Análise de Vibração em Reboque para Transporte de Equipamento Eletrônico Sensível - Frequências Naturais e Amortecimento

É necessário transportar um equipamento eletrônico de precisão com peso W1 5000 N por um reboque O equipamento eletrônico é colocado sobre uma base de borracha de rigidez k1 10000 Nm O feixe de molas da suspensão tem uma rigidez total de k2 50000 Nm e os pneus têm uma rigidez total de k3 20000 Nm O reboque tem um peso total de W2 2500 N e o peso não suspenso é W3 1000 N Devido a reparos na rodovia o reboque passa por um desnível de 01 m na rodovia Fig a Modelando o reboque e o equipamento como um sistema com 3 graus de liberdade como mostrado na figura b determine a As frequências naturais do sistema b O deslocamento a velocidade e a aceleração máximos aos quais o equipamento será submetido c Sugira um método para reduzir a amplitude máxima da aceleração do equipamento em 25 A Cálculo das frequências naturais Forma homogênea Mẍ Kx 0 i Sendo x x₁ x₂ x₃ senωt temos ẋ ωx₁ x₂ x₃ cosωt ẍ ω²x₁ x₂ x₃ senωt ω²x Substituindo em i obtemos ω²Mx Kx 0 K ω²Mx 0 Problema de autovalor generalizado Os autovalores podem ser encontrados igualando o determinante a zero detK ω²M 0 k₁k₂ ω²m₁ k₂ 0k₂ k₁k₃ω²m₂ k₃ 0 k₃ k₃ ω²m₃ 0 Dados m₁ W₁g 150010 150 kg k₁ 20 kNm m₂ W₂g 400010 400 kg k₂ 2 kNm m₃ W₃g 100010 100 kg k₃ 25 kNm Substituindo os dados na matriz temos 2210³ 150ω² 210³ 0 210³ 2710³ 400ω² 2510³ 0 2510³ 2510³ 100ω² 0 2210³ 150ω²2710³400ω²2510³100ω² 410⁶ 2510³100ω² 25²10⁶ 2210³150ω² 0 Dividindo tudo por 10⁹ 22 015ω²27 04ω² 25 01ω² 425 01ω² 25² 22 015ω² 0 Sendo λ ω² temos 594 88λ 405λ 006λ²25 01λ 100 04 λ 13750 9375 λ 0 594 1285λ 006λ²25 01 λ 13850 9415 λ 0 14 850 32125 λ 15 λ² 594 λ 1285 λ² 0006 λ³ 13850 9415λ0 0006 λ³ 2785 λ² 2865 λ 1000 0 Dividindo tudo por 0006 obtemos λ³ 4642 λ² 47750 λ 1666667 0 Resolvendo a eq 3º grau encontramos as raízes do sistema λ₁ 3133 λ₂ 36 λ₃1471 Logo as frequências naturais do sistema serão ω₁ λ₁ 177 rads ω₂ λ₂ 19 rads e ω₃λ₂ 121 rads b Máx deslocamentosvelocidadesacelerações As máximas amplitudes vão a ocorrer nas primeiras frequências Portanto resolverseá o sistema baseado em ω19 rads λ36 matrixx matrix k1z10³ 200 Deslocamento matrixx matrix 200 x₁ x₂ x₃ 0044 1472 1502 m 1º Passo Diagrama de Corpo Livre diagram of block masses and springs 2º Passo Derivação das eq de movimento Massa 1 ΣF m₁ẍ₁ m₁ẍ₁ k₂x₂ x₁ k₁x₁ z m₁ẍ₁ k₂x₂ k₂x₁ k₁x₁ k₁z m₁ẍ₁ k₁k₂x₁ k₂x₂ k₁z Massa 2 ΣF m₂ẍ₂ m₂ẍ₂ k₃ x₃ x₂ k₂ x₂ x₁ m₂ẍ₂ k₃x₃ k₃x₂ k₂x₂ k₂ x₁ m₂ẍ₂ k₂k₃x₂ k₃x₃ k₂x₁ 0 Massa 3 ΣF m₃ẍ₃ m₃ẍ₃ k₃ x₃ x₂ m₃ẍ₃ k₃x₃ k₃x₂ 0 3º Passo Montagem das eq de movimento na forma matricial matrixẍ matrixx matrixk₁z Mẍ Kx F Velocidade v x wx 19 0044 1472 1502 v 0084 2797 2854 ms Aceleração a x w²x 36 0044 1472 1502 a 0158 5299 5407 ms² c Controle das amplitudes de vibração Do sistema modelado acima percebese se tratar de um sistema não amortecido de 3 graus de liberdade Esse fato ocasiona que a resposta do sistema tende a oscilar igualmente nos regimes transiente e permanente entre valores de amplitude constante como por exemplo p 1 grau de liberdade abaixo Sistema não amortecido Para reduzir a resposta amplitude de oscilação no regime permanente indicase o uso de amortecedores que irão reduzir as amplitudes evitando possíveis passos ao sistema até mesmo o fenômeno da ressonância O gráfico abaixo representa a resposta p 1 grau de liberdade ao inserir um amortecedor Sistema amortecido Portanto indicase uso de amortecedores p o sistema em questão