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Análise Matemática
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Você sabia que seu material didático é interativo e multimídia Ele possibilita diversas formas de interação com o conteúdo a qualquer hora e de qualquer lugar Mas na versão impressa alguns conteúdos interativos são perdidos por isso fique atento Sempre que possível opte pela versão digital Bons estudos Análise Matemática Números racionais e irracionais Unidade 1 Seção 2 Nesta webaula trabalharemos sobre o conceito de divisão de dois números reais em seguida vamos provar que o conjuntos dos números racionais é enumerável Definição do conjunto dos racionais Dados dois números naturais p q primos entre si p e q não têm fatores comuns definese a razão r pq como o número r tal que q r p Claramente como p e q não possuem fatores comuns segue que r N somente se q1 Assim vemos que para que a operação de divisão esteja bemdefinida precisamos estender o conjunto dos números naturais Definimos assim o conjunto Q dos números racionais Q pq p q Z q 0 Veja que pela definição o conjunto dos racionais é formado por números que são a razão de dois números inteiros p e q com a restrição que q deve ser diferente de zero O conjunto Q é enumerável Trataremos aqui de alguns resultados sobre conjuntos enumeráveis Nosso primeiro objetivo é demonstrar que Q é um conjunto enumerável Para isso vamos estudar alguns enunciados que foram baseados em Lima 2016b p 50 A demonstração de cada um embora siga os moldes apresentados lá está ora mais detalhada neste texto ora apresenta uma abordagem um pouco diferente Lema 1 Seja B um conjunto enumerável e f A B injetora Então A é enumerável Dem Sendo B enumerável existe uma bijeção g B N g o f A N é uma função injetora A imagem g o f é um subconjunto de N e portanto é enumerável Assim segue que A é enumerável Clique na imagem para saber mais Este lema tem a seguinte interpretação se tivermos um conjunto enumerável B e uma função injetora f A B intuitivamente A não poder ser maior do que B Matematicamente isso significa que A precisa ser enumerável Lema 2 Seja A um conjunto enumerável e f A B sobrejetora Então B é enumerável Dem Se f A B é sobrejetora isso significa por definição que para cada a A existe b B Queremos utilizar o lema anterior na demonstração para isso precisamos de uma função injetora h B A tal que f a b Para cada b B tomemos algum a A tal que f a b e façamos hb a Assim h está definida em todo o conjunto B e é injetora De fato para b b B temos elementos distintos a a A com hb a e hb a Segue do Lema 1 que B é enumerável Fonte elaborada pelo autor O lema 2 é o recíproco do lema 1 se f A B for sobrejetora então B precisa ser menor do que A e se A for enumerável então B precisa ser enumerável Ainda precisamos de mais um conceito para que por fim possamos chegar ao resultado desejado em que o conjunto Q é enumerável Clique nas abas para entender os dois últimos resultados Teorema 1 Teorema 2 O produto cartesiano Q é enumerável Dem A demonstração deste resultado se encontra em diversos textos de análise e se baseia na decomposição de um número em fatores primos É um resultado da teoria de números que está fora do escopo deste texto que cada natural possui uma única decomposição em fatores primos Em particular os números naturais da forma 2m 3n são diferentes para cada par mn Isso nos mostra que a função f N N N f mn 2m 3n é injetora Segue do Lema 1 que N N é enumerável Você pode conhecer todos os lemas e teoremas importantes para provar que o conjunto Q é enumerável Existem outras demonstrações que você pode consultar em seu livro didático
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