Lista de Exercicios Resolvida - Matematica Aplicada e Computacional

Universidade Estadual de Campinas Universidade Federal do Maranhao Centro de Ciˆencias Codo MA Mestrado Profissional em Matematica Aplicada e Computacional Prof Dr Leonardo Rodrigues 03092024 Resolucao da 1lista de exercıcios Aluno 1 Sejam a b c d N tais que a b e c d Mostre que b a d c se e somente se b c a d Resolucao Suponha que a b entao existe t1 N tal que b a t1 e c d entao existe t2 N tal que d c t2 Temos que b a d c a t1 a c t2 c como t1 e t2 sao ambos positivos temos que que t1 t2 Adicionando a c em ambos os lados da desiqualdadetemos a c t1 t2 a c a t1 c a t2 c b c a d Por outro lado temos que b c a d t1 a c t2 a c b a a c d c a c b a d c Concluımos portanto que b a d c se e somente se b c a d 1 2 Sejam a b c N tais que a b c esteja bem definido Mostre que a c b esta bem definido e que a b c a c b Resolucao Primeiro se a b c esta bem definido entao a b c Vamos considerar a expressao a c b a c b a c b Como a b c temos a c b portanto a c b esta bem definido Agora vamos provar que as expressoes sao iguais a b c a b c a c b 3 Sejam a b c N tais que a c e b c Mostre que se c a c b entao a b Resolucao Comecamos com a desigualdade c a c b Podemos rearranjar essa desigualdade da seguinte forma c a c b a b a b 4 Sejam a b c N tais que b c a Mostre que a b c e a b c estao bem definidos e que vale a igualdade a b c a b c Resolucao Como b c a temos a b c 0 o que garante que a b c esta bem definido Agora considere a expressao a b c a b c a b c a b c Portanto as duas expressoes sao iguais a b c a b c 5 Sejam a b c N tais que c b a Mostre que b c a c a Resolucao Primeiro como b c temos b c 0 Como a b e a c temos a c b c Alem disso ac a e uma desigualdade direta ja que estamos subtraindo um valor positivo de a Portanto b c a c a 6 Sejam a b Z Prove que Page 2 a1 a a Resolucao Por definicao de multiplicacao em Z temos 1 a a b Se a2 0 entao a 0 Resolucao Se a2 0 entao a deve ser 0 pois o unico numero cujo quadrado e zero e o proprio zero a2 0 a 0 c Se a2 a entao a 0 ou a 1 Resolucao Comecamos com a equacao a2 a a2 a 0 aa 1 0 Portanto a 0 ou a 1 d A equacao a x b tem uma unica solucao Resolucao A solucao para x e dada por x b a Como a subtracao em Z e bem definida e unica a solucao para x e unica 7 Mostre que a relacao e uma relacao de ordem ou seja e reflexiva antissimetrica e transitiva Resolucao Reflexividade a a para todo a Z Antissimetria Se a b e b a entao a b Transitividade Se a b e b c entao a c 8 Seja a Z Prove que a Se a 0 entao a 0 Resolucao Se a 0 entao a k para algum k 0 Portanto a k 0 bSe a 0 entao a 0 Resolucao Se a 0 entao a 0 c a2 0 Resolucao O quadrado de qualquer numero inteiro e sempre nao negativo a2 0 Page 3 d Se a b entao a b Resolucao De a b temos b a 0 Agora tome c 0 Logo c b c a c b a 0 pela relacao de boa ordem nos inteiros temse c b c a tomando c 1 segue a desigualdade 9 Sejam a b c d Z Prove que e Se a b e c 0 entao ac bc Resolucao De a b 0 e c 0 temse ca b 0 logo ca cb 0 pela relacao de boa ordem nos inteiros temse ca cb f Se c 0 e ac bc entao a b Resolucao De c 0 e bc ac 0 temse cb a 0 logo b a 0 pela relacao de boa ordem nos inteiros temse b a g Se a b e c 0 entao ac bc Resolucao De a b temos a b 0 Logo ca bc ca b 0 em virtude da relacao de boa ordem nos inteiros Assim ac bc Page 4