Geometria Espacial: Estruturas e Fundamentos

GEOMETRIA ESPACIAL BELO HORIZONTE MG GEOMETRIA ESPACIAL SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO à GEOMETRIA ESPACIAL PARALELISMO E PERPENDICULARISMO 4 11 Noções Primitivas da Geometria Pontos retas planos e espaço 5 12 História 10 13 Paralelismo 12 14 Perpendicularidade 14 2 DISTÂNCIA E ÂNGULOS NO ESPAÇO 16 21 Projeções Ortogonais Projeções de um Ponto 16 22 Distâncias entre ponto reta e planos 21 23 Ângulos entre retas e planos 22 3 DIEDROS 23 4 TRIEDROS 25 41 Ângulos poliédricos 28 5 POLIEDRO 31 51 Classificação dos Poliedros 32 52 Poliedros Regulares 32 53 Poliedros Não Regulares 34 6 CUBO 34 7 PRISMA 38 71 Composição do Prisma 38 72 Classificação dos Prismas 39 73 Bases do Prisma 39 74 Fórmulas do Prisma 40 75 Princípio de Cavalieri 41 8 PIRÂMIDES 44 GEOMETRIA ESPACIAL 81 Elementos da Pirâmide 45 82 Tipos de Pirâmide 45 83 Pirâmides regulares 46 84 Área da Pirâmide 46 85 Volume da Pirâmide 47 86 Troncos de pirâmides 47 9 CILINDRO 49 91 Componentes do Cilindro 50 92 Classificação dos Cilindros 50 93 Fórmulas do Cilindro 51 94 Volume do Cilindro 52 10 CILINDROS DE REVOLUÇÃO 53 101 Planificação do Cilindro Circular Reto 54 102 Cilindro Equilátero 54 11 CONES DE REVOLUÇÃO 54 111 Elementos e classificação do cone 55 112 O cone como sólido de revolução 56 113 Área externa do cone 57 114 Volume do cone 58 115 Tronco de cone 58 12 ESFERAS 61 121 Elementos 62 122 Área da superfície esférica 62 123 Volume da esfera 62 124 Secção em uma esfera 64 125 Fuso esférico 65 126 Cunha esférica 67 GEOMETRIA ESPACIAL 13 O ENSINO DA GEOMETRIA 68 131 A Teoria de Van Hiele e a Teoria de Gutiérrez 68 132 Um breve histórico acerca do ensino da Geometria no Brasil 72 133 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio PCNEM 74 134 Alguns materiais concretos existentes para o Ensino de Geometria Espacial 76 14 BIBLIOGRAFIA 91 GEOMETRIA ESPACIAL 4 1 INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ESPACIAL PARALELISMO E PERPENDICULARISMO Em matemática geometria espacial é o nome usual para a geometria do espaço tridimensional euclidiano A Geometria Espacial estuda as figuras geométricas no espaço Entenda espaço como um lugar onde podemos encontrar todas as propriedades geométricas em mais de duas dimensões É na primeira infância até dois anos de idade que a criança desenvolve a percepção sobre o espaço Esse processo acontece de forma multifacetada visto que a criança concebe uma coleção de espaços que de acordo com Piaget são quatro espaço tátil auditivo visual e oral É somente dos dois aos sete anos de idade que a criança reconhece o espaço como algo comum em que todos os espaços descritos anteriormente estão incluídos simultaneamente Podemos representar o espaço por meio da projeção espacial das três dimensões que são altura comprimento e largura As coordenadas cartesianas são dadas pelos eixos x y e z Usando a localização de pontos é possível traçar retas no espaço que formam planos e definem formas e estruturas geométricas Outro segmento da Matemática que compõe a Geometria Espacial é a Geometria Analítica Nessa última a representação de uma imagem na projeção espacial é dada por vetores que possuem módulo valor numérico positivo direção GEOMETRIA ESPACIAL 5 horizontal ou vertical e sentido para cima para baixo direita ou esquerda O espaço também está presente ao estudarmos os sólidos geométricos que são porções limitadas do espaço Fonte de wwwamatematicasimplesblogspotcom Grandes estudiosos das Ciências Exatas conceberam e formalizaram os estudos relacionados com a Geometria Espacial Entre eles podemos destacar Pitágoras Platão Euclides Leonardo Finonacci Joannes Kepler entre outros A Geometria Espacial está presente nas abstrações da Matemática e no nosso mundo cotidiano Percebemos a sua existência todos os dias ao olharmos para objetos estruturas e animais que estão ao nosso redor Quando executamos essa ação conseguimos visualizar o volume total em vez de somente a superfície que é uma projeção bidimensional1 11 Noções Primitivas da Geometria Pontos retas planos e espaço Sólidos geométricos espaciais sobre um plano 1 Texto extraído de wwwbrasilescolauolcombr GEOMETRIA ESPACIAL 6 As noções primitivas da Geometria são o modo como compreendemos os elementos matemáticos que dão base para a construção dos conhecimentos geométricos Esses elementos são ponto reta plano e espaço Explicar cada um deles não é tarefa fácil pois temos apenas noções primitivas sobre esses elementos ou seja não existe uma definição precisa para eles Quando tentamos encontrar uma definição para elementos de uma figura ou sólido geométrico e depois a definição de elementos desses elementos e continuamos trilhando esse caminho fatalmente chegaremos a uma dessas noções primitivas O cubo por exemplo é um sólido geométrico chamado de prisma reto cujos lados são todos quadrados O quadrado por sua vez é uma figura geométrica que possui quatro lados congruentes e ângulos de 90 Os lados de um quadrado são segmentos de reta Já a reta é uma noção primitiva que não possui definição mas possui características e propriedades Exemplo da trilha de definições dadas acima cubo quadrado segmento de reta e reta GEOMETRIA ESPACIAL 7 Sabendo disso não é necessário pensar muito em como explicar esses elementos ponto reta plano e espaço O importante é conhecer sua utilidade para a Geometria e o modo como os sólidos e figuras comportamse diante dessas noções primitivas Ponto O ponto é um objeto que não possui definição dimensão e forma Por isso é impossível encontrar qualquer medida nele como comprimento largura altura área volume etc O ponto é a base de toda a Geometria pois é a partir de conjuntos deles que são formadas as figuras geométricas Usualmente representamos o ponto com um pingo ou uma bolinha mas é importante saber que isso é apenas uma representação geométrica Os pontos são usados para representar localizações no espaço Como não possuem tamanho ou forma uma localização em algum espaço fica bem definida quando está em algum ponto Reta Retas são conjuntos de pontos compreendidos como linhas infinitas que não fazem curvas Embora sejam formadas por pontos também não possuem definição mas apenas essa característica Obviamente são necessários infinitos pontos para construir uma reta Nessa construção note que é possível medir a distância entre dois pontos específicos que estão sobre uma reta Entretanto continua não sendo possível medir GEOMETRIA ESPACIAL 8 a largura da reta pois os pontos que a formam não possuem dimensões Por essa razão dizemos que a reta é um objeto unidimensional ou seja que possui uma única dimensão Outras figuras unidimensionais são as semirretas e os segmentos de reta que respectivamente são uma reta que possui começo mas não possui fim e uma parte da reta que possui ponto inicial e ponto final Exemplos de reta semirreta e segmento de reta Plano Também não há definição para plano entretanto podemos estudar sua formação e algumas de suas características Assim como a reta é a figura formada pela justaposição de pontos o plano é o objeto formado pelo enfileiramento de retas do modo exemplificado na figura a seguir GEOMETRIA ESPACIAL 9 Enfileiramento de retas que forma um plano Um plano portanto é um conjunto infinito e ilimitado de retas Bons exemplos de pedaços de planos são encontrados em qualquer superfície reta como a superfície de uma mesa telas de smartphones portas etc É dentro dos planos que são definidas as figuras geométricas bidimensionais pois é como se o plano fosse uma extensão perpendicular da reta Sendo assim o plano é o objeto no qual as figuras construídas contam com a possibilidade de ter largura e comprimento Espaço Assim como o plano é uma justaposição de retas no sentido perpendicular o espaço é uma justaposição de planos no sentido perpendicular Os planos são colocados um sobre o outro de modo que dois planos não possuam nenhum ponto em comum mas que estejam tão próximos a ponto de serem confundidos O espaço é o local onde toda a Geometria espacial acontece e faz sentido onde todos os sólidos e figuras geométricas podem ser construídos É todo o espaço que nos envolve e que segue infinita e ilimitadamente do ponto onde estamos para todas as direções Tratase da extensão natural do plano para a terceira dimensão e por isso sólidos geométricos construídos no espaço podem ter profundidade além de largura e comprimento A figura a seguir mostra um plano em perspectiva e um cubo sobre ele Note que a face do cubo que toca o plano um quadrado possui largura e comprimento mas a profundidade está além das dimensões aceitas por ele2 2 Texto extraído de wwwmundoeducacaoboluolcombr GEOMETRIA ESPACIAL 10 12 História As pirâmides do Egito são tridimensionais já na época da civilização antiga egípcia havia algum conhecimento de geometria espacial Também houve estudos da área pelos povos da Mesopotâmia região situada no que hoje é o Oriente Médio no vale dos rios Tigre e Eufrates A data aproximada indica que esses estudos ocorreram dois mil anos antes de Cristo Fonte de wwwmegacuriosocombr GEOMETRIA ESPACIAL 11 Por contato com os egípcios os gregos também estudaram geometria A diferença é que eles buscaram obter um raciocínio dedutivo lógico para a área enquanto que os egípcios eram mais voltados para o lado prático Podemos pensar que os gregos viram a geometria com o olhar da Filosofia Aliás são eles que criaram o nome Geometria que significa medida da Terra Alguns gregos principalmente Platão e Pitágoras davam um significado metafísico e religioso para alguns objetos da geometria espacial Porém o grande momento da geometria grega aconteceu com os chamados alexandrinos aqueles de Alexandria Arquimedes que fez estudos sobre esferas e cilindros e Euclides que escreveu a obra Os Elementos onde colocou todo o conhecimento de geometria acumulado até aquela época Muitos estudos ocorreram ao longo da história da humanidade sobre geometria e ainda muitos estão acontecendo neste instante De qualquer forma Euclides continua sendo o maior personagem da área de modo que a ele atribuem o título de pai da geometria3 Descobertas e criações de grandes geômetras A área sob o arco de uma parábola Arquimedes A aproximação do valor numérico do número pi Arquimedes O volume de superfícies de revolução Arquimedes Sistema de coordenadas Descartes A união da geometria com a álgebra o que resultou na geometria analítica Descartes O diâmetro que divide o círculo em duas partes iguais Tales de Mileto Os ângulos opostos pelo vértice são iguais Tales de Mileto Geometria euclidiana Euclides Como a Geometria é uma área de estudos muito extensa podemos dividila nas seguintes subáreas Subáreas da Geometria 3 Texto extraído de wwwinfoescolacom GEOMETRIA ESPACIAL 12 Geometria analítica relaciona a álgebra e a análise matemática com a geometria Geometria plana também chamada de Geometria Euclidiana estuda o plano e o espaço baseandose nos postulados de Euclides Geometria Espacial realiza o estudo de figuras tridimensionais Nessa área de estudo é possível calcular o volume de um sólido geométrico4 13 Paralelismo Paralelismo é o estudo das relações entre retas e planos paralelos e das consequências dessas relações na Matemática Segmentos de reta paralelos nos trilhos de um trem Paralelismo é um estudo a respeito de posições relativas entre retas e planos com foco nas propriedades resultantes dessas posições e das interações entre esses elementos Retas paralelas 4 Texto extraído de wwwmundoeducacaoboluolcombr GEOMETRIA ESPACIAL 13 Dizemos que duas retas são paralelas quando estão contidas no mesmo plano e não há ponto em comum entre elas Graficamente essas retas podem ser representadas por duas linhas distintas com mesma direção e sentido Representação gráfica de retas paralelas no plano Quando duas retas são paralelas qualquer reta contida no mesmo plano que corte a primeira também cortará a segunda e formará os mesmos ângulos correspondentes Reta paralela ao plano Também existe a possibilidade de analisar o paralelismo entre uma reta e um plano A ideia é idêntica à anterior uma reta e um plano são paralelos quando não possuem pontos em comum Para verificar isso fazemos o seguinte Considere uma reta r fora do plano α Se existir uma reta pertencente a esse plano paralela a r então r será paralela ao plano α GEOMETRIA ESPACIAL 14 Representação gráfica de uma reta paralela a um plano Sendo assim quando uma reta é paralela a um plano podemos dizer que ela seja paralela a pelo menos uma reta que pertence a esse plano Planos paralelos A definição é a mesma dois planos são paralelos quando não possuem ponto em comum As propriedades variam uma vez que há variação na natureza de uma das figuras Quando dois planos são paralelos qualquer reta que pertença a um deles é paralela ao outro Sendo assim sempre existirá uma reta no segundo plano paralela a uma reta qualquer do primeiro Uma reta que é secante a um de dois ou mais planos paralelos é secante aos outros também Quando um plano contém duas retas concorrentes ambas paralelas a um segundo plano esses dois planos também são paralelos Quando dois planos paralelos são cortados por um terceiro plano as intersecções entre os planos paralelos e o plano secante são retas paralelas5 14 Perpendicularidade Dentre as posições relativas entre planos e retas destacase a perpendicularidade que assume algumas características que a difere das outras posições Cada uma dessas relações de perpendicularidade está ilustrada abaixo Perpendicularidade entre retas Duas retas distintas pertencentes ao mesmo plano ou não serão perpendiculares se formarem um ângulo reto no seu ponto de encontro 5 Texto extraído de wwwmundoeducacaoboluolcombr GEOMETRIA ESPACIAL 15 Perpendicularidade entre plano e reta Um plano α será perpendicular a uma reta t se todas as retas pertencentes a esse plano α e concorrentes a essa reta t tiver um ponto comum forem perpendiculares à reta t Perpendicularidade entre planos Dois planos serão perpendiculares se um deles contiver uma reta que seja perpendicular ao outro plano GEOMETRIA ESPACIAL 16 2 DISTÂNCIA E ÂNGULOS NO ESPAÇO 21 Projeções Ortogonais Projeções de um Ponto Projeções ortogonais são as figuras formadas no plano que resultam da projeção de todos os pontos de outra figura fora dele Projeção de cada ponto da figura no plano GEOMETRIA ESPACIAL 17 Dada uma figura geométrica qualquer e um plano que não contém nenhum de seus pontos a projeção ortogonal dessa figura sobre o plano é a imagem formada no plano pelo pé do segmento de reta ortogonal a esse plano que liga cada ponto dessa figura ao plano Uma projeção ortogonal portanto pode ser imaginada como a sombra de uma figura geométrica em um plano sob o sol do meiodia Dessa maneira perceba que nem sempre a projeção ortogonal manterá toda a forma original da figura observada Imagine que um avião está fazendo uma manobra e fez um giro sobre o próprio eixo de 90º e assim suas asas ficaram na posição vertical A sombra produzida por esse avião no solo não mostrará suas asas embora saibamos que elas existem Projeção ortogonal de um ponto sobre o plano A projeção ortogonal do ponto A sobre o plano é exatamente o ponto de encontro entre esse plano e a reta ortogonal a ele que contém o ponto A Sendo assim a projeção ortogonal de um ponto sobre o plano também será um ponto Projeção ortogonal de uma reta sobre o plano GEOMETRIA ESPACIAL 18 A projeção ortogonal entre uma reta r e um plano α pode ser um ponto ou outra reta O primeiro caso ocorre quando a reta já é ortogonal ao plano e o segundo caso ocorre quando a reta r não é ortogonal ao plano α Assim é necessário encontrar um segundo plano ortogonal ao primeiro que contenha a reta r A intersecção entre esses dois planos será a projeção ortogonal da reta r sobre o plano α Sabendo que a intersecção entre dois planos é uma reta podemos afirmar que a projeção ortogonal entre uma reta e um plano é outra reta ou um ponto Projeção ortogonal de um segmento de reta sobre o plano Essa projeção ortogonal também pode ser um ponto ou outro segmento de reta Nesse caso o que muda entre a reta e sua projeção ortogonal ou entre o segmento de reta e sua projeção ortogonal é o ângulo que eles formam com o plano A projeção ortogonal sempre forma o ângulo 0 e a reta ou segmento inicial forma um ângulo qualquer Se o segmento de reta já for ortogonal ao plano a sua projeção ortogonal será apenas um ponto Se o segmento de reta não for ortogonal ao plano sua projeção ortogonal será o segmento de reta cujas extremidades são as projeções de suas extremidades sobre o plano Observe isso na figura a seguir GEOMETRIA ESPACIAL 19 Projeção ortogonal de uma figura geométrica Dado o plano α e a figura A a projeção ortogonal de A sobre α será o conjunto de pontos formado pelas projeções ortogonais de todos os pontos de A sobre α É necessário usar a imaginação para observar projeções ortogonais No caso dessas figuras é bom pensar no formato que teria sua sombra ao meiodia em um solo plano O exemplo seguinte demonstra o último tipo de projeção ortogonal que é aquele em que é preciso imaginar a trajetória descrita por pontos e objetos para pensar em sua projeção Observe Exemplo ENEM 2013 Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada em seu ponto central pivô Nesse brinquedo duas pessoas sentamse nas extremidades e alternadamente impulsionamse para cima fazendo descer a extremidade oposta realizando assim o movimento da gangorra Considere a gangorra representada na figura em que os pontos A e B são equidistantes do pivô GEOMETRIA ESPACIAL 20 A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B sobre o plano do chão da gangorra quando esta se encontra em movimento é Observe que a trajetória dos pontos A e B são partes de uma circunferência Para quem olha de cima o ponto B por exemplo movese em linha reta para trás e depois para frente Para quem está de frente para essa gangorra essa trajetória seria GEOMETRIA ESPACIAL 21 como na letra C da questão Entretanto a projeção ortogonal é o movimento equivalente à trajetória vista por cima Gabarito letra B6 22 Distâncias entre ponto reta e planos A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano 6 Texto extraído de wwwbrasilescolauolcombr GEOMETRIA ESPACIAL 22 A distância entre duas retas reversas r e s é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta7 23 Ângulos entre retas e planos O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra 7 Texto extraído de wwwsomatematicacombr GEOMETRIA ESPACIAL 23 O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano Observações 3 DIEDROS Os planos secantes α e β estabelecem no espaço quatro semiespaços O corte de dois desses semiespaços é chamado de diedro GEOMETRIA ESPACIAL 24 Na imagem α e β representam as faces A reta a representa a aresta do diedro determinado pelo corte dos semiplanos I e I Secção reta de um diedro Chamamos de seção reta o angulo determinado pelo corte de um diedro com um plano perpendicular à sua aresta Na imagem GEOMETRIA ESPACIAL 25 A superfície perpendicular à aresta a determina a secção reta definida pelo ângulo São congruentes todas as secções retas do mesmo diedro A proporção de um diedro é a proporção da sua secção reta Dois diedros são congruentes sempre que suas secções são congruentes Caso o plano π não seja perpendicular à aresta a obteremos apenas uma secção inclinada8 4 TRIEDROS Um triedro é o ângulo poliedro formado por três semirretas ou arestas Pode ter um dois ou três ângulos retos em cujo caso se chama ângulo triedro retângulo birretângulo ou trirretângulo respectivamente Tem também três diedros As caras e os diedros de um triedro cumprem as seguintes propriedades Cada face é menor que a soma das outras duas A soma das três faces é menor que 360º A soma dos três diedros é maior que 180º e menor que 540º Considerando como três semirretas de mesma origem V e não coplanares consideremos os semiespaços I II III I com base na superfície bc e contendo II com base na superfície ac e contendo III com base na superfície ab e contendo 8 Texto extraído de wwwcolegiowebcombr GEOMETRIA ESPACIAL 26 O corte dos semiespaços I II e III é chamado triedro determinado por Relações entre as faces de um diedro I Em todo triedro qualquer face é menor que a soma das outras duas GEOMETRIA ESPACIAL 27 Desta forma sendo f1 f2 e f3 as superfícies de um diedro teremos II A soma das medidas em graus das superfícies de um triedro qualquer é inferior a 360º Relações entre os diedros de um triedro I Em todo e qualquer triedro a medida em graus de um diedro aumentada de 180º ultrapassa a soma da extensão dos dois GEOMETRIA ESPACIAL 28 Desta forma sendo d1 d2 e d3 as medidas em graus dos diedros de um triedro II Está contida entre 2 retos 180º e 6 retos 540º a soma dos dois diedros de um triedro9 41 Ângulos poliédricos Superfície poliédrica Chamase superfície poliédrica a junção de um número limitado n n N de polígonos planos assim a Jamais são coplanares dois polígonos com um lado em comum b Cada lado do polígono está no máximo em dois polígonos c Qualquer polígono tem ao menos um lado comum com dos outros polígonos 9 Texto extraído de wwwcolegiowebcombr GEOMETRIA ESPACIAL 29 Elementos Obtemos em uma superfície poliédrica as faces que são os polígonos as arestas que são as laterais dos polígonos e os vértices que são os vértices dos polígonos Assim A aresta que é lado de um único polígono é denominada aresta livre Já a aresta que é lado de dois polígonos é denominada aresta dupla Superfície poliédrica aberta Classificação GEOMETRIA ESPACIAL 30 A superfície poliédrica que tem aresta livre é denominada superfície poliédrica aberta Já a que não possui a aresta livre é denominada superfície poliédrica fechada Superfície poliédrica fechada Superfície poliédrica convexa Sempre que o plano de cada polígono deixa todos os demais polígonos num mesmo semiespaço este é denominado superfície poliédrica convexa Superfície poliédrica não convexa GEOMETRIA ESPACIAL 31 5 POLIEDRO O poliedro é ponto do espaço demarcado por uma superfície poliédrica fechada O poliedro demarcado pela superfície poliédrica convexa é denominado poliedro convexo Poliedro convexo Relações de Euler I Dada uma superfície poliédrica convexa aberta com vértices V arestas A e faces F teremos II Dada uma superfície poliédrica convexa fechada com vértices V arestas A e faces F teremos Chamamos de poliedro Euleriano qualquer poliedro que sacie essa relação Observação GEOMETRIA ESPACIAL 32 Todo poliedro convexo é Euleriano mas nem todo poliedro Euleriano é convexo Note que o poliedro abaixo não é convexo mas segue a relação V A F 2 Soma dos ângulos das faces Em todo poliedro convexo de vértices V a soma dos ângulos de todas as suas faces é dada por 51 Classificação dos Poliedros Os poliedros são classificados em regulares e não regulares Dessa forma os poliedros regulares surgem quando suas faces formam polígonos regulares e congruentes Por sua vez os poliedros não regulares são formados por polígonos regulares e irregulares 52 Poliedros Regulares Os poliedros regulares convexos são formados pelos cinco Sólidos Platônicos ou Poliedros de Platão a saber tetraedro hexaedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro GEOMETRIA ESPACIAL 33 Tetraedro sólido geométrico formado por 4 vértices 4 faces triangulares e 6 arestas Hexaedro sólido geométrico formado por 8 vértices 6 faces quadrangulares e 12 arestas Octaedro sólido geométrico formado por 6 vértices 8 faces triangulares e 12 arestas Dodecaedro sólido geométrico formado por 20 vértices 12 faces pentagonais e 30 arestas GEOMETRIA ESPACIAL 34 Icosaedro sólido geométrico formado por 12 vértices 20 faces triangulares e 30 arestas 53 Poliedros Não Regulares Os poliedros não regulares são sólidos geométricos com faces formadas por polígonos regulares e irregulares os mais conhecidos são o prisma e a pirâmide Ao estudar os poliedros regulares o filósofo e matemático grego Platão relacionou cada um deles com os elementos da natureza tetraedro fogo hexaedro terra octaedro ar dodecaedro universo e icosaedro água 10 6 CUBO O cubo é um sólido geométrico em que todas as faces são quadradas congruentes Dessa maneira ele é classificado como poliedro Além disso também pertence ao conjunto dos poliedros convexos e dos poliedros de Platão 10 Texto extraído de wwwtodamateriacombr GEOMETRIA ESPACIAL 35 A área de um poliedro e consequentemente do cubo é a soma das áreas dos polígonos que o formam Ao somar todas essas áreas é possível encontrar uma fórmula para o cálculo da área do cubo que é o que nos interessa Cubo prisma cujas faces são quadradas Antes porém é necessário saber que a área de um poliedro é dividida em Área da base e Área lateral Área da Base Todo cubo é também um prisma de base quadrada Como os prismas possuem duas bases iguais é necessário calcular apenas uma área da base do cubo Ab l2 l é a medida da aresta do cubo e a medida do lado do quadrado da base Essa fórmula resulta do fato de a base ser quadrada e por isso é igual à área do quadrado Essa área também é comumente apresentada como a tampa de algum sólido geométrico de formato cúbico GEOMETRIA ESPACIAL 36 A fórmula acima deve ser utilizada para calcular apenas uma dessas áreas Área lateral É a área das faces do cubo que não são bases isto é do restante da figura Na imagem abaixo essa área está destacada em verde mais escuro GEOMETRIA ESPACIAL 37 Os polígonos que constituem a área lateral de um cubo são quatro quadrados Portanto a área lateral do cubo será quatro vezes a área do quadrado Al 4l2 Área total Não devemos falar no conteúdo do cubo mas somente na superfície que o limita A área total dessa superfície é obtida pela soma das áreas das duas bases com a área lateral A fórmula para esse cálculo é a seguinte At 2Ab Al Substituindo os valores encontrados anteriormente para a área da base e área lateral teremos At 2l2 4l2 At 6l2 Observação o volume de um sólido geométrico é comparável àquilo que cabe dentro dele ou ao espaço que ele ocupa Já a área é comparável ao material gasto para pintar esse sólido por fora Em resumo a área de um prisma é a soma das áreas de suas faces laterais Como o cubo é formado por seis quadrados congruentes então a área total do cubo é seis vezes a área de sua base Exemplo Um professor de matemática apaixonado por probabilidade resolveu dar de aniversário à sua namorada um pingente em forma de dado folheado a ouro Sabendo que o valor do ouro é de R 090 por mm2 que o pingente já vem de fábrica na cor vermelha e que a aresta do cubo do pingente mede 7 mm responda a Quanto o professor gastou para deixar duas faces opostas em vermelho folheando as outras faces Resposta Duas faces opostas de um cubo são suas bases as outras são faces laterais A área lateral de um cubo pode ser obtida pela seguinte fórmula Al 4l2 Al 472 Al 449 GEOMETRIA ESPACIAL 38 Al 196 mm2 Desse modo o professor gastaria 09196 1764 R 17640 para folhear a área lateral do cubo b Quanto o professor gastará para folhear o cubo inteiro At 6l2 At 672 At 649 At 649 At 294 mm2 O valor gasto será 09294 2646 R 26460 7 PRISMA O prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria espacial É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases polígonos iguais congruentes e paralelas além das faces planas laterais paralelogramos 71 Composição do Prisma GEOMETRIA ESPACIAL 39 Ilustração de um prisma e seus elementos Os elementos que compõem o prisma são base altura arestas vértices e faces laterais Assim as arestas das bases do prisma são os lados das bases do polígono enquanto que as arestas laterais correspondem aos lados das faces que não pertencem às bases Os vértices do prisma são os pontos de encontro das arestas e a altura é calculada pela distância entre os planos das bases 72 Classificação dos Prismas Os primas são classificados em Retos e Oblíquos Prisma Reto possui arestas laterais perpendiculares à base cujas faces laterais são retângulas Prisma Oblíquo possui arestas laterais oblíquas à base cujas faces laterais são paralelogramos Prisma reto A e prisma oblíquo B 73 Bases do Prisma De acordo com o formato das bases os primas são classificados em GEOMETRIA ESPACIAL 40 Prisma Triangular base formada por triângulo Prisma Quadrangular base formada por quadrado Prisma Pentagonal base formada por pentágono Prisma Hexagonal base formada por hexágono Prisma Heptagonal base formada por heptágono Prisma Octogonal base formada por octógono Figuras de prisma segundo suas bases Importante ressaltar que os chamados prismas regulares são aqueles cujas bases são polígonos regulares e portanto formados por prismas retos Note que se todas as faces do prisma forem quadradas tratase de um cubo e se todas as faces são paralelogramos o prisma é um paralelepípedo Para calcular a área da base Ab de um prisma devese levar em conta o formato que apresenta Por exemplo se for um prisma triangular a área da base será um triângulo 74 Fórmulas do Prisma Áreas do Prisma GEOMETRIA ESPACIAL 41 Área Lateral para calcular a área lateral do prisma basta somar as áreas das faces laterais Num prisma reto que possui todas as áreas das faces laterais congruentes a fórmula da área lateral é Al n a n número de lados a face lateral Área Total para calcular a área total de um prisma basta somar as áreas das faces laterais e as áreas das bases At Sl 2Sb Sl Soma das áreas das faces laterais Sb soma das áreas das bases Volume do Prisma O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula V Abh Ab área da base h altura 75 Princípio de Cavalieri O Princípio de Cavalieri é um postulado utilizado para determinar fórmulas de volumes na Geometria Espacial especialmente em prismas GEOMETRIA ESPACIAL 42 O princípio de Cavalieri é usado para demonstrar algumas fórmulas para volume de sólidos geométricos O princípio de Cavalieri hoje em dia é tido como postulado e é usado para determinar fórmulas para o cálculo de volume de sólidos geométricos Por meio dele é possível chegar ao volume de qualquer prisma utilizando o volume de um prisma conhecido desde que o segundo possua a mesma altura que o primeiro e que ambos possuam áreas da base congruentes Cavalieri era um matemático do século XVII que teve a seguinte ideia embora o formato de um sólido geométrico seja modificado exceto por casos em que ele perde ou ganha massa seu volume permanecerá inalterado Esse é o pensamento que fundamenta o princípio que ainda será definido adiante Vejamos o que acontece com dois prismas distintos que possuem o mesmo volume quando deformamos um deles Primeiramente colocaremos os dois prismas de mesmo volume sobre um mesmo plano α Dois prismas distintos que possuem área da base e altura congruentes Os dois prismas acima foram colocados sobre o plano α e possuem área da base e altura congruentes Podese dizer que os prismas são congruentes porque possuem medidas iguais e também que são equivalentes porque possuem volumes iguais GEOMETRIA ESPACIAL 43 Note que fizemos um corte nesses prismas por meio do plano β As figuras formadas no corte destacadas pelas linhas pontilhadas são congruentes às bases de seus respectivos prismas Cavalieri observou que deformando um dos dois prismas sem modificar o formato de suas bases ou sua altura eles continuam com volumes iguais O segundo prisma sofreu uma deformação mas manteve a base quadrada congruente à do primeiro Na imagem acima note que o segundo prisma foi deformado como se sua base estivesse fixa ao plano α e seu topo tivesse sido empurrado para a direita Isso não modificou o formato de sua base que permanece quadrada e congruente à do outro prisma nem sua altura Note também que o corte realizado pelo plano β ainda gera um quadrado no prisma da direita congruente ao quadrado do prisma da esquerda Dessa maneira Cavalieri propôs que independentemente da altura em que esse corte é feito o formato da figura obtida no segundo prisma é igual ao da primeira e elas são congruentes Dessa maneira como os dois prismas possuem a mesma altura continuam equivalentes com volumes iguais Daí segue que o volume de um prisma reto ou oblíquo é o produto da área da base pela altura Em outras palavras V Abh V Volume do prisma Ab área de sua base e h altura GEOMETRIA ESPACIAL 44 Formalização Dados dois sólidos geométricos A e B de mesma altura e áreas das bases que por sua vez estão contidas no mesmo plano α Os sólidos A e B têm o mesmo volume se qualquer plano β paralelo a α determinar duas secções transversais com áreas iguais Dessa maneira o princípio de Cavalieri pode ser usado também para sólidos completamente diferentes mas que possuem mesma altura bases com áreas iguais e que qualquer corte realizado nos dois por um mesmo plano resulte em figuras com áreas iguais Observe o exemplo abaixo Os prismas possuem bases diferentes mas se a área de qualquer secção transversal feita no primeiro for igual à sua respectiva secção no segundo e além disso suas alturas forem iguais então os seus volumes também serão Esses sólidos não precisam ser prismas Pode ser qualquer sólido geométrico com faces retas ou circulares 8 PIRÂMIDES A pirâmide é uma figura geométrica espacial mais precisamente um poliedro Ela é composta por uma base e um vértice Sua base pode ser triangular pentagonal quadrada retangular paralelogramo Já o vértice corresponde ao ponto mais distante da base da pirâmide e que une todas as faces laterais triangulares Em outros termos a pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal que possui todos os vértices num plano plano da base Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base GEOMETRIA ESPACIAL 45 Observe que o número de lados do polígono da base corresponde o número de faces laterais da pirâmide 81 Elementos da Pirâmide Base corresponde à região plana poligonal na qual se sustenta a pirâmide Altura designa a distância do vértice da pirâmide ao plano da base Arestas são classificadas em arestas da base ou seja todos os lados do polígono da base e arestas laterais segmentos formados pela distância do vértice da pirâmide até sua base Apótemas corresponde à altura de cada face lateral são classificadas em apótema da base e apótema da pirâmide Superfície Lateral É a superfície poliédrica composta por todas as faces laterais da pirâmide 82 Tipos de Pirâmide Segundo as bases e o número arestas que formam as pirâmides elas são classificadas em Pirâmide Triangular sua base é um triângulo composta de quatro faces três faces laterais e a face da base Pirâmide Quadrangular sua base é um quadrado composta de cinco faces quatro faces laterais e a face da base GEOMETRIA ESPACIAL 46 Pirâmide Pentagonal sua base é um pentágono composta de seis faces cinco faces laterais e a face da base Pirâmide Hexagonal sua base é um hexágono composta de sete faces seis faces laterais e face da base No tocante à inclinação da base as pirâmides são classificadas de duas maneiras Pirâmides Retas que formam um ângulo de 90º Pirâmides Oblíquas que apresentam ângulos diferentes de 90º 83 Pirâmides regulares São aquelas que cumprem estas duas condições A base é um polígono regular A projeção ortogonal do vértice é o centro desse polígono Os resultados dessa definição são Todas as arestas laterais possuem a mesma medida Todas as apótemas possuem a mesma medida Todas as faces laterais são congruentes 84 Área da Pirâmide Para calcular a área total da pirâmide utilizase a seguinte fórmula Área total Al Ab Onde Al Área lateral soma das áreas de todas as faces laterais Ab Área da base GEOMETRIA ESPACIAL 47 85 Volume da Pirâmide Para calcular o volume da pirâmide temse a expressão V13 Abh Onde Ab Área da base h altura 86 Troncos de pirâmides O tronco da pirâmide é o sólido formado por uma secção transversal em uma pirâmide A secção transversal é o corte feito por um plano paralelo à base da pirâmide como mostra a figura a seguir Feita a secção transversal o conjunto de pontos que fica entre essa secção e a base é o tronco da pirâmide GEOMETRIA ESPACIAL 48 Elementos do tronco da pirâmide Base maior é a base da pirâmide o polígono que se opõe ao vértice dela Base menor é o polígono formado pela secção transversal Altura é a distância entre a base maior e a base menor Todos os elementos da pirâmide arestas arestas laterais arestas da base vértices faces faces laterais etc O tronco da pirâmide é chamado de tronco regular quando é obtido de uma pirâmide regular Para o tronco regular valem as seguintes propriedades a As arestas laterais são congruentes b As bases são semelhantes e além disso são polígonos regulares c Todas as faces laterais são formadas por trapézios isósceles congruentes d A altura de uma face lateral qualquer é chamada de apótema Área do tronco da pirâmide A área do tronco da pirâmide é determinada pela soma das áreas de todos os polígonos que o formam Observe que a base menor e a base maior de um tronco podem ser qualquer polígono mas as faces laterais são trapézios e em alguns casos podem ser até isósceles Então basta multiplicar o número de lados da base pela área de um dos trapézios isósceles para obter a área lateral do tronco da pirâmide Depois disso é necessário calcular a área das bases e por fim somar as três áreas Assim a expressão a seguir deve ser usada para calcular a área do tronco da pirâmide GEOMETRIA ESPACIAL 49 A AB Ab Al A é a área do tronco AB é a área da base maior Ab é a área da base menor Al é a área lateral da pirâmide Volume do tronco da pirâmide O melhor caminho para calcular o volume do tronco de uma pirâmide é subtrair do volume da pirâmide o volume do outro sólido formado pela secção transversal Esse sólido é uma segunda pirâmide menor que a primeira cuja área da base será aqui representada por A2 A área da base da pirâmide maior será representada por A1 Também existe uma fórmula pela qual é possível encontrar o volume do tronco a saber V h A1 A1A2 A2 h é a altura do tronco 9 CILINDRO O cilindro ou cilindro circular é um sólido geométrico alongado e arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento GEOMETRIA ESPACIAL 50 Essa figura geométrica que faz parte dos estudos de geometria espacial apresenta dois círculos com raios de medidas equivalentes os quais estão situados em planos paralelos 91 Componentes do Cilindro Raio distância entre o centro do cilindro e a extremidade Base plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases superior e inferior Geratriz corresponde à altura hg do cilindro Diretriz corresponde à curva do plano da base 92 Classificação dos Cilindros Dependendo da inclinação do eixo ou seja do ângulo formado pela geratriz os cilindros são classificados em GEOMETRIA ESPACIAL 51 Cilindro Reto Nos cilindros circulares retos a geratriz altura está perpendicular ao plano da base Cilindro Oblíquo Nos cilindros circulares oblíquos a geratriz altura está oblíqua ao plano da base O chamado cilindro equilátero ou cilindro de revolução é caracterizado pela mesma medida do diâmetro da base e da geratriz g2r Isso porque sua seção meridiana corresponde a um quadrado 93 Fórmulas do Cilindro Segue abaixo as fórmulas para calcular as áreas e o volume do cilindro Áreas do Cilindro Área da Base Para calcular a área da base do cilindro utilizase a seguinte fórmula Ab πr2 Onde GEOMETRIA ESPACIAL 52 Ab área da base π Pi 314 r raio Área Lateral Para calcular a área lateral do cilindro ou seja a medida da superfície lateral utilizase a fórmula Al 2 πrh Onde Al área lateral π Pi 314 r raio h altura Área Total Para calcular a área total do cilindro ou seja a medida total da superfície da figura somase 2 vezes a área da base à área lateral a saber At 2AbAl ou At 2πr2 2πrh Onde At área total Ab área da base Al área lateral π Pi 314 r raio h altura 94 Volume do Cilindro O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura geratriz V Abh ou V πr2h Onde V volume Ab área da base π Pi 314 r raio h altura GEOMETRIA ESPACIAL 53 10 CILINDROS DE REVOLUÇÃO É o sólido obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um eixo que contém um dos seus lados Esse cilindro é também chamado cilindro circular reto Há cilindros que não são de revolução são chamados cilindros oblíquos possuem eixos que não são perpendiculares aos planos das bases Elementos do Cilindro Círculos de centros 0 e 0 Bases AA Geratriz BBCC Seção meridiana h Altura Superfície e Volume do Cilindro Os conceitos de área lateral e total de um cilindro são análogos aos dos prismas GEOMETRIA ESPACIAL 54 101 Planificação do Cilindro Circular Reto 102 Cilindro Equilátero É o cilindro de revolução em que a altura é igual ao diâmetro da base a seção meridiana como mostra a figura é um quadrado 11 CONES DE REVOLUÇÃO Cone é o conjunto de todos os segmentos que ligam os pontos de um círculo base a um ponto fora do plano em que ele está contido GEOMETRIA ESPACIAL 55 111 Elementos e classificação do cone Elementos Vértice V ponto fora do plano da base e que pertence a definição de cone Eixo é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base Altura h é a distância entre o vértice e o plano da base Raio r é o raio da base Classificação Cone reto eixo perpendicular ao plano da base Cone oblíquo eixo oblíquo ao plano da base Geratrizes Geratrizes do cone são segmentos com extremidades no vértice e na circunferência da base Seguindo os exemplos dos cones acima observe algumas de suas geratrizes GEOMETRIA ESPACIAL 56 Observação No caso do cone reto as geratrizes são congruentes Considerando um cone reto de raio da base r altura h e geratrizes medindo g O desenho abaixo mostra um triângulo retângulo que podemos formar Então pelo teorema de Pitágoras temos que g2h2r2 112 O cone como sólido de revolução Os cones podem ser obtidos girandose uma região triangular Segue formação de um cone reto GEOMETRIA ESPACIAL 57 Isso faz com que o cone também seja chamado de sólido ou corpo de revolução 113 Área externa do cone Considerando um cone reto de raio da base r altura h e geratrizes medindo g A planificação desse cone mostra que ele é formado por Base um círculo de raio r Lateral um setor circular de comprimento de arco 2πr e raio g geratriz Importante não confundir o raio da base com o raio do setor circular No nosso exemplo r é o raio da base e g é o raio do setor circular GEOMETRIA ESPACIAL 58 Área da base πr2 é a área do círculo Área da lateral área de setor circular de comprimento do arco 2πr e raio g comprimento de arcoraio22πrg2πrg Portanto a área externa ou total do cone é AexternaAbaseAlateralπr2πrgπrrg 114 Volume do cone O volume do cone V assim como das pirâmides é um terço da multiplicação da área da base pela altura Dado um cone de raio da base r e altura h a área da base círculo é πr2 e o volume do cone será 13πr2h 115 Tronco de cone Tronco de cone de bases paralelas é um sólido obtido quando se intercepta um cone por um plano paralelo ao plano da base e se descarta o cone menor formado Alguns elementos do tronco de cone R é o raio da base maior r é o raio da base menor h é a altura do tronco de cone g é a geratriz do tronco de cone GEOMETRIA ESPACIAL 59 É possível obtermos que é válido que Considerando os dados indicados no tronco de cone acima temos também que Volume do tronco de cone de bases paralelas V Área lateral do tronco de cone de bases paralelas Tais expressões são obtidas pela semelhança do cone original com o cone menor criado a partir do corte feito pelo plano da definição Exemplo FUVEST As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios de 6 cm e 3 cm Sabendo que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases calcule a altura do tronco de cone GEOMETRIA ESPACIAL 60 b volume do tronco de cone Resposta a O enunciado diz que área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases Sendo A1 e A2 as áreas dos círculos da base de raios 6 cm R e 3 cm r respetivamente Temos Logo Portanto g 5 cm Pedese a altura do tronco de cone h para isso utilizamos a relação Portanto h 4 cm GEOMETRIA ESPACIAL 61 b Temos que h 4 cm R 6 cm e r 3 cm Basta usar a expressão para volume 12 ESFERAS A Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos estudos de geometria espacial A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo É composto por uma superfície fechada na medida que todos os pontos estão equidistantes do centro O Alguns exemplos de esfera são o planeta uma laranja uma melancia uma bola de futebol dentre outros GEOMETRIA ESPACIAL 62 As esferas são obtidas pelo giro de um semicírculo ao redor do diâmetro por isso são chamadas de sólido de revolução Esfera obtida pelo giro de um semicírculo em torno do seu diâmetro 121 Elementos C centro da esfera CP é o raio da esfera de medida r QP é o diâmetro da esfera de medida 2r 122 Área da superfície esférica A fórmula da área da superfície esférica ou casca da esfera é dada pela seguinte constatação experimental A área da superfície esférica de uma esfera de raio r é igual a área de quatro círculos de raio r Portanto como a área de um círculo de raio r é πr2 a área da superfície esférica de raio r é quatro vezes πr2 A superficie esferica 4πr2 123 Volume da esfera Dada uma esfera de raio r o seu volume V será GEOMETRIA ESPACIAL 63 V43πr3 Superfície esférica é a parte superficial de uma esfera justamente o conjunto de pontos cuja distância do centro é igual ao raio Essa superfície pode ser obtida pela rotação de uma circunferência em torno do diâmetro A área da superfície esférica pode ser calculada por meio da fórmula a seguir A 4πr2 r é o raio da esfera e A é a medida da área Veja um exemplo Suponha que o raio de uma laranja seja de 6 cm A área de sua superfície esférica casca será A 4πr2 A 431462 A 125636 A 45216 cm2 Polos são os pontos de encontro entre a superfície esférica e o eixo de rotação Sendo assim os polos são os dois pontos extremos do diâmetro da esfera Paralelo circunferência na superfície da esfera formada pela intersecção de qualquer plano perpendicular ao eixo de rotação e à superfície esférica O paralelo que possui o maior comprimento é chamado de equador Meridiano circunferência na superfície da esfera formada pela intersecção de qualquer plano que contém o eixo de rotação com a superfície esférica GEOMETRIA ESPACIAL 64 Exemplo de paralelo e meridiano em uma esfera com eixo de rotação vertical 124 Secção em uma esfera Uma secção é um corte realizado por um plano ou seja é a intersecção entre um plano e a figura que sofre a secção Dessa maneira toda secção em uma esfera é um círculo Para qualquer secção vale a seguinte expressão s2 r2 d2 s raio do círculo formado pela secção d distância entre o plano da secção e o centro da esfera r raio da esfera O plano que faz uma secção em uma esfera é chamado de plano secante Se esse plano secante passa pelo centro da esfera o círculo formado na secção é chamado de círculo máximo GEOMETRIA ESPACIAL 65 Secção de uma esfera por meio de um plano secante 125 Fuso esférico O fuso esférico é a parte da superfície de uma esfera formada pelo giro de uma semicircunferência em α graus em torno do diâmetro da esfera Um fuso esférico é equivalente a um fuso horário O fuso horário é a divisão de uma esfera em 24 partes e assim configura um fuso esférico formado por uma semicircunferência que girou apenas 15 GEOMETRIA ESPACIAL 66 Fuso esférico rotação de uma semicircunferência em α graus A intersecção de um fuso esférico com o equador de uma esfera é um arco de circunferência e é chamado de arco equatorial Para calcular a área do fuso esférico a partir do ângulo do giro da semicircunferência que o gerou basta usar regra de três Considere que o ângulo seja α a área do fuso seja A e que a área total da esfera é dada por 4πr2 e que é resultado de uma volta de 360 podemos escrever 360 4πr2 α A Multiplicando cruzado teremos 360A 4πr2α A 4πr2α 360 A πr2α 90 GEOMETRIA ESPACIAL 67 126 Cunha esférica Um semicírculo que gira α graus ao redor de algum eixo forma uma cunha esférica Cunha esférica rotação de um semicírculo em α graus O volume da cunha esférica também pode ser calculado por meio de regra de três Considere que o ângulo descrito pelo semicírculo que gera uma cunha esférica é β que seu volume é V que o volume da esfera é determinado pela expressão 43πr3 e que para esse volume o semicírculo dá uma volta completa de 360 o volume da cunha esférica pode ser calculado da seguinte maneira 43πr3 360 V β Fazendo os cálculos teremos V βπr3 270 Exemplo GEOMETRIA ESPACIAL 68 Calcule a área do fuso esférico que possui ângulo de 90 e raio de 10 cm Além disso calcule o volume da cunha esférica correspondente Solução Basta usar as fórmulas para área do fuso esférico e volume da cunha esférica dadas anteriormente Área A πr2α 90 A 31410290 90 A 314100 A 314 cm2 Volume11 V βπr3 270 V 90314103 270 V 3141000 3 V 3140 3 V 10467 cm3 13 O ENSINO DA GEOMETRIA 131 A Teoria de Van Hiele e a Teoria de Gutiérrez Estudos sobre visualização e aprendizagem levaram alguns estudiosos à formulação de teorias que identificam fases do aprendizado em Geometria Dentre esses estudos podemos destacar a Teoria de Van Hiele na Geometria Plana e a Teoria de Gutiérrez na Geometria Espacial A Teoria de Van Hiele concebe diversos níveis de aprendizagem geométrica ou pensamento geométrico KALEFF 1994 p 25 e 26 11 Texto extraído de wwwmundoeducacaoboluolcombr GEOMETRIA ESPACIAL 69 0 Nível Reconhecimento Visualização Avaliação das figuras apenas pela sua aparência Reconhecimento comparação e nomenclatura 1 Nível Análise Avaliação das figuras em relação a seus componentes reconhecimento de propriedades e uso das propriedades na resolução de problemas 2 Nível Percepção Ordenação das propriedades e construção de definições 3 Nível Dedução Domínio do processo dedutivo e das demonstrações reconhecimento de condições necessárias e suficientes e demonstração de algumas propriedades 4 Nível Rigor Capacidade de compreender demonstrações formais comparação e estabelecimento de teoremas em diversos sistemas Modelo de Van Hiele Ao analisar o modelo de Van Hiele observase que as aulas de Geometria Espacial no 2º ano do Ensino Médio contemplam apenas os três primeiros níveis e muitas vezes não há a construção da aprendizagem através de cada nível O que ocorre é a apresentação do conteúdo de forma expositiva o que resulta numa memorização dos sólidos geométricos que é posteriormente esquecida pelos alunos O uso de materiais manipulativos permite a construção do conhecimento através dos três níveis iniciais e possibilita que o aluno alcance o quarto nível dedução Nos capítulos seguintes mostraremos como o método das jujubas propicia que os alunos deduzam a Relação de Euler e a fórmula da diagonal do paralelepípedo e do cubo GEOMETRIA ESPACIAL 70 Crowley 1994 destacou o papel do professor em cada nível de Van Hiele e observase que este papel difere em muito do modelo de aulas expositivas no quadro bidimensional que a maioria dos professores utilizam 1 Informação Professor e aluno dialogam sobre o material de estudo e o docente deve perceber quais são os conhecimentos prévios do discente sobre o assunto a ser estudado 2 Orientação Dirigida Os alunos exploram o assunto de estudo através do material selecionado pelo professor no caso deste trabalho o manipulativo e as atividades deverão proporcionar respostas específicas e objetivas 3 Explicação O papel do professor é o de observador do aluno que está construindo um conhecimento inicial sobre o assunto 4 Orientação Livre O professor propõe tarefas constituídas de várias etapas possibilitando diversas respostas a fim de que o aluno ganhe experiências e autonomia 5 Integração O professor auxilia no processo de síntese fornecendo experiências e observações globais sem apresentar novas e discordantes ideias O mais importante na teoria de Van Hiele é a descoberta de que o aluno não alcança um nível a frente sem passar pelos anteriores ou seja há uma hierarquia de conhecimento Cabe ao professor adequar sua linguagem à medida que o aluno avança nesses níveis Alguns estudos têm procurado adaptar os níveis de Van Hiele para além das figuras no plano estendoos às figuras 3D e transformações geométricas Dentre estes destacamos o de Gutiérrez 1996 para quem a visualização em Geometria é um tipo de raciocínio baseado no uso de elementos visuais e espaciais tanto mentais quanto físicos desenvolvidos para resolver problemas ou provar propriedades A visualização integrase a quatro elementos principais imagens mentais representações externas processos de visualização e habilidades de visualização De acordo com este autor uma imagem mental é qualquer tipo de representação cognitiva de um conceito matemático ou propriedade por meio de elementos visuais ou GEOMETRIA ESPACIAL 71 espaciais uma representação externa pertinente à visualização é qualquer tipo de representação gráfica ou verbal de conceitos ou propriedades incluindo figuras desenhos diagramas etc que ajudam a criar ou transformar imagens mentais e produzir raciocínio visual um processo de visualização é uma ação física ou mental onde imagens mentais estão envolvidas Existem dois processos realizados na visualização a interpretação visual de informações para criar imagens mentais Gutiérrez 1996 p 910 Em relação às habilidades de visualização espacial Gutiérrez 1996 p10 define os diferentes segmentos Percepção de figurabase habilidade de identificar uma figura específica isolandoa de um fundo complexo Constância perceptual habilidade de reconhecer que algumas propriedades de um objeto real ou em uma imagem mental são independentes do tamanho cor textura ou posição e permanecer não confuso quando um objeto ou figura é percebido em diferentes orientações Rotação mental habilidade de produzir imagens mentais dinâmicas para visualizar uma configuração em movimento Percepção de posições no espaço habilidade de relacionar um objeto figura ou imagem mental em relação a si mesmo Percepção de relações espaciais habilidade de relacionar vários objetos figuras eou imagens mentais uns com os outros ou simultaneamente consigo mesmo Discriminação visual habilidade de comparar vários objetos figuras eou imagens mentais para identificar semelhanças e diferenças entre eles Dentre as habilidades de visualização observase que os alunos têm maior dificuldade em constância perceptual e rotação mental o que se observa quando ao resolver exercícios envolvendo prismas o aluno confunde as faces laterais com a base pelo fato de a figura ter sofrido uma rotação GEOMETRIA ESPACIAL 72 Prisma rotacionado Encontrar alternativas de ensino que atuem na construção da aprendizagem através dos níveis de Van Hiele e das habilidades de visualização espacial de Gutiérrez é uma discussão necessária para melhorar o rendimento dos alunos do Ensino Médio em Geometria Espacial 132 Um breve histórico acerca do ensino da Geometria no Brasil Segundo Valente 2008 os primeiros registros históricos sobre o ensino da Matemática no Brasil remontam o ano de 1669 quando a Coroa Portuguesa viu a necessidade de treinar melhor seus militares e para isto criou a Aula de Artilharia e Fortificações No início houve dificuldades em sua implementação pela falta de livros adequados e em 1710 o curso ainda não havia iniciado Apenas em 1738 depois que o militar português José Fernandes Pinto Alpoim chegou ao Brasil as aulas tiveram início e foram consideradas obrigatórias a todo oficial Alpoim foi o autor dos dois primeiros livros didáticos de Matemática escritos no Brasil que ensinavam conceitos de Geometria e Aritmética Exame de Artilheiros 1744 e Exame de Bombeiros 1748 Com isto podemos concluir que o ensino de Matemática no Brasil iniciouse com a necessidade de defesa da colônia por parte dos militares incentivada pela Coroa Portuguesa Com a independência do Brasil houve a necessidade de se criar a primeira Universidade Brasileira Então em 1827 são criados os Cursos Jurídicos cujo acesso era dado por um exame que continha dentre outras disciplinas a Geometria Por GEOMETRIA ESPACIAL 73 conta deste exame surgem os cursos preparatórios com a disciplina Geometria que perduram por cerca de 100 anos e a partir desta época os conhecimentos matemáticos deixam de ser um conteúdo que servia apenas ao comércio e aos militares e são promovidos à categoria de cultura geral VALENTE 2008 p 15 Com a criação do Colégio Pedro II em 1837 iniciamse as tentativas de exigência do diploma do secundário seriado para ingresso nas faculdades Depois de várias reformas segundo Ferreira 2005 p 95 foi elaborado um plano gradual de estudos com Geometria Álgebra e Aritmética no qual o aluno era promovido por série e não mais por disciplinas Segundo Valente 2008 nos anos 30 surgem as faculdades de filosofia que formavam professores e com isso alguns livros didáticos começam a ser publicados A partir da reforma Francisco Campos no primeiro governo de Getúlio Vargas há a primeira reestruturação de ensino que extingue os cursos preparatórios e faz surgir a disciplina Matemática unindo Geometria Álgebra e Aritmética Em 1929 Euclides Roxo lança o livro Curso de Mathematica Elementar numa tentativa de unir as 3 grandes áreas da Matemática Seu livro ensinava através da Geometria conceitos de Álgebra e Aritmética sendo adotado pelo Colégio Pedro II em 1930 Este autor propõe o uso do material concreto pois ao ensinar o conceito de reta por exemplo solicitava que os alunos verificassem arames bordas de papel etc Nessa mesma época surgem ginásios e liceus públicos e a educação antes exclusiva da elite passa a ter adesão da classe média Já na década de 60 surge o movimento da Matemática Moderna onde a mesma é ensinada com rigor e formalidade Segundo Pavanello 1993 a partir desse movimento a geometria assume posição secundária no ensino pois perde seu caráter intuitivo e pautase na demonstração e no formalismo Assim o ensino dos conhecimentos geométricos iniciase pela noção de figura geométrica e de intersecção de figuras como conjunto de pontos do plano adotandose para sua representação a linguagem da teoria dos conjuntos A Lei de Diretrizes e Bases do ensino do 1º e 2º graus 5692 71 contribui para o abandono do ensino da Geometria ao permitir que cada professor monte seu programa de ensino Assim muitos alunos do 1º grau deixam de aprender Geometria pois os professores das quatro séries iniciais limitavamse ao ensino de Aritmética e noções de conjunto Logo os alunos tinham aulas de Geometria no 2º grau onde GEOMETRIA ESPACIAL 74 chegavam sem ter os conhecimentos prévios necessários já que o Desenho Geométrico havia sido substituído pela Educação Artística PAVANELLO 1993 p 13 Com isso observase que a Geometria perdeu espaço com o movimento da Matemática Moderna e a relutância por parte dos professores em ensinar este conteúdo contribuiu para que os alunos apresentassem baixo rendimento neste assunto Porém a partir da década de 80 surgem as teorias da Neurociência e a Teoria das Inteligências Múltiplas que promovem o ensino de Geometria com base na experimentação sensorial dos alunos Acreditamos que há uma tendência ao resgate da Geometria como posição de destaque pela diversidade de materiais concretos que vêm sido utilizados pelos professores 133 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio PCNEM Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio BRASIL 2006 são propostas que norteiam e organizam o conhecimento no Ensino Médio Esses conjuntos de parâmetros afirmam que no Ensino Médio a Matemática deverá apresentar novas informações e além disso deverá oferecer instrumentos necessários para que o aluno continue aprendendo Ainda ressalta a importância de que a Educação esteja voltada para o desenvolvimento da capacidade de comunicação Com relação aos objetivos gerais da Matemática não podemos deixar de destacar o desenvolvimento da capacidade de raciocínio e a resolução de problemas para aprimorar o entendimento de conceitos matemáticos Deste modo a fim de que se cumpram essas metas trazemos a proposta do uso do material manipulável Sabemos que a Matemática se faz presente no mundo e tem relação em diversas áreas do conhecimento contribuindo diretamente para a evolução da humanidade Sendo está uma disciplina muito importante para o desenvolvimento do raciocínio os PCNEM destacam nesta direção as habilidades de argumentação lógica e no que se refere ao campo geométrico citam o desenvolvimento das habilidades de visualização e desenho Os PCNs afirmam que GEOMETRIA ESPACIAL 75 Essas competências são importantes na compreensão e ampliação da percepção de espaço e construção de modelos para interpretar questões da Matemática e de outras áreas do conhecimento De fato perceber as relações entre as representações planas nos desenhos mapas e na tela do computador com os objetos que lhes deram origem conceber novas formas planas ou espaciais e suas propriedades a partir dessas representações são essenciais para a leitura do mundo através dos olhos das outras ciências em especial a Física BRASIL 2006 p 44 Por outro lado se buscarmos um olhar mais crítico para o ensino da Matemática perceberemos que este vem sendo feito ainda com muita formalidade dentro da sala de aula E ainda temse observado um baixo rendimento nesta disciplina em avaliações como Exame Nacional do Ensino Médio ENEM por exemplo O Laboratório de Ensino de Matemática LEM pode ser um espaço especialmente dedicado à criação de situações pedagógicas desafiadoras e para auxiliar no equacionamento de situações previstas pelo professor em seu planejamento mas imprevistas na prática devido aos questionamentos dos alunos durante as aulas Nesse caso o professor pode precisar de diferentes materiais com fácil acesso Enfim o LEM nessa concepção é uma salaambiente para estruturar organizar planejar e fazer acontecer o pensar matemático é um espaço para facilitar tanto ao aluno como ao professor questionar conjecturar procurar experimentar analisar e concluir enfim aprender e principalmente aprender a aprender LORENZATO 2006 p7 Com o LEM poderemos trabalhar melhor essas habilidades citadas anteriormente nos PCNEM Porém é preciso que o professor conheça seu laboratório Sérgio Lorenzato também afirma que A atuação do professor é determinante para o sucesso ou fracasso escolar Para que os alunos aprendam significativamente não basta que o professor disponha de um LEM Tão importante quanto a escola possuir um LEM é o professor saber utilizar corretamente os materiais didáticos pois estes como outros instrumentos tais como o pincel o revólver a enxada a bola o automóvel o bisturi o quadronegro o batom o sino exigem conhecimento especifico de quem os utiliza LORENZATO 2006 p23 24 Para que Laboratório de Matemática funcione existe uma série de fatores determinantes porém o docente é a chave fundamental para utilizar essa ferramenta de maneira correta e ampliar os conhecimentos dos alunos GEOMETRIA ESPACIAL 76 134 Alguns materiais concretos existentes para o Ensino de Geometria Espacial Nas últimas duas décadas observase uma preocupação por parte dos educadores em inserir materiais concretos no ensino de Geometria Espacial Na internet principalmente há diversos exemplos de materiais que podem ser utilizados em sala de aula Abaixo relacionamos alguns métodos baseados em esqueletos de poliedros Garrote e varetas O método consiste em construir esqueletos de poliedros com garrotes material hospitalar como vértices e varetas como arestas Poliedros com garrotes e varetas Massa de modelar e palitos O método consiste em utilizar massa de modelar como vértices e palitos como arestas GEOMETRIA ESPACIAL 77 Hexaedro de palitos e massa de modelar Criatímã É um kit composto por ímãs e hastes plásticas vendido por empresas de materiais didáticos manipuláveis Poliedro estrelado construído com criatímã Canudos e linha Neste método de montagem de esqueletos de poliedros a linha passa pelo interior dos canudos com auxílio de uma agulha unindoos para formar os poliedros Tutorial de construção do tetraedro regular com canudos e linha GEOMETRIA ESPACIAL 78 É importante ressaltar que existem outros materiais concretos que levam em consideração apenas o formato dos poliedros e não o seu interior como dobraduras maquetes sólidos em madeira etc Estes materiais fogem ao escopo deste estudo pois dificultam a distinção de vértices e arestas para o aluno no primeiro contato com Geometria Espacial e não permitem a visualização de segmentos de reta e figuras no interior dos poliedros Icosaedro construído com dobraduras GEOMETRIA ESPACIAL 79 Kit de sólidos geométricos em madeira A técnica das jujubas balas de goma A técnica das jujubas ou balas de goma nome recebido em alguns estados do Brasil consiste na construção de esqueletos de poliedros de modo que as jujubas representam os vértices e os palitos as arestas A construção dos poliedros é de fácil execução e demanda pouco tempo o que facilita seu uso na própria sala durante as aulas Além disso o material é de baixo custo fácil acesso e possibilita que a estrutura fique estável o que geralmente representa um problema em outras técnicas A seguir são apresentadas sugestões de construção de alguns poliedros notáveis utilizando a técnica Tetraedro regular Material 4 jujubas e 6 palitos 1º Passo Construção de um triângulo equilátero Encaixe duas jujubas nas extremidades de um palito e espete um palito em cada uma dessas jujubas Feche o triângulo encaixando uma jujuba para unir os dois palitos com as extremidades livres Triângulo equilátero GEOMETRIA ESPACIAL 80 2º Passo Em cada uma das três jujubas do triângulo equilátero espete um palito na vertical inclinado para o interior do triângulo Triângulo com palitos espetados 3º Passo Una as extremidades livres dos três palitos colocados no 2º passo com uma jujuba Tetraedro Hexaedro regular Cubo Material 8 jujubas e 12 palitos 1º Passo Construção de um quadrado Encaixe duas jujubas nas extremidades de um palito e espete um palito em cada uma dessas jujubas Encaixe uma nova jujuba em cada extremidade livre dos palitos e feche o quadrado espetando um novo palito entre as duas jujubas soltas GEOMETRIA ESPACIAL 81 Quadrado 2º Passo Em cada uma das quatro jujubas do quadrado espete um palito na posição vertical Quadrado com palitos espetados 3º Passo Construa outro quadrado seguindo o 1º passo e encaixeo nas extremidades livres dos palitos espetados no 2º passo Hexaedro Pirâmide regular de base quadrada Material 5 jujubas e 8 palitos 1º Passo Construa um quadrado Vide hexaedro regular GEOMETRIA ESPACIAL 82 2º Passo Em cada uma das quatro jujubas do quadrado espete um palito na posição vertical 3º Passo Una as extremidades livres dos quatro palitos colocados no 2º passo com uma jujuba Pirâmide de base quadrada Octaedro regular Material 6 jujubas e 12 palitos GEOMETRIA ESPACIAL 83 1º Passo Construa uma pirâmide regular de base quadrada Vide construção anterior 2º Passo Vire a pirâmide de cabeça para baixo e espete um palito no sentido vertical em cada uma das quatro jujubas da base quadrada Pirâmide de cabeça para baixo com palitos espetados 3º Passo Una as extremidades livres dos quatro palitos colocados no 2º passo com uma jujuba GEOMETRIA ESPACIAL 84 Octaedro Prisma regular de base triangular Material 6 jujubas e 9 palitos 1º Passo Construa um triângulo equilátero Vide 1º passo da construção do tetraedro regular 2º Passo Em cada uma das três jujubas do triângulo espete um palito na posição vertical GEOMETRIA ESPACIAL 85 Triângulo com palitos espetados 3º Passo Construa outro triângulo e encaixeo nas extremidades livres dos palitos espetados no 2º passo Prisma regular de base triangular Dodecaedro regular Material 20 jujubas e 15 palitos cortados ao meio total de 30 palitinhos 1º Passo Construção de um pentágono regular Para isso una cinco palitos com cinco jujubas formando um pentágono GEOMETRIA ESPACIAL 86 Pentágono 2º Passo Em cada uma das cinco jujubas do pentágono espete um palito levemente inclinado para fora do mesmo Pentágono com palitos espetados 3º Passo Encaixe uma jujuba em cada extremidade livre dos cinco palitos GEOMETRIA ESPACIAL 87 Pentágono com palitos e jujubas 4º Passo Em cada uma das novas jujubas espete dois palitos em formato de V levemente inclinados para dentro Una cada dois palitos com uma jujuba Palitos em v 5º Passo Espete em cada jujuba um palito e encaixe uma nova jujuba na extremidade livre do mesmo 6º Passo Una as cinco novas jujubas com palitos formando um pentágono paralelo ao primeiro pentágono 1º Passo GEOMETRIA ESPACIAL 88 Dodecaedro Observação Na montagem deste poliedro foi necessário utilizar palitos cortados ao meio para reduzir o tamanho da aresta e melhorar a estabilidade da construção Icosaedro regular Material 12 jujubas e 30 palitos 1º Passo Construa um pentágono regular Vide construção anterior 2º Passo Em cada uma das cinco jujubas do pentágono espete um palito GEOMETRIA ESPACIAL 89 3º Passo Una as extremidades livres dos cinco palitos com uma jujuba A figura construída é uma pirâmide regular de base pentagonal Pirâmide de base pentagonal 4º Passo Vire a pirâmide de cabeça para baixo e espete dois palitos em cada jujuba do pentágono da base formando um V Pirâmide com palitos em v 5º Passo Construa separadamente outra pirâmide regular de base pentagonal e liguea à outra construção de forma que cada jujuba da nova pirâmide seja encaixada em dois palitos GEOMETRIA ESPACIAL 90 Icosaedro É importante evidenciar a possibilidade de construção de vários outros poliedros utilizando jujubas e cabe ao professor ensinar a técnica de acordo com as particularidades de cada turma Nas turmas regulares sugerimos a construção de prismas e pirâmides com bases de diferentes formatos e diferentes tamanhos de palitos para os casos de figuras não regulares Para enriquecer o aprendizado devemse ressaltar as diferenças e semelhanças entre as figuras construídas tornando o aluno agente construtor de seu conhecimento Recomendamos a construção do dodecaedro regular e do icosaedro regular apenas em turmas avançadas12 12 Texto extraído de www2uniriobr GEOMETRIA ESPACIAL 91 14 BIBLIOGRAFIA DOLCE O POMPEO JN Fundamentos de Matemática Elementar Vols 9 e 10 Atual 2007 DOWNES Moise Geometria Moderna Parte II Edgard Blücher Ltda 1971 EVES Howard Estudo de las Geometrias tomo I UTEHA México 1969 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR HEMMERLING Edwin M Geometria Elementar Editorial LimusaWiley SA México 1971 LIMA Elon Lages Áreas e Volumes Ao Livro Técnico SA Rio de Janeiro 1973 WAGNER Eduardo Construções Geométricas SOLGRAF Publicação Ltda Rio de Janeiro 2000