Listadeexercicios_calculoii_2

INSTITUTO DE MATEMÁTICA-UFBA\nDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA\n2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 042- CÁLCULO II-A\n\n1. Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:\n\na) Interior à circunferência r = cos(θ) e exterior à cardióide r = 1 - cos(θ).\n\nb) Exterior à circunferência r = cos(θ) e interior à r = 1 - cos(θ).\n\nc) Interior à rosácea r = 2 cos(3θ) e exterior à circunferência r = 1.\n\nd) Interior à lemniscata r² = a² cos(2θ).\n\ne) Interseção do círculo r = 1 com o interior da lemniscata r² = 2 sin(2θ).\n\n2. Nos problemas a seguir determine uma expressão em integrais que representa a área das regiões indicadas:\n\na) Interseção do círculo r = cos(θ) com o interior da cardióide r = 1 - cos(θ).\n\nb) Interior à rosácea r = 2 sin(2θ).\n\nc) Entre a 3ª e 4ª voltas da espiral r = aθ, a > 0 e θ ≥ 0.\n\n3. Considere os pares de curvas dadas a seguir. Calcule a área hachurada conforme figura de cada item:\n\na) r² = 4 sin(2θ) e r = 4(cos(θ) + sin(θ)).\n\nb) r² = 4 cos(2θ) e r = 2(cos(θ) + sin(θ)).\n\n4. Se A1 e A2 são respectivamente as áreas do interior de cada uma das curvas a seguir, calcule A1/A2.\n\na) r = 4 sin(3θ) e r = |4 sin(3θ)|\n\n1 b) r = 4 sin(2θ) e r = |4 sin(2θ)|\n\n5. Considere as curvas dadas a seguir. Determine uma expressão em integrais que representa a área hachurada conforme figura de cada item.\n\na) r = 2 + cos(50/2)\n\nb) r = 1 - 2 sin(θ)\n\n6. Determine a área limitada pelo eixo OX, x = 1, x = e e e a curva de equações paramétricas\n\n{ x = e^{2t}\n y = 2 + t² }\n\n2 7. Determine a área da região limitada pelas curvas de equações x = 2 e\n\n{ x = t² + 1\n y = t³ + 2t }\n\n8. Calcule a área limitada pelos laços de curvas dadas a seguir:\n\na) { x = t³ - t\n y = t² - 1 }\n\nb) { x = t²\n y = -t³/3 + t }\n\n3 9. Determine a área da região limitada pelas curvas de equações x = 2 e\n{ x = sec t \ny = t tan l \nonde −π/2 < t < π/2.\n\n10. Encontre o comprimento de arco da curva y = ln(2 cos x) entre os pontos adjacentes da interseção com o eixo OX.\n\n11. Achar o comprimento de arco da curva ay² = x³ da origem até o ponto P(4, 8a).\n\n12. Determine o comprimento de arco da curva y = 6x²/3 + 1 entre os pontos A(0, 1) e B(8, 25).\n\n13. As equações\n{ x = 4t + 3 \ny = 2t²\n dão posição (x,y) de uma partícula no instante t. Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 5.\n\n14. Determine o comprimento de arco da curva definida por\n{ x = 1/t \ny = ln t \nquando 0 ≤ t ≤ 2.\n\n15. Determine o comprimento de arco da curva definida por\n{ x = exp(−t) cos t \ny = exp(−t) sin t \nquando 0 ≤ t ≤ π/2.\n\n16. Determine o comprimento de arco da astróide\n{ x = a cos³ θ \ny = a sin³ θ \nquando 0 ≤ t ≤ 2π.\n\n17. Determine o comprimento de arco do laço da curva do exercício 8B).\n\n18. Determine o comprimento da espiral logarítmica r = exp(θ/2) de θ = 0 a θ = 2.\n\n19. Calcule o comprimento de arco da curva r = cos²(θ/2). 20. Determine a expressão da integral que permite calcular o comprimento dos arcos que limitam as regiões dos exercícios:\n(a) 1C).\n(b) 1D).\n\n21. Se a base de um sólido é um círculo de base r e se todas as seções planas perpendiculares a um diâmetro fixo da base são quadrados, encontre o volume do sólido.\n\n22. A base de um sólido é uma região plana limitada por uma elipse com semi-eixo maior de 4 unidades e semi-eixo menor igual a 3 unidades. Cada seção do corte perpendicular ao eixo maior da elipse é um semi-círculo. Calcule o volume do sólido.\n\n23. Calcule, pelo método das seções planos paralelas, o volume de um cone circular reto de altura igual a 30cm e raio da base igual a 10cm.\n\n24. Determine o volume do sólido limitado pelos cilindros x² + y² = R² e z = 0.\n\n25. Calcule o volume do sólido limitado pelo parabóloide elíptico x²/a² + y²/b² = z e o plano z = c, c > 0.\n\n26. Uma cunha é cortada de um sólido na forma de um cone circular reto, tendo raio da base de 5cm e uma altura de 20cm, por dois semi-planos do eixo do cone. O ângulo entre os dois semi-planos tem uma medida de 30°. Encontre o volume da cunha cortada.\n\n27. A base de um sólido é uma região plana limitada pela hipérbole 16x² - 9y² = 144 e a reta x = 6. Cada seção do sólido, perpendicular ao eixo OX é um triângulo equilátero. Calcule o volume do sólido.\n\n28. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno de OX da região limitada por y = 0 e a parábola y = ax - x², a > 0.\n\n29. Usando integração, determine o volume do cone circular reto de altura h e raio da base r.\n\n30. Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada pela parábola y² = 4ax, a > 0 e reta gira em torno dessa reta.\n\n31. Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada pela parábola y = x², y = √x gira em torno de:\n(a) x = -2\n(b) y = -3 32. A região limitada pelas curvas x² - y² = a² e x = 2a, a > 0, gira em torno da reta x = 0. Determine o volume do sólido gerado.\n\n33. Ache o volume do toro gerado pela rotação do círculo x² + y² = 4 em torno da reta x = 3.\n\n34. Ache o volume do sólido de revolução obtido quando a região limitada por\ny = exp x, y = exp - x e x = 1 gira em torno de x = 0.\n\n35. Dê a expressão da integral que permite calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por x = 2y² e x = 3 - y² em torno da reta x = 5.\n\n36. Dê a expressão da integral que permite calcular o volume do sólido de revolução obtido quando a região limitada pelo arco de cículoide\n{y = 1 - cos t \nx = t - sin t\nquando 0 ≤ t ≤ 2π e o eixo OX gira em torno de:\n(a) y = -1;\n(b) x = π;\n(c) y = 0.\n\n37. Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:\nA) ∫ 1 to +∞ x⁻⁴dx B) ∫ 1 to +∞ x⁻¹dx C) ∫ -∞ to +∞ 2α(x² + 1)⁻¹dx\nD) ∫ 0 to 1 3e⁻²xdx E) ∫ 0 to +∞ e⁻x cos xdx F) ∫ +∞ to 0 cos(bx)dx\nG) ∫ +∞ to 0 e⁻√(x)dx H) ∫ 0 to b x⁻³dx, a < 0 < b I) ∫ 10 to e dx/x.ln(x)\nL) ∫ 3 to 0 (x - 1)⁻²dx M) ∫ 2 to 1 (dx/(x.ln(x)))⁵ N) ∫ 2 to 0 dx/(x.ln(x))⁴ O) ∫ +∞ to 0 e⁻|x|dx\nP) ∫ 0 to 2 ln(2x)⁄x dx Q) ∫ 2 to 0 dx/√(x-1) R) ∫ 2 to 2 dx/√(2-x²)\n\n38. Verifique se é possível encontrar um número real medido de área da região entre os gráficos de:\n(a) y = 1/2, y = 0 e x = 1, à direita da reta x = 1.\n(b) y = √(1/x), eixos OX e OY e x = 4, à esquerda da reta x = 4.\n (c) y = - \\frac{x^3}{x^2 + a} , a > 0 ( Curva de Agnesi ) e y = 0.\n(d) y = e^x e y = 0, situada à esquerda do eixo OY.\n39. Ache o volume do sólido obtido pela rotação da área compreendida entre as curvas y = e^x , y = 0 e x = 0 e situada à esquerda do OY, quando gira em torno do eixo OX e do eixo OY.\n40. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do eixo OX, da região situada à direita da reta x = 1 e compreendida entre a curva y = \\frac{1}{\\sqrt{x}} e o eixo OX.\n41. Determine os valores de k para os quais a integral I a seguir é convergente e o seu valor para cada K encontrado.\n\nA) I = \\int_{0}^{1} x^k \\ln x dx B) I = \\int_{1}^{\\infty} x^{-k} dx C) I = \\int_{0}^{\\infty} x^2 (x^3 + 1)^{k} dx\n, onde k ≠ 0 e k ≠ 1.