadas que 60 das larvas de mosquito no lago deveriam ser da espécie Aedes detritus Em uma pesquisa realizada foram encontrados 60 desse tipo de uma amostra de 80 a Construir um intervalo de confiança a 90 para a verdadeira proporção de larvas de mosquito da espécie Aedes detritos no lago b Elabore um teste bilateral com significância de 5 para verificar se proporção de larvas de mosquito da espécie Aedes detritos no lago difere de 60 Ho P 60 Ho P 60 10 Suponha que em um experimento realizado com 15 vacas mestiças o pesquisador obteve média amostral de glicose sérica de 70 mg e desvio padrão amostral de 8 mg a Teste a hipótese que a média populacional é inferior a 75 mg Use α 005 b Teste a hipótese que a variância populacional é diferente a 100 mg2 Use α 005 11 Considere uma amostra de 5 leitões da raça Large White Aos 21 dias de idade foram feitas medições dos seus pesos kg fornecendo os seguintes dados Leitões 1 2 3 4 5 Peso kg 50 52 54 48 51 Podese concluir ao nível de 5 de probabilidade que o peso médio aos 21 dias de idade dos leitões difere de 50 kg 1 Se uma amostra aleatória n25 tem uma média amostral de 513 e uma desvio padrão populacional de σ2 Construa o intervalo com 95 de confiança para a média populacional μ 2 Uma marca particular de margarina de ração para cães foi analisada para determinar o nível em porcentagem de ácidos graxos insaturados Uma amostra de seis pacotes resultou nos seguintes dados 168 172 174 169 165 e 171 Encontre o intervalo de confiança de 99 para a amostra 3 Se uma amostra de tamanho n20 a média e o desvio padrão são X125 e s025 Construa um intervalo de confiança para de 99 para σ² 4 De 1000 casos selecionados de aleatoriamente de câncer de mama em cadelas 823 resultaram em morte Construa um intervalo de confiança de 95 para a taxa de morte de câncer de mama 5 Uma amostra de 14000 itens de uma produção foi inspecionada e o número de defeitos por peça foi registrado na tabela abaixo Quantidade de defeitos por peça Número de defeitos 0 1 2 3 4 Frequência Absoluta 9000 4200 500 250 50 a Chamando de P a proporção de itens defeituosos nessa produção determinar os limites de confiança de 99 de P b Qual o erro de estimação cometido 6 Animais foram alimentados com uma certa dieta durante 3 semanas e verificouse os seguintes aumento de pesos 25 30 32 24 40 34 37 33 34 28 30 32 38 29 31 Testar Ho μ30 contra H1 μ30 adotando α005 6 Em animais sadios o consumo renal de oxigênio distribuise normalmente em torno de 12 cm3min Desejase investigar com base em 9 animais portadores de certa moléstia se esta tem influência sobre o consumo renal de oxigênio O consumo médio para os 9 animais foi X 1284 cm3min e o desvio padrão S 09 cm3min Qual a conclusão ao nível de 5 de significância E ao nível de 1 7 Considere um experimento onde se obteve a seguinte amostra do consumo renal de oxigênio de 9 vacas 123 131 119 112 116 119 116 110 105 cm3 min1 Observação a amostra é proveniente de uma distribuição normal Testar hipóteses ao nível de 5 de significância sobre a variância populacional referente ao problema No eixo x temos p e no eixo y temos p1p É uma parábola com valor máximo igual a 025 Como sabemos que a proporção p de animais contaminados com a doença não é superior a 10 podemos analisar o caso limite em que p vale 01 Este é o caso no qual o fator p1p atinge o valor máximo para p entre 0 e 01 Desse modo Probabilidade do IC conter o valor da frequência relativa populacional 1 α 92 α8 Analisaremos o caso limite em que e₀ vale 002 Respostas 1 IC 513 078 2 1003 μ 1025 3 N81 4 1214 μ 1528 5 1214 μ 1528 6 N53 7 109 σ² 768 8 003 σ² 017 9 005 p 019 10 0799 p 0847 11 N690 6 Uma amostra piloto com 12 elementos tece média de 67 e desvio padrão de 17 Qual deve ser o tamanho da amostra para que a semi amplitude do intervalo de 995 de confiança da média populacional não seja superior a 08 Como não temos o desvio padrão populacional devemos utilizar o desvio padrão amostral O problema é que não temos como calcular S para a amostra que desejamos saber o número de elementos Assim utilizaremos os valores da amostra piloto que Exercícios de Intervalos de Confiança para media variância e proporção 1 Se uma amostra aleatória n25 tem uma média amostral de 513 e uma desvio padrão populacional de σ2 Construa o intervalo com 95 de confiança para a média populacional μ O Intervalo de Confiança é x zα2 σn x zα2 σn x média da amostra 513 Probabilidade do IC conter o valor da média populacional 1 α 95 α 5 zα2 z25 valor para o qual P0 Z z25 05 α2 P0 Z z25 05 0052 0475 z25 196 n tamanho da amostra 25 σ desvio padrão da população 2 Assim IC 513 196 225 513 196 225 513 078 513 078 5052 5208 IC 513 078 2 Sabese que a vida em horas de um bulbo de lâmpada de 75W é distribuída de forma aproximadamente normal com desvio padrão de σ25 Uma amostra aleatória de 20 bulbos tem uma vida media de 1014 horas Construa um intervalo de confiança de 95 para a vida média O Intervalo de Confiança é x zα2 σn x zα2 σn x média da amostra 1014 Probabilidade do IC conter o valor da média populacional 1 α 95 α 5 zα2 z25 valor para o qual P0 Z z25 05 α2 P0 Z z25 05 0052 0475 z25 196 n tamanho da amostra 20 σ desvio padrão da população 25 Assim IC 1014 196 2520 1014 196 2520 1014 11 1014 11 1003 1025 IC 1014 11 3 Qual deve ser o tamanho da amostra para que o intervalo com 995 de confiança para a média populacional tenha uma semi amplitude não superior a 15 Sabese que a variância populacional é de 23 O Intervalo de Confiança é x zα2 σn x zα2 σn Semi amplitude menor que 15 zα2 σn 15 Probabilidade do IC conter o valor da média populacional 1 α 995 α 05 zα2 z025 valor para o qual P0 Z z025 05 α2 P0 Z z025 05 00052 04975 z025 281 σ² variância da população 23 σ 48 Assim 281 48n 15 n 8085 81 elementos Outra maneira de determinar o tamanho da amostra é simplesmente aplicar a fórmula quando σ é conhecido n zα2 σe₀² e₀ semi amplitude do Intervalo de Confiança 15 Analisaremos o caso limite em que e₀ vale 15 n 281 4815² 8085 81 elementos 4 Calcular o intervalo de confiança de 95 para a seguinte amostra com variância populacional desconhecida 198 185 176 167 158 154 141 136 119 114 114 88 75 154 154 195 149 127 119 114 101 79 Como não temos a variância e o desvio padrão populacional devemos calcular o Intervalo de Confiança com base no desvio padrão amostral O Intervalo de Confiança é x tn1α2 sn x tn1α2 sn Probabilidade do IC conter o valor da média populacional 1 α 95 α 5 S desvio padrão da amostra Σxᵢ x²n1 x média da amostra 1371 S 355 tₙ₁α2 t₂₁25 2080 Assim IC 1371 208 35522 1371 208 35522 1371 157 1371 157 IC 12141528 IC 1371 157 5 Uma marca particular de margarina diet foi analisada para determinar o nível em porcentagem de ácidos graxos insaturados Uma amostra de seis pacotes resultou nos seguintes dados 168 172 174 169 165 e 171 Encontre o intervalo de confiança de 99 para a amostra Como não temos o desvio padrão populacional devemos calcular o Intervalo de Confiança com base no desvio padrão amostral O Intervalo de Confiança é x tₙ₁α2 sn x tₙ₁α2 sn Probabilidade do IC conter o valor da média da população 1 α 99 α 1 S desvio padrão da amostra Σxᵢ x²n1 x média da amostra 1698 S 0319 tₙ₁α2 t505 4032 Assim IC 1698 4032 03196 1698 4032 03196 1698 053 1698 053 IC 1645 1751 IC 1698 053 6 Uma amostra piloto com 12 elementos tece média de 67 e desvio padrão de 17 Qual deve ser o tamanho da amostra para que a semi amplitude do intervalo de 995 de confiança da média populacional não seja superior a 08 Como não temos o desvio padrão populacional devemos utilizar o desvio padrão amostral O problema é que não temos como calcular S para a amostra que desejamos saber o número de elementos Assim utilizaremos os valores da amostra piloto que possui n elementos para calcular o tamanho da amostra n n tₙ₁α2 Se₀² Probabilidade do IC conter o valor da média populacional 1 α 995 α 05 tₙ₁α2 t₁₁025 3497 valor retirado de tabela existente na internet S desvio padrão da amostra piloto 17 e₀ semi amplitude do Intervalo de Confiança 08 Analisaremos o caso limite em que e₀ vale 08 n 3497 1708² 552 56 elementos 7 O conteúdo de açúcar na calda de pêssegos em lata é normalmente distribuído É extraída uma amostra de n10 latas que resulta em um desvio padrão amostral de s48 Encontre o intervalo de confiança para de 95 para a variância populacional σ² O Intervalo de Confiança é n1S² χ²ₙ₁α2 n1S² χ²ₙ₁1α2 Probabilidade do IC conter o valor da variância populacional 1 α 95 α 5 S desvio padrão amostral 48 S² 2304 χ²ₙ₁α2 χ²₉25 19023 χ²ₙ₁1α2 χ²₉975 2700 Assim IC 9 2304 19023 9 2304 27 109 768 8 Se uma amostra de tamanho n20 a media e o desvio padrão são X125 e s025 Construa um intervalo de confiança para de 99 para σ² O Intervalo de Confiança é n1S² χ²ₙ₁α2 n1S² χ²ₙ₁1α2 Probabilidade do IC conter o valor da variância populacional 1 α 99 α 1 S desvio padrão amostral 025 S² 00625 χ²ₙ₁α2 χ²₁₉05 38582 χ²ₙ₁1α2 χ²₁₉995 6844 Assim IC 19 00625 38582 19 00625 6844 003 017 9 Em uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de automóveis 10 têm um acabamento superficial mais rugoso do que as especificações permitidas Calcule um intervalo de confiança para o 95 da proporção O Intervalo de Confiança é p zα2 p1pn p zα2 p1pn zα2 z025 valor para o qual P0 Z z025 05 α2 P0 Z z025 05 00052 04975 z025 281 σ² variância da população 23 σ 48 Assim 281 48n 15 n 8085 81 elementos Outra maneira de determinar o tamanho da amostra é simplesmente aplicar a fórmula quando σ é conhecido n zα2 σe₀² e₀ semi amplitude do Intervalo de Confiança 15 Analisaremos o caso limite em que e₀ vale 15 n 281 48 15² 8085 81 elementos 4 Calcular o intervalo de confiança de 95 para a seguinte amostra com variância populacional desconhecida 198 185 176 167 158 154 141 136 119 114 114 88 75 154 154 195 149 127 119 114 101 79 Como não temos a variância e o desvio padrão populacional devemos calcular o Intervalo de Confiança com base no desvio padrão amostral O Intervalo de Confiança é x tₙ₁α2 sn x tₙ₁α2 sn Probabilidade do IC conter o valor da média populacional 1 α 95 α 5 S desvio padrão da amostra Σxᵢ x²n1 x média da amostra 1371 S 355 tₙ₁α2 t₂₁25 2080 Assim IC 1371 208 35522 1371 208 35522 1371 157 1371 157 IC 1214 1528 IC 1371 157 5 Uma marca particular de margarina diet foi analisada para determinar o nível em porcentagem de ácidos graxos insaturados Uma amostra de seis pacotes resultou nos seguintes dados 168 172 174 169 165 e 171 Encontre o intervalo de confiança de 99 para a amostra Como não temos o desvio padrão populacional devemos calcular o Intervalo de Confiança com base no desvio padrão amostral O Intervalo de Confiança é x tₙ₁α2 sn x tₙ₁α2 sn Probabilidade do IC conter o valor da média da população 1 α 99 α 1 S desvio padrão da amostra Σxᵢ x²n1 x média da amostra 1698 S 0319 tₙ₁α2 t505 4032 Assim IC 1698 4032 03196 1698 4032 03196 1698 053 1698 053 IC 1645 1751 IC 1698 053 6 Uma amostra piloto com 12 elementos tece média de 67 e desvio padrão de 17 Qual deve ser o tamanho da amostra para que a semi amplitude do intervalo de 995 de confiança da média populacional não seja superior a 08 Como não temos o desvio padrão populacional devemos utilizar o desvio padrão amostral O problema é que não temos como calcular S para a amostra que desejamos saber o número de elementos Assim utilizaremos os valores da amostra piloto que possui n elementos para calcular o tamanho da amostra n n tₙ₁α2 Se₀² Probabilidade do IC conter o valor da média populacional 1 α 995 α 05 tₙ₁α2 t₁₁025 3497 valor retirado de tabela existente na internet S desvio padrão da amostra piloto 17 e₀ semi amplitude do Intervalo de Confiança 08 Analisaremos o caso limite em que e₀ vale 08 n 3497 17 08² 552 56 elementos 7 O conteúdo de açúcar na calda de pêssegos em lata é normalmente distribuído É extraída uma amostra de n10 latas que resulta em um desvio padrão amostral de s48 Encontre o intervalo de confiança para de 95 para a variância populacional σ² O Intervalo de Confiança é n1S² χ²ₙ₁α2 n1S² χ²ₙ₁1α2 Probabilidade do IC conter o valor da variância populacional 1 α 95 α 5 S desvio padrão amostral 48 S² 2304 χ²ₙ₁α2 χ²₉25 19023 χ²ₙ₁1α2 χ²₉975 2700 Assim IC 9 2304 19023 9 2304 27 109 768 8 Se uma amostra de tamanho n20 a media e o desvio padrão são X125 e s025 Construa um intervalo de confiança para de 99 para σ² O Intervalo de Confiança é n1S² χ²ₙ₁α2 n1S² χ²ₙ₁1α2 Probabilidade do IC conter o valor da variância populacional 1 α 99 α 1 S desvio padrão amostral 025 S² 00625 χ²ₙ₁α2 χ²₁₉05 38582 χ²ₙ₁1α2 χ²₁₉995 6844 Assim IC 19 00625 38582 19 00625 6844 003 017 9 Em uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de automóveis 10 têm um acabamento superficial mais rugoso do que as especificações permitidas Calcule um intervalo de confiança para o 95 da proporção O Intervalo de Confiança é p zα2 p1pn p zα2 p1pn 9 Em uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de automóveis 10 têm um acabamento superficial mais rugoso do que as especificações permitidas Calcule um intervalo de confiança para o 95 da proporção O Intervalo de Confiança é p zα2 p1pn p zα2 p1pn p frequência relativa amostral 1085 012 Probabilidade do IC conter o valor da frequência relativa populacional 1 α 95 α 5 zα2 z25 valor para o qual P0 Z z25 05 α2 P0 Z z25 05 0052 0475 z25 196 n tamanho da amostra 85 Assim IC 012 196 012101285 012 196 012101285 IC 012 007 012 007 005 019 10 De 1000 casos selecionados de aleatoriamente de câncer de pulmão 823 resultaram em morte Construa um intervalo de confiança de 95 para a taxa de morte de câncer de pulmão O Intervalo de Confiança é p zα2 p1pn p zα2 p1pn p frequência relativa amostral 8231000 0823 Probabilidade do IC conter o valor da frequência relativa populacional 1 α 95 α 5 zα2 z25 valor para o qual P0 Z z25 05 α2 P0 Z z25 05 0052 0475 z25 196 n tamanho da amostra 1000 Assim IC 0823 196 0823108231000 0823 196 0823108231000 IC 0823 0024 0823 0024 0799 0847 11 Sabese que a proporção de animais contaminados com uma determinada doença não é superior a 10 Qual deve o tamanho da amostra para que a semi amplitude do intervalo com 92 de confiança para a fração populacional não seja superior a 2 Para descobrirmos o tamanho da amostra devemos usar a seguinte fórmula n zα2e0² p1p O problema é que desconhecemos p proporção populacional e p proporção amostral Porém podemos analisar o fator p1p No eixo x temos p e no eixo y temos p1p É uma parábola com valor máximo igual a 025 Como sabemos que a proporção p de animais contaminados com a doença não é superior a 10 podemos analisar o caso limite em que p vale 01 Este é o caso no qual o fator p1p atinge o valor máximo para p entre 0 e 01 Desse modo n zα2e0² 011 01 zα2e0² 009 Probabilidade do IC conter o valor da frequência relativa populacional 1 α 92 α 8