Prova de Análise Real - Limites Teoremas e Séries

1 Sejam f A ℝ A ℝ e p um ponto de acumulação de A Então lim xp fx L existe se e somente se para toda sequências xn em A convergindo para p e tal que xn p para todo n ℕ tivermos que a sequência fxn converge para L CORRÊA Francisco Júlio Sobreira de Araújo Introdução à Análise Real Belém UFPA 246 p Disponível em httpwwwmatunbbrfurtadohomepageveraolivrodeanalisenovopdf Acesso em 22 jan 2019 Considere a função f ℝ ℝ definida por fx 0 se x 0 2 se x 0 1 se x 0 O limite de fx quando x tende a zero está corretamente indicado em Alternativas a lim x0 fx e lim x0 fx 0 b lim x0 fx e lim x0 fx 1 c lim x0 fx e lim x0 fx 2 d lim x0 fx e lim x0 fx e lim x0 fx 5 Se uma função f é a derivada de uma função F e se f pertence a ℜa b que é o conjunto das funções Riemann integráveis então ab f Fb Fa É comum denotarse Fab Fb Fa A função F tal que Fx fx para todo x ab é chamada uma antiderivada ou primitiva de f em ab O enunciado exposto acima corresponde ao Alternativas a Teorema do Valor Médio b Teorema de Taylor c Teorema Fundamental do Cálculo d Teorema de Lebesgue e Teorema de Weierstrass 1 Ter conhecimento das definições propriedades e teoremas que envolvem conjuntos e números são de suma importância na área da Matemática Diante desses conhecimentos analise as afirmativas que seguem I O numerador e o denominador de um número racional são primos entre si II O conjuntos dos números racionais é fechado em relação à adição e multiplicação III O conjunto dos números reais é composto pela união dos números racionais e irracionais Em relação as afirmações assinale a alternativa correta Alternativas a I II e III estão corretas b Apenas I e II estão corretas c Apenas II e III estão corretas d Apenas II está correta e Apenas III está correta 5 No estudo relacionado à séries numéricas é possível determinar se uma série converge ou não Considere a série n1 1n Assinale a alternativa correta Alternativas a A série é divergente b A série converge para 0 c Não é possível encontrar o limite lim n 1n d A série é denominada alternada e A soma de todos os termos da série é 2 4 Sabese que numa sequência podemos ter as subsequências originadas da sequência original e que a partir delas podese realizar estudo de toda sequência Considerando isso analise as afirmativas que seguem e marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso A sequência 1 1 1 1 1 1 converge para 1 Se uma subsequência Xnk é convergente e converge para L o limite da seqência original é L Se uma sequência converge para L então todas suas subsequências também convergem para L A partir das asserções acima assinale a alternativa que contenha a sequência correta Alternativas a F F V b F V F c V F V d F V V e V F F PARTE 1 1 Letra E Este limite não existe De fato se xn é uma sequência que converge para 0 com xn0 é claro que f xn convergirá para 0 Porém se xn converge para 0 com xn0 então f xn converge para 1 2 Letra E 3 Letra B Vamos analisar as afirmações I Verdadeira pela definição de continuidade num ponto II Verdadeira novamente pela definição de continuidade num ponto e também pela definição de limite de uma função III Verdadeira por definição IV Falso a afirmação não faz sentido pois L não foi definido 4 Letra A 5 Letra C PARTE 2 1 Letra C Vamos analisar as afirmações I Falsa O numerador e o denominador são primos entre si apenas se a fração for irredutível II Verdadeira A soma de dois racionais é sempre racional De fato sendo p q e m n números racionais com pqm nZ e nq0 temos que p q m n pnmq qn 1 Como pnmq e qn são inteiros com qn0 concluímos que a soma p q m n é racional Analogamente o produto de dois racionais é racional De fato p q m n pm qn que é racional já que pm e qn são inteiros e qn0 III Verdadeira 2 Letra A Vamos analisar as afirmações I Verdadeira II Falsa Como consta no texto 0R Assim se x0 então as três alternativas ocorrerão III Verdadeira Podemos ver R como o intervalo 0 que é aberto à direita 3 Letra E Vamos analisar as afirmações I Verdadeira Temos que 0 é uma cota inferior de A pois por definição se x A então x0 Além disso pela densidade de Q em R para cada c0 existe xQ tal que 0xc Particularmente podemos tomar x satisfazendo x 22 Portanto x A Isto mostra que 0 é a maior cota inferior de A II Falsa Como inf A0 temos que 0 é a maior cota inferior de A III Verdadeira Como para todo x A temse x 22 temos também que x2 IV Verdadeira A prova é análoga à do item I V Falsa Como vimos no item I inf A0Q 4 Letra A Vamos analisar as afirmações I Falsa Esta sequência possui uma subsequência 111 que claramente converge para 1 Caso a sequência original convergisse para 1 toda subsequência sua deveria também convergir para 1 II Falsa No exemplo do item I temos a subsequência 1111 que claramente converge para 1 No entanto provamos que a sequência original não converge para 1 III Verdadeira Este é um resultado conhecido da análise 5 Letra A 2 Esta série é conhecida como série harmônica É conhecido da análise que esta série diverge 3 1 PARTE 1 1 Letra E Este limite não existe De fato se 𝑥𝑛 é uma sequência que converge para 0 com 𝑥𝑛 0 é claro que 𝑓𝑥𝑛 convergirá para 0 Porém se 𝑥𝑛 converge para 0 com 𝑥𝑛 0 então 𝑓𝑥𝑛 converge para 1 2 Letra E 3 Letra B Vamos analisar as afirmações I Verdadeira pela definição de continuidade num ponto II Verdadeira novamente pela definição de continuidade num ponto e também pela definição de limite de uma função III Verdadeira por definição IV Falso a afirmação não faz sentido pois 𝐿 não foi definido 4 Letra A 5 Letra C PARTE 2 1 Letra C Vamos analisar as afirmações I Falsa O numerador e o denominador são primos entre si apenas se a fração for irredutível II Verdadeira A soma de dois racionais é sempre racional De fato sendo 𝑝 𝑞 e 𝑚 𝑛 números racionais com 𝑝 𝑞 𝑚 𝑛 ℤ e 𝑛 𝑞 0 temos que 𝑝 𝑞 𝑚 𝑛 𝑝𝑛 𝑚𝑞 𝑞𝑛 Como 𝑝𝑛 𝑚𝑞 e 𝑞𝑛 são inteiros com 𝑞𝑛 0 concluímos que a soma 𝑝 𝑞 𝑚 𝑛 é racional Analogamente o produto de dois racionais é racional De fato 2 𝑝 𝑞 𝑚 𝑛 𝑝𝑚 𝑞𝑛 que é racional já que 𝑝𝑚 e 𝑞𝑛 são inteiros e 𝑞𝑛 0 III Verdadeira 2 Letra A Vamos analisar as afirmações I Verdadeira II Falsa Como consta no texto 0 ℝ Assim se 𝑥 0 então as três alternativas ocorrerão III Verdadeira Podemos ver ℝ como o intervalo 0 que é aberto à direita 3 Letra E Vamos analisar as afirmações I Verdadeira Temos que 0 é uma cota inferior de 𝐴 pois por definição se 𝑥 𝐴 então 𝑥 0 Além disso pela densidade de ℚ em ℝ para cada 𝑐 0 existe 𝑥 ℚ tal que 0 𝑥 𝑐 Particularmente podemos tomar 𝑥 satisfazendo 𝑥2 2 Portanto 𝑥 𝐴 Isto mostra que 0 é a maior cota inferior de 𝐴 II Falsa Como inf 𝐴 0 temos que 0 é a maior cota inferior de 𝐴 III Verdadeira Como para todo 𝑥 𝐴 temse 𝑥2 2 temos também que 𝑥 2 IV Verdadeira A prova é análoga à do item I V Falsa Como vimos no item I inf 𝐴 0 ℚ 4 Letra A Vamos analisar as afirmações I Falsa Esta sequência possui uma subsequência 1 1 1 que claramente converge para 1 Caso a sequência original convergisse para 1 toda subsequência sua deveria também convergir para 1 II Falsa No exemplo do item I temos a subsequência 1111 que claramente converge para 1 No entanto provamos que a sequência original não converge para 1 III Verdadeira Este é um resultado conhecido da análise 5 Letra A Esta série é conhecida como série harmônica É conhecido da análise que esta série diverge 1 Sejam f A R A R e p um ponto de acumulação de A Então lim fx L existe se e somente se para toda sequência xn em A convergindo para p e tal que xn p para todo n N tivermos que a sequência fxn converge para L CORRÊA Francisco Júlio Sobreira de Araújo Introdução à Análise Real Belém UFPA 246 p Disponível em httpwwwmatunbbrfurtadohomepageveraolivrodeanalisenovopdf Acesso em 22 jan 2019 Considere a função f R R definida por fx 0 se x 0 2 se x 0 1 se x 0 O limite de fx quando x tende a zero está corretamente indicado em Alternativas a lim x0 fx e lim x0 fx 0 b lim x0 fx e lim x0 fx 1 c lim x0 fx e lim x0 fx 2 d lim x0 fx e lim x0 fx e lim x0 fx 2 Um importante resultado que tem uma visualização geométrica muito evidente afirma que o gráfico de uma função ao passar de um lado a outro do eixo dos X necessariamente tem de cortar esse eixo Por um bom tempo até o final do século XVIII esse resultado foi aceito sem que ninguém pensasse em demonstrálo Aliás a tentativa de Bolzano em demonstrálo foi um dos principais marcos do início do rigor na Análise no começo do século XIX ÁVILA Geraldo Análise Matemática para Licenciatura São Paulo Edgard Blücher 2001 Seja f uma função contínua num intervalo l ab com fafb Então dado qualquer número d compreendido entre fa e fb existe c ab tal que fc d Em outras palavras fx assume todos os valores compreendidos entre fa e fb com x variando em ab Esse resultado é conhecido como o Alternativas a critério de convergência de Cauchy b teorema de BolzanoWeierstrass c teorema da permanência do sinal d teorema dos intervalos encaixados e teorema do valor intermediário Alternativas a II e III apenas b I II e III apenas c I II e IV apenas d I III e IV apenas e II III e IV apenas 3 O estudo da continuidade de uma função está fortemente vinculado com o estudo de limites pois quando se quer saber se uma função é contínua devese analisar também a existência do limite Grosseiramente podese afirmar que uma função é continua quando conseguimos desenhar seu gráfico completo sem tirar o lápis do papel ou seja de maneira ininterrupta Ou ainda quando o gráfico da função não possui quebras ou saltos em todo seu domínio DICAS de Cálculo continuidade de uma função 2019 Disponível em httpswwwdicasdecalculocombrconteudoslimitesecontinuidadecontinuidadedeumafuncao Acesso em 25 jan 2019 Em relação à continuidade de funções analise as seguintes afirmações I Se a função já está definida em a e seu valor nesse ponto coincide com seu limite então a função é contínua nesse ponto II Simbolicamente dizer que f D R é contínua em a D significa dizer que ε 0 δ 0 x D x a δ fx fa ε III Dizemos que f D R é contínua quando ela é contínua em todos os pontos de D IV Dizer que f D R não é contínua em a D significa dizer que existe ε 0 tal que para qualquer δ 0 podemos sempre encontrar xδ D tal que xδ a δ e fxδ L ε onde xδ x δ x δ intervalo aberto em X Considerando o contexto apresentado é correto o que se afirma em A respeito dessas asserções assinale a opção correta Alternativas a As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa da primeira b As duas asserções são proposições verdadeiras mas a segunda não é uma justificativa da primeira c A primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda é falsa d A primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda é verdadeira e Ambas as asserções são proposições falsas A respeito dessas asserções assinale a opção correta Alternativas a As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa da primeira b As duas asserções são proposições verdadeiras mas a segunda não é uma justificativa da primeira c A primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda é falsa d A primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda é verdadeira e Ambas as asserções são proposições falsas 4 Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto Tornouse assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o Problema da Tangente Estas ideias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace a considerar Fermat o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial Contudo Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido NAIURE Débora Conceito de limites e derivadas S l 20 fev 2019 Disponível em httpwwwmatucptmat1202LimitesEDerivadasWordhtm Acesso em 20 fev 2019 Em uma aula de Análise Matemática estava sendo discutido o cálculo de derivadas a partir da definição de limites Uma dos apontamentos levantados foi que I A função f R R definida por fx x sen1x se x 0 0 se x0 não é derivável em x 0 PORQUE II lim xa fxfaxa lim x0 x sen1xx lim x0 sen1x 3 5 Se uma função f é a derivada de uma função F e se f pertence a Rab que é o conjunto das funções Riemann integráveis então ab f Fb Fa É comum denotarse Fab Fb Fa A função F tal que Fx fx para todo x ab é chamada uma antiderivada ou primitiva de f em ab O enunciado exposto acima corresponde ao Alternativas a Teorema do Valor Médio b Teorema de Taylor c Teorema Fundamental do Cálculo d Teorema de Lebesgue e Teorema de Weierstrass 1 Ter conhecimento das definições propriedades e teoremas que envolvem conjuntos e números são de suma importância na área da Matemática Diante desses conhecimentos analise as afirmativas que seguem I O numerador e o denominador de um número racional são primos entre si II O conjuntos dos números racionais é fechado em relação à adição e multiplicação III O conjunto dos números reais é composto pela união dos números racionais e irracionais Em relação as afirmações assinale a alternativa correta Alternativas a I II e III estão corretas b Apenas I e II estão corretas c Apenas II e III estão corretas d Apenas II está correta e Apenas III está correta 2 De acordo com Souza 2013 um dos marcos ao início do desenvolvimento histórico dos números reais foi a crise pitagórica na Grécia ocasionada pela descoberta dos segmentos incomensuráveis que provavelmente deve ter sido feita por um pitagórico no período entre 500 e 350 aC A partir destes estudos e considerando o conjunto dos números reais positivos R que é um subconjunto próprio dos reais isto é RR tal que satisfaz algumas propriedades Note que 0 R SOUZA J S Números reais Um corpo ordenado e completo Goiânia 2013 Assim diante disso analise as afirmativas que seguem marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso Dados xy R temse que x y R e x y R ou seja R é fechado em relação a adição e a multiplicação Dados x R ocorre exatamente uma das três alternativas ou x 0 ou x R ou x R onde 0 é o elemento neutro da adição O conjunto dos números reais positivos R pode ser visto como um intervalo aberto a direita Assinale a alternativa que contém a sequência correta Alternativas a V F V b V V F c V V V d F F V e V F F 3 Temse que o conjunto dos números reais ℝ é munido de duas operações denominadas adição e multiplicação representadas respectivamente por e A adição faz corresponder a cada par ab ℝ sua soma a b ℝ enquanto a multiplicação faz com que esses elementos sejam associados ao seu produto a b ℝ Temos também que o conjunto dos números reais é um conjunto completo porém o conjunto dos números racionais ℚ não é completo Para essa última afirmação podemos analisar o subconjunto A x ℚ x 0 e x² 2 onde supremo de A não pertence a ℚ Considerando o contexto acima classifique as afirmações a seguir como V para verdadeira e F para falsa 0 é ínfimo do conjunto A 12 é uma cota inferior para A 2 é uma cota superior para A 2 é supremo do conjunto A Ínfimo do conjunto A não pertence a ℚ Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta Alternativas a F V F F V b V F V F F c F F V V V d V V F V F e V F V V F 5 No estudo relacionado à séries numéricas é possível determinar se uma série converge ou não Considere a série n1 1n Assinale a alternativa correta Alternativas a A série é divergente b A série converge para 0 c Não é possível encontrar o limite limn 1n d A série é denominada alternada e A soma de todos os termos da série é 2 4 Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto Tornouse assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o Problema da Tangente Estas ideias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace a considerar Fermat o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial Contudo Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido NAIURE Débora Conceito de limites e derivadas S l 20 fev 2019 Disponível em httpwwwmatucptmat1202LimitesEDerivadasWordhtm Acesso em 20 fev 2019 Em uma aula de Análise Matemática estava sendo discutido o cálculo de derivadas a partir da definição de limites Uma dos apontamentos levantados foi que I A função f ℝ ℝ definida por fx xsen1x se x 0 0 se x 0 não é derivável em x 0 PORQUE II limxa fxfaxa limx0 xsen1xx limx0 sen1x Alternativas a II e III apenas b I II e III apenas c I II e IV apenas d I III e IV apenas e II III e IV apenas 3 O estudo da continuidade de uma função está fortemente vinculado com o estudo de limites pois quando se quer saber se uma função é contínua devese analisar também a existência do limite Grosseriramente podese afirmar que uma função é continua quando conseguimos desenhar seu gráfico completo sem tirar o lápis do papel ou seja de maneira ininterrupta Ou ainda quando o gráfico da função não possui quebras ou saltos em todo seu domínio DICAS de Cálculo continuidade de uma função 2019 Disponível em httpswwwdicasdecalculocombrconteudoslimitesecontinuidadecontinuidadedeumafuncao Acesso em 25 jan 2019 Em relação à continuidade de funções analise as seguintes afirmações I Se a função já está definida em a e seu valor nesse ponto coincide com seu limite então a função é contínua nesse ponto II Simbolicamente dizer que fD ℝ é contínua em a D significa dizer que ϵ 0 δ 0 x D xaδ fxfaϵ III Dizemos que fD ℝ é contínua quando ela é contínua em todos os pontos de D IV Dizer que fD ℝ não é contínua em a D significa dizer que existe ϵ 0 tal que para qualquer δ 0 podemos sempre encontrar xδ D tal que xδ a δ e fxδ L ϵ onde xδ x δ x δ intervalo aberto em X Considerando o contexto apresentado é correto o que se afirma em 2 Um importante resultado que tem uma visualização geométrica muito evidente afirma que o gráfico de uma função ao passar de um lado a outro do eixo dos X necessariamente tem de cortar esse eixo Por um bom tempo até o final do século XVIII esse resultado foi aceito sem que ninguém pensasse em demonstrálo Aliás a tentativa de Bolzano em demonstrálo foi um dos principais marcos do início do rigor na Análise no começo do século XIX ÁVILA Geraldo Análise Matemática para Licenciatura São Paulo Edgard Blücher 2001 Seja f uma função contínua num intervalo I ab com fa fb Então dado qualquer número d compreendido entre fa e fb existe c ab tal que fc d Em outras palavras fx assume todos os valores compreendidos entre fa e fb com X variando em ab Esse resultado é conhecido como o Alternativas a critério de convergência de Cauchy b teorema de BolzanoWeierstrass c teorema da permanência do sinal d teorema dos intervalos encaixados e teorema do valor intermediário 4 Sabese que numa sequência podemos ter as subsequências originadas da sequência original e que a partir delas podese realizar estudo de toda sequência Considerando isso analise as afirmativas que seguem e marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso A sequência 1 1 1 1 1 1 converge para 1 Se uma subsequência Xnk é convergente e converge para L o limite da seqência original é L Se uma sequência converge para L então todas suas subsequências também convergem para L A partir das asserções acima assinale a alternativa que contenha a sequência correta Alternativas a F F V b F V F c V F V d F V V e V F F 3 Temse que o conjunto dos números reais ℝ é munido de duas operações denominadas adição e multiplicação representadas respectivamente por e A adição faz corresponder a cada par ab ℝ sua soma a b ℝ enquanto a multiplicação faz com que esses elementos sejam associados ao seu produto a b ℝ Temos também que o conjunto dos números reais é um conjunto completo porém o conjunto dos números racionais ℚ não é completo Para essa última afirmação podemos analisar o subconjunto A x ℚ x 0 e x² 2 onde supremo de A não pertence a ℚ Considerando o contexto acima classifique as afirmações a seguir como V para verdadeira e F para falsa 0 é ínfimo do conjunto A 12 é uma cota inferior para A 2 é uma cota superior para A 2 é supremo do conjunto A Ínfimo do conjunto A não pertence a ℚ Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta Alternativas a F V F F V b V F V F F c F F V V V d V V F V F e V F V V F 2 De acordo com Souza 2013 um dos marcos ao início do desenvolvimento histórico dos números reais foi a crise pitagórica na Grécia ocasionada pela descoberta dos segmentos incomensuráveis que provavelmente deve ter sido feita por um pitagórico no período entre 500 e 350 aC A partir destes estudos e considerando o conjunto dos números reais positivos ℝ que é um subconjunto próprio dos reais isto é ℝ ℝ tal que satisfaz algumas propriedades Note que 0 ℝ SOUZA J S Números reais Um corpo ordenado e completo Goiânia 2013 Assim diante disso analise as afirmativas que seguem marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso Dados xy ℝ temse que x y ℝ e x y ℝ ou seja ℝ é fechado em relação a adição e a multiplicação Dados x ℝ ocorre exatamente uma das três alternativas ou x 0 ou x ℝ ou x ℝ onde 0 é o elemento neutro da adição O conjunto dos números reais positivos ℝ pode ser visto como um intervalo aberto a direita Assinale a alternativa que contém a sequência correta Alternativas a V F V b V V F c V V V d F F V e V F F