Calculo de Derivadas - Conceitos, Regras e Aplicações

Cálculo I Cálculo de Derivadas Unidade de Ensino 2 Cálculo de derivadas Competência da Unidade Compreender o conceito de derivada bem como propriedades e regras de derivação correspondentes de modo a aplicalas no estudo de problemas diversos como a determinação de retas tangentes a curvas Resumo Nessa aula discutiremos a respeito do conceito de derivada além de propriedades e regras de derivação em conjunto com as possíveis interpretações e problemas nos quais esses conceitos podem ser aplicados Palavraschave Derivada Reta tangente Regra de derivação Otimização Título da Teleaula Cálculo de derivadas Teleaula nº 02 Conceitos principais Derivadas e inclinação da reta tangente Regras de derivação Regras da soma e multiplicação por escalar Regras do produto e do quociente Regra da cadeia Derivadas de ordem superior Problemas de otimização httpsbitly2HWrK4S acesso em 11 mar 2021 Problema da reta tangente e as derivadas Derivada de uma função A derivada de uma função f em relação a x denotada por fx é fxlimh0 fxhfxh se o limite existir A derivada da função fx2x é dada por fxlimh0 fxhfxhlimh0 2xh2xhlimh0 2x2h2xhlimh0 2hhlimh0 22 Logo a derivada de fx2x é dada por fx2 Reta tangente A reta tangente a y fx em a fa é a reta que passa em a fa cuja inclinação é igual a fa a derivada de f em a fa lim h0 fa h fa h A equação da reta tangente é dada por y fa fa x a fx x2 4x Reta tangente a curva fx no ponto 40 A lei de formação da reta tangente é y 4x 16 Inclinação da reta tangente dada pela derivada de fx no ponto 40 A taxa de variação instantânea O quociente Δy Δx fx2 fx1 x2 x1 é denominado taxa média de variação de y em relação a x no intervalo x1 x2 e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante PQ httpsbitly2SakTsV acesso 11 mar 2021 O limite das taxas médias de variação é chamado taxa instantânea de variação de y em relação a x em x x1 a qual é interpretada como a inclinação da tangente à curva y fx em Px1 fx1 A taxa instantânea de variação é dada por limΔx0 ΔyΔx limx2x1 fx2 fx1 x2 x1 Derivadas e regras de derivação Notações para derivada Adotando y fx com x variável independente e y variável dependente temos as seguintes notações possíveis para a derivada fx y dydx dfdx ddx fx Para indicar o valor da derivada em um número específico a denotamos fa dydxxa Regras de derivação Derivada de função constante ddx c 0 Derivada de potência ddx xn nxn1 Derivada da soma ou diferença de funções ddx fx gx ddx fx ddx gx Derivada da multiplicação entre função e constante ddx cfx c ddx fx Exemplo Determine a derivada da função fx x3 2x 3 fx ddx x3 2x 3 ddx x3 ddx 2x ddx 3 ddx x3 2 ddx x ddx 3 3x31 2 1x11 0 3x2 2 Regras do produto e do quociente Regra do produto Sejam duas funções f e g deriváveis então o produto entre f e g é uma função derivável tal que ddx fxgx ddx fxgx fx ddx gx Seja fx x2 1x Determine fx fx ddx x2 1 x x2 1 ddx x fx 2x x x2 1 1 fx 2x2 x2 1 fx 3x2 1 Regra do quociente Sejam duas funções f e g deriváveis então o quociente entre f e g é uma função derivável tal que ddx fxgx ddx fx gx fx ddx gx g2x desde que não tenhamos divisões por zero Seja fx x2 1 x Determine fx fx ddx x2 1 x x2 1 ddx x x2 fx 2x x x2 1 1 x2 fx 2x2 x2 1 x2 fx x2 1 x2 1 1 x2 Derivadas das principais funções Função Derivada ex ex ax ax ln a lnx 1x loga x 1x ln a Função Derivada senx cosx cosx senx tgx sec2x Derivadas e o custo marginal Derivadas e o custo marginal Adaptado de Thomas 2009 p174 Suponha que o rendimento obtido pela venda de x aparelhos de ar condicionado seja dado por rx x3 3x2 12x em dólares Sabendo que a empresa em questão produz 10 aparelhos desse tipo por dia determine o aumento estimado no rendimento com a venda de 11 aparelhos ao dia Função rendimento marginal Estima o aumento no rendimento como resultado da venda de uma unidade adicional Corresponde à taxa de variação do rendimento em relação à produção ou seja drdx x rx Determinando rx temos rx x3 3x2 12x rx x3 3x2 12x rx x3 3x2 12x rx 3x2 32x 12 rx 3x2 6x 12 Se são vendidos atualmente 10 aparelhos de ar condicionado ao dia então o aumento no rendimento será r10 3 102 6 10 12 r10 300 60 12 r10 252 dólares se a venda aumentar para 11 aparelhos ao dia Cálculo de derivadas Cálculo de derivadas Com base nas regras de derivação calcule as derivadas das seguintes funções fx x 22x 3 gx 8 x2 fx x 22x 3 Pela regra do produto fx x 2 2x 3 x 2 2x 3 fx 1 0 2x 3 x 2 2 0 fx 2x 3 2x 4 fx 4x 1 gx 8 x2 Pela regra do quociente gx 8 x2 8 x2 x22 gx 0 x2 8 2x x4 gx 16x x4 16 x3 Regra da cadeia e aplicações Regra da cadeia Se g for derivável em x e f for derivável em gx então a função composta h f g definida por hx fgx é derivável em x e h é dada pelo produto hx fgx gx Essa regra também pode ser descrita na seguinte notação se y fu e u gx temos dydx dydu dudx ddx f gx fgx gx Função de fora Função de dentro Derivada da função de fora aplicada à função de dentro Derivada da função de dentro Exemplo Seja hx x² 1 Determine hx A função hx pode ser expressa como hx f gx fgx em que y u u12 e u x² 1 hx dydu dudx 1 2x² 1 2x x x² 1 Podemos reescrever hx como hx x² 112 Assim temos hx 12 x² 112 1 2x Derivada da função de fora avaliada na função de dentro Derivada da função de dentro hx 12 x² 112 2x x x² 1 Derivadas de ordem superior Podemos aplicar as regras de derivação para determinar derivadas de ordem superior Exemplo Sendo fx 2x² 3ex então fx 4x 3ex fx 4 3ex fx 3ex e assim sucessivamente Derivadas e o comportamento de funções Crescimento e decrescimento de uma função Seja f uma função contínua em um intervalo fechado ab e diferenciável no intervalo aberto ab Se fx 0 em um intervalo ab então f é crescente nele Se fx 0 em um intervalo ab então f é decrescente nele Exemplo Encontre os intervalos nos quais a função fx 3x4 4x3 12x2 5 é crescente e decrescente Derivar a função fx 12x3 12x2 24x 12xx2 x 2 12xx 2x 1 Encontrar para quais valores fx 0 fx 12xx 2x 1 0 x 0 x 2 x 1 1 0 2 Analisar qual o sinal da fx nos intervalos encontrados 1 f2 122³ 122² 242 96 1 0 f05 1205³ 1205² 2405 75 0 2 f1 121³ 121² 241 24 2 f3 123³ 123² 243 144 Intervalo Sinal da derivada nesse intervalo Comportamento de f no intervalo 1 Decrescente 1 0 Crescente 0 2 Decrescente 2 Crescente Testes para derivadas Teste da primeira derivada Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua f isto é c é tal que fc 0 c é máximo local sinal de f mudar de positivo para negativo em c c é mínimo local sinal de f mudar de negativo para positivo em c Demais casos f não tem máximo ou mínimo local em c Teste da segunda derivada Suponha que f seja contínua na proximidade de c Se fc 0 e fc 0 então f tem um mínimo local em c Se fc 0 e fc 0 então f tem um máximo local em c Exemplo Seja a função fx 3x4 4x3 12x2 5 Determine se a função possui ponto de mínimo ou máximo local Determinação do número crítico fx 12x3 12x2 24x 12xx 2x 1 0 x 0 x 2 x 1 Estudo do sinal da primeira derivada Intervalo Sinal da derivada nesse intervalo Comportamento de f no intervalo 1 Decrescente 1 0 Crescente 0 2 Decrescente 2 Crescente Em x 1 temos um ponto de mínimo Em x 0 temos um ponto de máximo Em x 2 temos um ponto de mínimo Aplicando o teste da segunda derivada f1 3612 241 24 36 Em x 1 temos um ponto de mínimo f0 3602 240 24 24 Em x 0 temos um ponto de máximo f2 3622 242 24 96 Em x 2 temos um ponto de mínimo Volume de um reservatório Volume de um reservatório Uma indústria deseja fabricar um reservatório de água fechado na forma de um cilindro circular reto Se a área total da superfície do reservatório é fixada em 36π dm² qual o volume máximo que esse reservatório pode ter em dm³ Objetivo maximizar o volume Área total de um cilindro A2πr² 2πrh Logo 36π2πr² 2πrh 18 r² rh h 18 r² r Maximizar o volume aplicar os testes da primeira e segunda derivadas V 18πr πr3 V 18π 3πr2 Calculando os pontos críticos 18π 3πr2 0 r2 18π3π 6 r 6 Volume de um cilindro V πr2h Logo V πr2 18 r2r V 18πr2 πr4r V 18πr πr3 Vamos testar se r 6 é o raio para o qual o volume será máximo V 18πr πr3 V 18π 3πr2 V 6πr Se r 6 então V6 6π6 4617 0 Logo r 6 é um ponto de máximo de V Tomando r 6 então h 18 62 6 12 6 126 6 26 Sendo assim V πr2h π62 26 12π6 Portanto o volume é de aproximadamente 923 dm3 Receita e receita marginal Receita e receita marginal A receita em relação a venda de um determinado produto é dado pela função fx xx232 Determine a função receita marginal fx xx2 32 fx x x2 32 x x2 32 fx 1 x4 6x2 9 x 2x2 32x fx x4 6x2 9 x4x3 12x fx x4 4x4 12x2 6x2 9 fx 5x4 18x2 9 Regra da cadeia y u2 u x2 3 dydu dudx Recapitulando Recapitulando Nesta aula estudamos a respeito de Derivadas e inclinação da reta tangente Regras de derivação Derivadas de ordem superior Problemas de otimização httpsbitly2VkUlsN acesso em 11 mar 2021