Caderno de Questões: Volume e Área entre Curvas

CADERNO DE QUESTÕES MATEMÁTICA APLICADA AULA TEÓRICA 06 1 Calcule utilizando o método dos discos circulares o volume de 𝑦 𝑥3 2𝑥 em torno de 𝑥 om 0 𝑥 2 Resolução o método dos discos circulares em torno do eixo horizontal 𝑥 utilizase da fórmula 𝑉 𝜋𝑟2𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Portanto 𝑉 𝜋𝑥3 2𝑥2𝑑𝑥 2 0 Utilizando o quadrado perfeito 𝑎 𝑏2 𝑎2 2𝑎𝑏 𝑏2 𝑉 𝜋 𝑥32 2𝑥32𝑥 2𝑥2𝑑𝑥 2 0 𝑉 𝜋 𝑥6 4𝑥4 4𝑥2𝑑𝑥 2 0 𝑉 𝜋 𝑥7 7 4𝑥5 5 4𝑥3 3 0 2 𝑉 𝜋 27 7 4 25 5 4 23 3 07 7 4 05 5 4 03 3 𝑉 𝜋 352 105 1053 2 Calcule o volume do sólido que está entre as equações 𝑦 6𝑥2 3𝑥 e 𝑦 0 formado pela revolução em torno do eixo 𝑥 Resolução o método dos discos circulares em torno do eixo horizontal 𝑥 utilizase da fórmula 𝑉 𝜋𝑟2𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Portanto precisamos encontrar os limites de 𝑥 Devemos igualar as equações de 𝑦 para obter os limites de 𝑥 ou seja 6𝑥2 3𝑥 0 3𝑥2𝑥 1 0 𝑥 0 ou 𝑥 1 2 Aplicando esse resultado na formula do método dos discos circulares em torno do eixo horizontal 𝑥 temos 𝑉 𝜋6𝑥2 3𝑥2𝑑𝑥 12 0 Utilizando o quadrado perfeito 𝑎 𝑏2 𝑎2 2𝑎𝑏 𝑏2 𝑉 𝜋 6𝑥22 26𝑥23𝑥 3𝑥2𝑑𝑥 12 0 𝑉 𝜋 36𝑥4 36𝑥3 9𝑥2𝑑𝑥 12 0 𝑉 𝜋 36𝑥5 5 36𝑥4 4 9𝑥3 3 0 12 𝑉 𝜋 36 125 5 9 124 3 123 36 05 5 9 04 3 03 𝑉 𝜋 3 80 012 3 Calcule a área entre as curvas 𝑦 𝑥2 e 𝑦 3𝑥2 9 Resolução inicialmente precisamos verificar os pontos de intersecção entre as curvas 𝑦 𝑥2 e 𝑦 3𝑥2 9 Assim 3𝑥2 9 𝑥2 4𝑥2 9 0 𝑥2 9 4 𝑥 3 2 São os limites de integração A região será determinada pelo resultado da função superior menos a inferior Para isso podemos tomar valores dentro do intervalo de integração em cada uma das funções e determinar qual delas é superior ou traçar o gráfico das funções no intervalo Dentro do intervalo 𝑥 3 2 podemos tomar 𝑥 0 e verificar seu valor nas curvas 𝑦 𝑥2 𝑦 0 𝑦 3𝑥2 9 𝑦 9 Portanto 𝑦 3𝑥2 9 é a curva superior Assim montamos a nossa integral 3𝑥2 9 𝑥2𝑑𝑥 32 32 4𝑥2 9𝑑𝑥 32 32 4𝑥3 3 9𝑥 32 32 4 3 2 3 3 9 3 2 4 3 2 3 3 9 3 2 4 27 8 3 27 2 4 27 8 3 27 2 27 2 1 3 27 2 27 2 1 3 27 2 27 6 27 2 27 6 27 2 18 4 Calcule o volume do sólido que está entre as equações 𝑦 3𝑥2 e 𝑦 9𝑥 formado pela revolução em torno do eixo 𝑦 Resolução o método das arruelas em torno do eixo vertical 𝑦 utilizase da fórmula 𝑉 𝜋𝑓𝑦2 𝑔𝑦2𝑑𝑦 𝑏 𝑎 Portanto precisamos encontrar os limites de 𝑦 Devemos igualar as equações de 𝑦 para obter os limites de 𝑥 ou seja 3𝑥2 9𝑥 3𝑥2 9𝑥 0 3𝑥𝑥 3 0 𝑥 0 ou 𝑥 3 Para determinarmos os limites de 𝑦 utilizaremos os limites de 𝑥 Se 𝑥 0 em 𝑦 3𝑥2 ou em 𝑦 9𝑥 então 𝑦 0 Se 𝑥 3 em 𝑦 3𝑥2 ou em 𝑦 9𝑥 então 𝑦 27 Escrevendo 𝑥 como função de 𝑦 temos 𝑦 3𝑥2 𝑥 𝑦 3 𝑦 9𝑥 𝑥 𝑦 9 Aplicando as informações acima na fórmula temos 𝑉 𝜋𝑓𝑦2 𝑔𝑦2𝑑𝑦 𝑏 𝑎 𝑉 𝜋 𝑦 3 2 𝑦 9 2 𝑑𝑦 27 0 𝜋 𝑦 3 𝑦2 81 𝑑𝑦 27 0 𝜋 27𝑦 𝑦2 81 𝑑𝑦 27 0 𝜋 81 27𝑦 𝑦2𝑑𝑦 27 0 𝜋 81 27𝑦2 2 𝑦3 3 0 27 𝜋 81 27 272 2 273 3 0 405𝜋 5 Obtenha a área entre as curvas 𝑦 𝑥3 e 𝑦 8𝑥 para 𝑥 0 Resolução iniciamos igualando as curvas para obter os pontos de interseção 𝑥3 8𝑥 𝑥3 8𝑥 0 𝑥𝑥2 8 0 𝑥 0 ou 𝑥 8 Dentro do intervalo 0 8 temos que a curva 𝑦 8𝑥 é superior então 8𝑥 𝑥3 𝑑𝑥 8 0 8𝑥2 2 𝑥4 4 0 8 4 8 2 8 4 4 0 4 8 64 4 16