Lógica Matemática - Questionário 1 - 5 de 5

PROBLEMA 1\nLa función de distribución acumulada para una variable aleatoria continua X está dada por F_X(x) = \\begin{cases} 0 & \\text{si } x < 0 \\\\ \\frac{1}{2} x^2 & \\text{si } 0 \\leq x < 1 \\\\ 1 & \\text{si } x \\geq 1 \\end{cases}\nA continuación se presenta la función de densidad de probabilidad f_X(x) asociada a F_X(x).\n\nPROBLEMA 2\nSe tiene que calcular \\mathbb{E}[X], que es la esperanza matemática de la variable aleatoria X. Para esto se propone calcular la siguiente integral:\n\\[ \\mathbb{E}[X] = \\int_{0}^{1} x f_X(x) \\, dx \\]\n\nPROBLEMA 3\nHallar la Varianza de la variable aleatoria X, que es un parámetro que mide la dispersión de la distribución. La varianza es:\n\\[ \\text{Var}(X) = \\mathbb{E}[X^2] - (\\mathbb{E}[X])^2 \\]\n\nPROBLEMA 4\nSe tiene una variable aleatoria Y que es normal con media 5 y varianza 4. Se desea calcular la probabilidad de que Y esté entre 4 y 6. Para esto se puede usar la tabla de la normal estándar.\n\nPROBLEMA 5\nLa probabilidad de que una persona en una habitación tiene influyen en el resultado de una encuesta estadística. Se desea estimar el promedio de esta influencia para un grupo de personas.\n\\[ \\hat{p} = \\frac{X}{n} \\]\nDonde X es el número de éxitos y n es el número total de ensayos.\n\nPROBLEMA 6\nSe da un intervalo de confianza para una proporción poblacional. Se requiere calcular el límite inferior y superior para un nivel de confianza del 95%.\n\\[ L = \\hat{p} - Z_{\\alpha/2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}} \\]\n\\[ U = \\hat{p} + Z_{\\alpha/2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}} \\]\n\nPROBLEMA 7\nLa media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional. Se puede calcular con la siguiente fórmula:\n\\[ \\bar{X} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_i \\]\nEsto se usa para realizar inferencia estadística.\n\nPROBLEMA 8\nUn investigador quiere verificar si hay diferencias significativas en las medias de dos grupos. Para esto, aplicará la prueba t de Student.\n\\[ t = \\frac{\\bar{X_1} - \\bar{X_2}}{s_p \\sqrt{\\frac{1}{n_1} + \\frac{1}{n_2}}} \\]\nDonde s_p es la desviación estándar agrupada.\n\n