Matrizes e Determinantes - Conceitos, Operações e Propriedades

Cálculo I Conhecendo matrizes Unidade de Ensino 4 Conhecendo matrizes Competência da Unidade Compreender o conceito de matriz bem como suas principais categorias e as operações associadas Compreender o conceito de determinante sua estrutura e as estratégias de cálculo Resumo Nessa aula discutiremos a respeito das características das matrizes e dos determinantes bem como de operações e propriedades correspondentes Palavraschave Matriz Operações Matriz transposta Determinante Título da Teleaula Conhecendo matrizes Teleaula nº 04 Conceitos principais Matrizes Definição e classificações Operações Matrizes transpostas Matrizes inversas Determinantes Teorema de Laplace httpsbitly2HWrK4S acesso em 11 mar 2021 Matrizes Exemplo Número de contratos firmados por cada corretor de seguros que atua em uma empresa ao longo de uma semana S T Q Q S Funcionário A 2 3 2 4 1 Funcionário B 0 3 1 4 3 Funcionário C 4 1 3 1 0 Suprimindo os títulos teremos a seguinte coleção retangular denominada matriz 2 3 2 4 1 0 3 1 4 3 4 1 3 1 0 1ª linha 2ª linha 3ª linha 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna 4ª coluna 5ª coluna Matriz Agrupamento retangular de números os quais são chamados de entradas da matriz Exemplos E 1 2 0 1 3 3 B 1 3 5 C 0 0 1 3 4 5 8 1 1 Tamanho da matriz dado em função do número de linhas fileiras horizontais e colunas fileiras verticais Exemplo E 1 2 1 0 1 2 tem tamanho 23 Notações Letras maiúsculas matrizes Letras minúsculas quantidades numéricas números Exemplo C a b c d e f Representação genérica A entrada que ocorre na iésima linha e jésima coluna de uma matriz A pode ser denotada por aij Matriz arbitrária mn mn ℝ A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn Notações mais compactas aijmn ou aij Igualdade e operações entre matrizes Igualdade entre matrizes Duas matrizes são iguais se possuem mesmo tamanho e se as entradas correspondentes são iguais Se A aij e B bij são matrizes de mesmo tamanho então A B se e somente se aij bij para quaisquer i e j Exemplos A 2 3 1 x e B 2 3 1 4 serão iguais se x 4 Adição e subtração de matrizes Se A e B são matrizes de mesmo tamanho então a soma A B é a matriz obtida somando as entradas de B às entradas correspondentes de A a diferença A B é a matriz obtida subtraindo as entradas de B das entradas correspondentes de A Em notação matricial se A aij e B bij então A B aij bij e A B aij bij Exemplos A 2 3 0 5 1 1 B 1 1 1 3 0 2 C 1 0 0 1 A B 2 1 3 1 0 1 5 3 1 0 1 2 3 4 1 2 1 3 A B 2 1 3 1 0 1 5 3 1 0 1 2 1 2 1 8 1 1 A C A C B C e B C não estão definidas matrizes de tamanhos diferentes Multiplicação de matriz por número real Se A é uma matriz e α é um número real escalar então o produto αA é a matriz obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por α A matriz αA é denominada múltiplo escalar de A Assim se A aᵢⱼ então αA αaᵢⱼ Exemplo A 2 3 4 1 1 5 3A 6 9 12 3 3 15 Multiplicação de matrizes Multiplicação de matrizes caso particular O produto AB de uma matriz linha A ai por uma matriz coluna B bi com mesmo número de elementos é definido como o escalar ou matriz 1 1 obtida quando multiplicamos as entradas correspondentes e somamos os produtos ou seja AB a1 a2 anb1 b2 bn a1 b1 a2 b2 an bn Exemplo AB 7 4 51 2 0 7 1 4 2 5 0 7 8 0 1 Observação o produto AB não está definido se A e B possuírem quantidades diferentes de entradas Multiplicação de matrizes caso geral Sejam A aij e B bij duas matrizes tais que O número de colunas de A é igual ao número de linhas de B Por exemplo A é uma matriz m p e B é uma matriz p n Então o produto AB é a matriz m n cuja entrada na linha i e coluna j é obtida multiplicandose os elementos respectivos da linha i de A pelos da coluna j de B AB a11 a12 a1p ai1 ai2 aip am1 am2 ampb11 b1j b1n b21 b2j b2n bp1 bpj bpn cij ai1 b1j ai2 b2j aip bpj c11 c1j c1n ci1 cij cin cm1 cmj cmn C Exemplo AB 1 3 2 0 4 2 11 1 3 1 2 3 1 1 0 3 1 1 4 3 3 2 2 1 1 2 0 1 1 2 4 1 3 5 3 5 5 1 5 Exemplo C 1 1 2 3 e D 1 2 3 4 7 5 O produto CD não está definido pois o número de colunas de C 2 é diferente do número de linhas de D 3 Matrizes no cálculo das vendas de alimentos Matrizes no cálculo das vendas de alimentos Adaptado de Larson 2017 p42 Um estádio de futebol tem três áreas de concessão localizadas nas barracas sul norte e oeste Os itens mais vendidos são pastéis cachorros quentes e refrigerantes As vendas de um dia são dadas na primeira matriz a seguir e os preços em reais dos três itens são dados na segunda matriz 140 220 400 200 150 560 50 130 240 600 450 550 Calcule as vendas totais de cada barraca Barraca sul Barraca oeste Barraca norte Pastel Cachorro quente Refrigerante Refrigerante Cachorro quente Pastel Cálculo das vendas totais por multiplicação de matrizes 140 220 400 200 150 560 50 130 240 tamanho 3 3 600 450 550 tamanho 3 1 Produto definido matriz de tamanho 3 1 Cálculo das vendas totais por multiplicação de matrizes 140 220 400 200 150 560 50 130 240 600 450 550 140 600 220 450 400 550 200 600 150 450 560 550 50 600 130 450 240 550 84000 99000 220000 120000 67500 308000 30000 58500 132000 403000 495500 200500 Barraca sul Barraca oeste Barraca norte Matrizes e suas operações Matrizes e suas operações Considere as matrizes cujos tamanhos são dados a seguir A 45 B 45 C 52 D 42 E 52 Determine quais das seguintes expressões matriciais estão definidas e para as que estiverem definidas determine o tamanho da matriz resultante 2AB EC AED A 45 B 45 C 52 D 42 E 52 2AB Está definido 2A é 45 B é 45 2AB tem tamanho 45 A 4x5 B 4x5 C 5x2 D 4x2 E 5x2 A E D Não está definido A é 4x5 E é 5x4 D é 4x2 Matrizes com tamanhos distintos então A E não está definida A 4x5 B 4x5 C 5x2 D 4x2 E 5x2 EC Não está definido E é 5x4 C é 5x2 O número de colunas de E é diferente do número de linhas de C então E 2C não está definida Matriz transposta e matriz inversa Matriz transposta A transposta da matriz A denotada por At é a matriz obtida escrevendo as colunas de A na ordem como linhas Se Aaij é uma matriz mn então Atbij é a matriz nm tal que bijaji Exemplo 32 23 A1 29 45 3 At1 9 52 4 3 Matriz quadrada Matriz quadrada de ordem n matriz A com n linhas e n colunas Diagonal principal de A formada pelas entradas a11 a22 ann Aa11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann Exemplos Matriz quadrada de ordem 2 K1 20 3 Matriz quadrada de ordem 3 T1 3 25 8 12 2 0 Caso especial de matriz quadrada identidade Matriz identidade In de ordem n matriz composta por 1 nas entradas da diagonal principal e 0 nas demais Exemplo I3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriz inversa Seja uma matriz quadrada A de ordem n Chamamos de inversa de A uma matriz B tal que AB BA In e a denotamos por B A1 Exemplo A 1 2 0 1 admite inversa A1 1 2 0 1 porque AA1 A1A I2 AA1 1 2 0 11 2 0 1 1 0 0 1 A1A 1 2 0 11 2 0 1 1 0 0 1 Determinantes de matrizes Determinante Número associado a uma matriz quadrada Ordem de um determinante corresponde à ordem tamanho da matriz quadrada a que o mesmo corresponde Exemplo E 2 3 53 8 15 1 0 Matriz de ordem 3 3 3 determinante de ordem 3 Determinante de ordem 1 Corresponde ao próprio escalar que compõe a matriz detA a11 a11 Exemplos A 5 detA 5 B 38 detB 38 Determinante de ordem 2 Para uma matriz A aᵢⱼ quadrada de ordem 2 é dado por detA a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a₁₁a₂₂ a₁₂a₂₁ Exemplos detW 1 5 3 0 1 0 5 3 0 15 15 detZ 1 2 2 5 5 4 1 Determinante de ordem 3 Seja a matriz A aᵢⱼ quadrada de ordem 3 então detA a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₁₁a₂₂a₃₃ a₁₂a₂₃a₃₁ a₁₃a₂₁a₃₂ a₁₃a₂₂a₃₁ a₁₂a₂₁a₃₃ a₁₁a₂₃a₃₂ Regra de Sarrus detA a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ Inverter o sinal Manter o sinal Exemplo detC 2 1 1 2 1 0 5 2 0 5 1 3 4 1 3 S1 2 5 4 1 2 1 1 0 3 40 2 0 38 S2 1 5 1 3 2 2 4 0 1 5 12 0 17 Determinante detC S1 S2 38 17 21 Teorema de Laplace Menores e cofatores de uma matriz Considere A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Menor complementar Dij relativo ao elemento aij determinante da matriz Mij obtida ao eliminar da matriz A a linha e a coluna que contém o elemento aij considerado Cofator Cij do elemento aij Cij 1ij Dij Exemplo S 1 1 1 2 3 4 5 8 9 Menor do elemento s13 D13 2 3 5 8 2 8 5 3 16 15 1 Cofator do elemento s13 C13 113 D13 14 1 1 Exemplo S 1 1 1 2 3 4 5 8 9 Menor do elemento s21 D21 1 1 8 9 9 8 1 Cofator do elemento s21 C21 121 D21 1 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada A aij de ordem n é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna por seus respectivos cofatores Expansão em relação à linha i detA ai1 Ci1 ai2 Ci2 ain Cin Expansão em relação à coluna j detA a1j C1j a2j C2j anj Cnj Aplicação do teorema de Laplace Problema cálculo de determinante Calcule o determinante da matriz V 0 2 1 3 1 2 4 0 1 Duas opções Regra de Sarrus Teorema de Laplace Pela regra de Sarrus detV 0 2 1 3 1 2 4 0 1 0 2 3 1 4 0 detV 0 16 0 4 0 6 16 2 14 Teorema de Laplace para matrizes de ordem 3 Seja a matriz A aij quadrada de ordem 3 A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Se forem conhecidos os cofatores associados aos elementos da terceira linha de A por exemplo detA a31 C31 a32 C32 a33 C33 Obs o procedimento pode ser aplicado para qualquer coluna ou linha de A Pelo teorema de Laplace detV 0 2 1 3 1 2 4 0 1 Cálculo pela segunda linha detV v21 C21 v22 C22 v23 C23 detV 0 2 1 3 1 2 4 0 1 Menores D21 2 1 0 1 2 0 2 D22 0 1 4 1 0 4 4 D23 0 2 4 0 0 8 8 detV 0 2 1 3 1 2 4 0 1 Determinante detV 3121D21 1122D22 2123D23 3 1 2 1 1 4 2 1 8 6 4 16 14 Cálculo de determinante de ordem superior Cálculo de determinante Que estratégia podemos empregar no cálculo do determinante da matriz G indicada a seguir G 1 2 3 4 4 2 0 0 1 2 3 0 2 5 3 1 Cálculo do determinante por cofatores G 1 2 3 4 4 2 0 0 1 2 3 0 2 5 3 1 Melhores opções 2ª linha detG 4 C21 2 C22 4ª coluna detG 4 C14 1 C44 G 1 2 3 4 4 2 0 0 1 2 3 0 2 5 3 1 Para a 4ª coluna menores e cofatores D14 4 2 0 1 2 3 2 5 3 78 C14 15 78 78 G 1 2 3 4 4 2 0 0 1 2 3 0 2 5 3 1 Para a 4ª coluna menores e cofatores D44 1 2 3 4 2 0 1 2 3 60 C44 18 60 60 G 1 2 3 4 4 2 0 0 1 2 3 0 2 5 3 1 Determinante detG 4 78 1 60 372 Recapitulando Recapitulando Nesta aula estudamos a respeito de Matrizes Definição e classificações Operações Matrizes transpostas e inversas Determinantes Teorema de Laplace httpsbitly2VkUlsN acesso em 11 mar 2021