Cálculo Diferencial - Lista de Exercícios Resolvidos e Diagramas

Questão 1 Ainda não respondida Vale 200 pontos Marcar questão Seja a função dada por u x2 y2 onde x 3r s y r 2s É correto afirmar que a us 2x 2y b us 2x 2y c us 2x 2y d us 2x 4y e us 2x 2y Seja w hxy onde x fuv e y guv Desenhe um diagrama em árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para a derivada wu Questão 3 Ainda não respondida Vale 200 pontos Marcar questão O diferencial total para a função w x3 y2 z é dado por dw 3x2 y2 z dx 2x3 y z dy x3 y2 dz Escolha uma opção Verdadeiro Falso Seja a função definida implicitamente x eyz y exz 0 Podemos afirmar que a zy exz x z eyz x y eyz exz b zy exz eyz x y eyz exz c zy exz x z eyz x y eyz exz d zy exz x eyz x y eyz exz e zy exz x z eyz x y eyz exz Calcule o valor de zy para a equação que define z implicitamente como função diferenciável de x e y z3 x y y z y3 2 0 no ponto 1 1 1 Questão 1 Temos u s u x x s u y y s u s x 2 y 2 x 3rs s x 2y 2 y r2s s 2 x 3rs s 2 y r2s s 2 x 12 y 2 2x4 y 2 x2 y Questão 2 Temos w u w x x u w y y u w u h x f u h y g u Diagrama Questão 3 Temos dww x dx w y d y w z d z dw x 3 y 2 z x dx x 3 y 2z y dy x 3 y 2z z d z dw3 x 2 y 2 zdx2 x 3 yz dyx 3 y 2dz VERDADEIRO Questão 4 Temos x e yzy e xz0 y x e yz y y e xz 0 x y e yz y y e xz 0 x e yz y yzy y e xze xz y y 0 x e yz z y y y y z y e xz y xz e xz0 x e yz z y z yy e xz x y z e xz0 x e yz zx e yz y z yy e xz x z y e xz x e yz y z y y e xz x z y e xzx ze yz z y e xzxz e yz x y e yzy e xz x z y e xzxz e yz xy e yze xz Questão 5 Temos z 3xy yz y 320 y z 3 y xy y y z y y 3 y 20 3 z 2 y z x y y y yz 3 y 20 3 z 2 y z x y y z z y y 3 y 20 3 z 2 z y x y z y z3 y 20 3 z 2 z y y z yxz3 y 2 z y xz3 y 2 3 z 2 y Aplicando no ponto temos z y 111113 31 z y 1113 4 Questão 1 Temos 𝑢 𝑠 𝑢 𝑥 𝑥 𝑠 𝑢 𝑦 𝑦 𝑠 𝑢 𝑠 𝑥2 𝑦2 𝑥 3𝑟 𝑠 𝑠 𝑥2 𝑦2 𝑦 𝑟 2𝑠 𝑠 2𝑥 3𝑟 𝑠 𝑠 2𝑦 𝑟 2𝑠 𝑠 2𝑥1 2𝑦2 2𝑥 4𝑦 𝟐𝒙 𝟐𝒚 Questão 2 Temos 𝑤 𝑢 𝑤 𝑥 𝑥 𝑢 𝑤 𝑦 𝑦 𝑢 𝑤 𝑢 ℎ 𝑥 𝑓 𝑢 ℎ 𝑦 𝑔 𝑢 Diagrama Questão 3 Temos 𝑑𝑤 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 𝑤 𝑦 𝑑𝑦 𝑤 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑤 𝑥3𝑦2𝑧 𝑥 𝑑𝑥 𝑥3𝑦2𝑧 𝑦 𝑑𝑦 𝑥3𝑦2𝑧 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑤 3𝑥2𝑦2𝑧𝑑𝑥 2𝑥3𝑦𝑧𝑑𝑦 𝑥3𝑦2𝑑𝑧 VERDADEIRO Questão 4 Temos 𝑥𝑒𝑦𝑧 𝑦𝑒𝑥𝑧 0 𝑦 𝑥𝑒𝑦𝑧 𝑦 𝑦𝑒𝑥𝑧 0 𝑥 𝑦 𝑒𝑦𝑧 𝑦 𝑦𝑒𝑥𝑧 0 𝑥𝑒𝑦𝑧 𝑦 𝑦𝑧 𝑦 𝑦 𝑒𝑥𝑧 𝑒𝑥𝑧 𝑦 𝑦 0 𝑥𝑒𝑦𝑧 𝑧 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 𝑦𝑒𝑥𝑧 𝑦 𝑥𝑧 𝑒𝑥𝑧 0 𝑥𝑒𝑦𝑧 𝑧 𝑦 𝑧 𝑦 𝑦𝑒𝑥𝑧𝑥 𝑦 𝑧 𝑒𝑥𝑧 0 𝑥𝑒𝑦𝑧𝑧 𝑥𝑒𝑦𝑧 𝑦 𝑧 𝑦 𝑦𝑒𝑥𝑧𝑥 𝑧 𝑦 𝑒𝑥𝑧 𝑥𝑒𝑦𝑧 𝑦 𝑧 𝑦 𝑦𝑒𝑥𝑧𝑥 𝑧 𝑦 𝑒𝑥𝑧 𝑥𝑧𝑒𝑦𝑧 𝑧 𝑦 𝑒𝑥𝑧 𝑥𝑧𝑒𝑦𝑧 𝑥𝑦𝑒𝑦𝑧 𝑦𝑒𝑥𝑧𝑥 𝒛 𝒚 𝒆𝒙𝒛 𝒙𝒛𝒆𝒚𝒛 𝒙𝒚𝒆𝒚𝒛 𝒆𝒙𝒛 Questão 5 Temos 𝑧3 𝑥𝑦 𝑦𝑧 𝑦3 2 0 𝑦 𝑧3 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 𝑦𝑧 𝑦 𝑦3 𝑦 2 0 3𝑧2 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦𝑧 3𝑦2 0 3𝑧2 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 𝑦 𝑦 3𝑦2 0 3𝑧2 𝑧 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 3𝑦2 0 3𝑧2 𝑧 𝑦 𝑦 𝑧 𝑦 𝑥 𝑧 3𝑦2 𝒛 𝒚 𝒙 𝒛 𝟑𝒚𝟐 𝟑𝒛𝟐 𝒚 Aplicando no ponto temos 𝑧 𝑦 111 1 1 3 3 1 𝒛 𝒚𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟒