Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Volume com Integrais Triplas

Questão 1 Ainda não respondida Vale 500 pontos Marcar questão Questão 2 Ainda não respondida Vale 500 pontos Marcar questão Considere o sólido localizado acima do plano z 0 limitado inferiormente por z2 x2 y2 e superiormente por x2 y2 z2 9 a Utilize o GeoGebra para representar o sólido descrito no enunciado Inclua o arquivo com a representação ou desenhe um esboço do sólido b Escreva a integral tripla em coordenadas cartesianas que calcula o volume do sólido descrito Não precisa calcular o volume apenas escrever a integral c Escreva a integral tripla em coordenadas cilíndricas que calcula o volume do sólido descrito Não precisa calcular o volume apenas escrever a integral d Escolha um dos sistemas de coordenadas e calcule o valor do volume do sólido e No item d qual sistema de coordenadas vocês escolheu para obter o valor do volume Justifique os motivos que levaram a tal escolha Considere o sólido limitado superiormente pelo hemisfério z sqrt4 x2 y2 e inferiormente por z 0 a Utilize o GeoGebra para representar o sólido descrito no enunciado Inclua o arquivo com a representação ou desenhe um esboço do sólido b Escreva a integral tripla em coordenadas cartesianas que calcula o volume do sólido descrito Não precisa calcular o volume apenas escrever a integral c Escreva a integral tripla em coordenadas esféricas que calcula o volume do sólido descrito Não precisa calcular o volume apenas escrever a integral d Escolha um dos sistemas de coordenadas e calcule o valor do volume do sólido e No item d qual sistema de coordenadas vocês escolheu para obter o valor do volume Justifique os motivos que levaram a tal escolha Questão 1 a z sqrtx2 y2 z sqrt9 x2 y2 b Como o sólido está acima do plano z 0 logo temos z sqrtx2 y2 cone e z sqrt9 x2 y2 esfera A interseção desses dois sólidos nos fornece a projeção no plano x y sqrtx2 y22 sqrt9 x2 y22 x2 y2 9 x2 y2 2x2 2y2 9 2 x2 y2 92 circunferência de raio r sqrt92 3sqrt2 3 sqrt2 sqrt2 sqrt2 3 sqrt2 2 Projeção no plano x y y sqrt92 x2 y sqrt92 x2 Assim os intervalos de integração serão R sqrtx² y² z sqrt9 x² y² sqrt92 x² y sqrt92 x² 322 x 322 Portanto a integral tripla em coordenadas cartesianas ficará da seguinte maneira από 322 para 322 από sqrt92 x² para sqrt92 x² από sqrtx² y² para sqrt9 x² y² 1 dz dy dx c Em coordenadas cilíndricas temos que x r cosθ y r senθ z z x² y² r² J r Assim z sqrtx² y² z sqrt9 x² y² z sqrtr² z sqrt9 x² y² z sqrt9 r² Observando na projeção no plano xy do item b temos a circunferência x² y² 92 de raio r 322 Por ser uma circunferência o ângulo θ faz uma volta completa assim θ varia de zero a 2π Portanto a região de integração em coordenadas cilíndricas será T r z sqrt9 r² 0 r 322 0 θ 2π Dessa forma a integral tripla ficará 02π 0322 nsqrt9 n² r dz dr dθ d Em coordenadas cilíndricas temos V 02π 0322 nsqrt9 n² r dz dn dθ V 02π 0322 n znsqrt9 n² dn dθ V 02π 0322 n sqrt9 n² n dn dθ V 02π 0322 n sqrt9 n² n² dn dθ V 02π 0322 n sqrt9 n² dn 0322 n² dn dθ Resolvendo a integral n sqrt9 n² dn por substituição temos u 9 n² du 2n dn 12 du n dn n sqrt9 n² dn 12 sqrtu du n sqrt9 n² dn 12 u12 du n sqrt9 n² dn 12 23 u32 c 13 u32 c 13 sqrt9 n²³ c Portanto V 02π 0322 n sqrt9 n² dn 0322 n² dn dθ V 02π 13 sqrt9 n²³ 0322 n³3 0322 dθ V 02π 13 sqrt9 322²³ 13 sqrt9 0²³ 13 322³ 0³3 dθ V 02π 13 sqrt9 924³ 13 932 13 2788 dθ V 02π 13 sqrt9 92³ 13 27 9228 dθ V 02π 13 sqrt92³ 9 924 dθ V 02π 13 sqrt7298 9 924 dθ V 02π 13 2722 9 924 dθ V 02π 922 9 924 dθ V 02π 924 9 924 dθ V 02π 9 1824 dθ V from 0 to 2π 9 922 dθ V 18 922 from 0 to 2π dθ V 18 922 θ from 0 to 2π V 18 922 2π V 18π 9π2 V 9π 2 2 e O sistema de coordenadas cilíndricas foi escolhido pois em coordenadas cartesianas a integração de raízes se tornariam difíceis como observamos a projeção no plano xy da interseção dos sólidos é circular então é mais fácil resolver pelo sistema de coordenadas cilíndricas onde é utilizado o raio o ângulo e o próprio eixo z Questão 2 a z 4 x² y² z 0 b hemisfério z 4 x² y² z 0 Fazendo a intersecção do plano z 0 com a esfera x² y² z² 4 temos x² y² 0² 4 x² y² 4 circunferência de raio 2 Projeção no plano xy y y 4 x² x 2 2 y 4 x² Assim os intervalos de integração são R² 0 z 4 x² y² 4 x² y 4 x² 2 x 2 Portanto a integral em coordenadas cartesianas é from 2 to 2 from 4 x² to 4 x² from 0 to 4 x² y² 1 dz dy dx c Em coordenadas esféricas temos x ρ senφ cosθ y ρ senφ senθ z ρ cosφ ρ² x² y² z² J ρ² senφ A equação da esfera é x² y² z² 4 então p² 4 p 4 p 2 De z0 temos pcos φ 0 cos φ 0 φ π2 Observando a projeção do hemisfério no eixo xy temos que a circunferência completa uma volta assim θ varia de zero à 2π Portanto a região de integração em coordenadas esféricas é T 0 p 2 0 θ 2π 0 φ π2 Assim a integral tripla em coordenadas esféricas é ₀π2 ₀2π ₀² p² sen φ dp dθ dφ d Usando coordenadas esféricas vem que V ₀π2 ₀2π ₀² p² sen φ dp dθ dφ V ₀π2 ₀2π sen φ p³3 ₀² dθ dφ V ₀ π2 ₀ 2π sen φ 2³3 0³3 dθ dφ V 83 ₀ π2 ₀ 2π sen φ dθ dφ V 83 ₀ π2 sen φ θ ₀2π dφ V 83 ₀ π2 sen φ 2π 0 dφ V 8 2π 3 ₀ π2 sen φ dφ V 16π3 cos φ ₀ π2 V 16π3 cos π2 cos 0 V 16π3 0 1 V 16π3 e O sistema escolhido foi o que utiliza as coordenadas esféricas pois em coordenadas cartesianas o cálculo tornase complicado por conta das raízes quadradas Em coordenadas esféricas não é integrada nenhuma raiz apenas é utilizado ângulos θ e φ e o raio p da esfera o que torna a obtenção de volume mais fácil