Apostila Dinamica dos Solidos

DINÂMICA DOS SÓLIDOS\n\nTEORIA\nEXERCÍCIOS RESOLVIDOS\nEXERCÍCIOS PROPOSTOS\nTAREFAS\n\nKAIZEN\nCópias, Letras e Projetos Ltda.\n\nFlamboyant, 63,44, área verde\nDP - Parque das Laranjeiras, Goiânia, etc.\nCEP 74663-000 - INMETRO - GO\n\n2ª sem 2008 DINÂMICA DOS SÓLIDOS\n\nENDIVIDADO\nINTÉRNO D' 1/ de agosto\nreplido no selo de uma ruta AUTORES\n\nARDÚNIO FRANCISCO LAURICELLA\nBacharel em Física pela Universidade de São Paulo - USP\nMestre em Física pela Universidade de São Paulo - USP\nProfessor Assistente da Engenharia Industrial - FEI\n\nBRASÍLIO CAMARGO DE BITO FILHO\nBacharel em Física pela Universidade de São Paulo - USP\nMestre em Física pela Universidade de São Paulo - USP\nProfessor Titular da Universidade Paulista - UNIP\n\nFRANCISCO XAVIER SERVIANI\nLicenciado em Bacharel em Física pela Universidade Católica - PUCRS\nMestre em Física pela Universidade de São Paulo - USP\nProfessor Titular da Universidade Paulista - UNIP\n\nPEDRO AMÉRICO FRUCCI\nBacharel em Física pela Universidade de São Paulo - USP\nMestre em Física pela Universidade de São Paulo - USP\nProfessor Adjunto da Universidade Paulista - UNIP\n\nROBERTO GOMES PEREIRA FILHO\nLicenciado em Física da Universidade - UNIF\nMestre em Engenharia de Produção 1.4 O Centro de Massa.\n\n\nO desenvolvimento do conhecimento humano, é usual estar novos conceitos, apoiados nas teorias já estabelecidas, em especial procura-se manter a forma das equações tanto quanto possível. Pode também ocorrer a forma da Lei de Newton, desde que se tenha um ponto material associado ao corpo, onde necessariamente encontra-se um corpo. Este ponto foi denominado de Centro de\nMassa, esse ponto estará caracterizando um sistema de duas partículas no espaço X e Y. As forças são necessárias de sistema de forças atuando, assim como a Lei de Newton ao invés de ser gerada, é apenas um sistema de estado do conjunto. CAPÍTULO 1\n\n1.1 Introdução.\nA Dinâmica destina-se a estudar as causas dos movimentos, e dessa forma produzir os seus efeitos. Novamente, como já feito no estudo da Cinemática, um sólido, ou corpo rígido, demonstra sempre uma situação da realidade do mundo físico, podendo assim deslinhar características, e formas além dos descritores que serão descobertos. Para isso como peca, considerando-se que forças são aplicadas. Formalmente, através desse ponto se entra sobre este ponto de sua análise. 1.2 O efeito das forças.\nForças aplicadas em um sólido geram efeitos que dependem de vários fatores:\n- da intensidade da força;\n- da direção da força;\n- do sentido da força.\nQuando o ponto de aplicação atua sobre a força, a influência do corpo em análise está definido. Os vetores, ou seja, pessoas que sobem em um ponto específico, gerando um aspecto, de estado de um ponto material. O vetor posição do elemento de massa dm é r = r(P - l) sendo:\nP(x, y, z) = I(0, 0, 0) = (x + y + z)rk\nmultiplicando a dictamina expressivo por dm\n\ndm = dm = dr x i + dy j + dz k\nsomando para todos os elementos de massa do sólido ...\n\\[F = \\int F = \\int dmx i + dmy j + dmz k\\]\ndividindo pela massa total ...\n\\[\\frac{dm}{m} = \\frac{dx}{m} + \\frac{dy}{m} + \\frac{dz}{m}\\]\nsubstituindo pelos resultados expressos na equação eq. 1.3, tem-se:\n\\[CM = \\frac{1}{M}(x_{CM}+y_{CM}+z_{CM})\\]\nCM\\(CM\\) = (CM - CM × k)\\\n(0,0,0)\nComparando com a equação eq. 1, se:\n\\[\\frac{dm}{m}\\]\n\nEssa última equação será considerada a definição formal do Centro de Massa através da qual se obtém o vetor posição do mesmo.\nUma análise derivada da equação 1.5, permite realizar algumas propriedades do centro de massa:\n- o centro de massa, sempre pertence a linhas de simetria e distribuível de massa;\n- quando existe uma linha de distribuição de massa, o centro de massa é definido nas interseções de\n- as componentes da Terra, o centro de massa coincide com o Centro de Gravidade.\n\n1.1 A Cinemática do Centro de Massa.\nA equação eq. 1.5 expressa o vetor posição do centro de massa, em função dos vetores posição de cada elemento de massa que compõem o sólido:\n\ndurante o vetor velocidade do centro de massa \\(CM\\), pode-se obter através da derivada temporal, do vetor posição \\(CM\\)\n\\[\\frac{dCM}{dt} = \\frac{\\int dm}{dt}\\]\n\\[\\frac{dCM}{dt} = \\frac{1}{m}\\int dm = \\frac{1}{m}\\int {dm}\\]\n O vetor aceleração do centro de massa \\(\\mathbf{a_{CM}}\\)\n\\[ \\mathbf{a_{CM}} = \\frac{d^2\\mathbf{r_{CM}}}{dt^2}\\] pode ser obtido através da derivada temporal do vetor velocidade \\(\\mathbf{v_{CM}}\\):\n\\[ \\frac{d\\mathbf{v_{CM}}}{dt} = \\frac{1}{m}\\int dm\\]\nsendo \\( \\mathbf{a} \\) a aceleração do elemento de massa dm, localizado no ponto P(x,y,z):\n1.1.2 Cálculo do Centro de Massa.\nA fluição do elemento, apresenta-se elucidando os cálculos do Centro de Massa de algumas figuras.\n\nExemplo 01:\nA placa em forma de semi-círculo, ilustrada na figura Fig. 1.3, de\nplano, homogeneo e possui raios R₁ e R₂. Podem-se determinar o Centro de Massa.\n\ny\n|\n\n\\left( y^3 \\right )\n\\\n\\Hspace{0.5 cm}\n\\left( R^2 \\right )\n\\Hspace{0.5 cm} |\\\n\\bar{F}\\ \n\\ \n\\ \nx\n------------\n\\|\n\\|\n\\|\n\\|\n--R_2--F---\n--->\n\\|\n데이터\n\\|\n--R_1-- --R_3-- \n\nNesse caso existe linha de simetria de massa, o eixo y, desta forma pode-se garantir que CM - Centro de Massa permite so\n\\[x_{CM} = \\frac{\\int x dm}{m}\\]\nintegrando ... \\[dm = \\sigma \\;dA = r\\;dr\\;d\\theta\\]\n\\[m = \\int dm = \\sigma \\int \\;dA\\]\n\\[\\Rightarrow \\int dm = \\sigma \\int_1^2 \\int_0^{1/2} (R^2 - R_1^2)r d\\theta\\]\n\\[= \\int_0^{1/2} \\int_1^2 r^2(|x|) \\;\ dx\\]\n\\[= 1/3 \\left([r^3]_{\\theta = 0}^{\\theta = 1/2}\\right) = \\frac{\\pi \\; R^3}{2}\\]\n\\[x_{CM} = 0\\] \\\ncom os raios indicados:\n\\[R_1 = 2cm\\; R_2 = R = 2;1.5cm\\; 1.2 cm\\; 8.1cm\\]\n\\[y_{CM} = \\frac{\\int(R_2^3 - R_1^3)} {\\int(R^3 - R_1^3)}.\\]\nAssim: \n1.5 A Teoria da Dinâmica do Sólido.\nRetornando o foco desses desenvovimentos, ressalt-se que a Teoria Geral da Dinâmica de Sólidos é separada em dois Teoremas:\n- Teorema do Centro de Massa\n- Teorema do Momento Angular\n\nEmbora a demonstração desses Teoremas não seja fundamental nesse contexto de problemas, certrai uma análise mais clara aos conceitos que se relacionam de sua forma.\n\n1.5.1 Teorema do Centro de Massa.\nO enunciado\n\\[ \\text{``O resultado das forças aplicadas ao sólido, é que se origine\na externa ao mesmo, igual ao produto da massa do sólido pela aceleração em seu centro de massa\"}\n\\Rightarrow \\int \\mathbf{R} = m\\mathbf{a_{CM}} \\; eq (1.8)\n Considera-se uma fatia do sólido em estudo, com espessura muito pequena, ilustrada na Fig. 1.5. Essa fatia do sólido é composta por muitos elementos de massa dm, representados por pequenos cubos, que na Fig. 1.5, estão representados da forma antes mencionada; destaca-se, ainda, e consideram-se alguns forças aplicadas ao mesmo, por exemplo:\n\nN E : a força de cima do mesmo, está explicando;\nN P : a força que o elemento dm, vigiando da esquerda do mesmo, está explicando;\ne : a força que a gravidade terrestre está explicando;\n\nFig. 1.5\n\nNota: o objetivo deste descrição é apenas qualificar, e uma apresentação com a formulação necessária para representar correções longitudinais.\n\nForças de origem interna: são aquelas forças aplicadas num elemento de massa dm do sólido, por outros elementos de massa do mesmo sólido. N: são forças representadas por N E, N P sobre este de origem interna.\n\nForças de origem externa: são aquelas forças aplicadas num elemento de massa dm do sólido, por outros corpos que não o próprio sólido. N: a força representada por p deste tipo: de origem externa.\n\nO elemento de massa dm considerado, possui dimensões próximas de zero quanto for possivel a minima, como quantos quantum for necessário para confundi-lo com um ponto material, desta forma, forma do viário ao aplicar a Lei de Newton o mesmo.\n\nConsiderando-se o formalismo adequado, para a representação Forças de intensidades não pequenas (próximidades de zero), segue:\n\n\\[ f_{i} = \\sum_{A} \\frac{dF}{dm} \\] = a soma de todas as forças de origem interna, aplicadas ao elemento de massa dm, em estado;\n\n\\[ dF_{ext} = \\sum_{B} \\frac{dF_{ext}}{dm} \\] = a soma de todas as forças de origem externa, aplicadas ao elemento de massa dm, em estado;\n\nA resultante de todas as forças aplicadas ao elemento de massa dm, tem-se:\n\n\\[ dF = dF_{int} + dF_{ext} \\]\n\nAplicando-se a Lei de Newton ao elemento de massa dm, tem-se:\n\n\\[ dF = dF = ma \\] – a aceleração do mesmo.\n\nComo o objetivo é o estudo do sólido, somem-se todas as forças aplicadas, ou seja, as forças que agem sobre dm e que constituem, tem-se as resultantes das forças sobre o sólido:\n\n\\[ f = f_{int} + f_{ext} \\] (1.9)\n\n\\[ dF_{i} = \"a soma de todas as forças de origem externa, dm\" \\]\n\nÉ faz necessária uma análise ao ação das forças de origem interna que existem novos elementos de massa, ao que, será noturno elemento de massa, nas ambas exteriores do sólido.\n