Vibrações Mecânicas Sistemas com 2 Graus de Liberdade e Equações do Movimento

1 Explique as características principais as equações do movimento e os principais parâmetros dos Sistemas com Dois Graus de Liberdade 2 GL 2 Definir as frequências e o modos naturais dos sistemas de 2 GL 3 Detalhe as diferencias da resposta livre dos sistemas sem amortecimento e das vibrações livres dos sistemas com amortecimento viscoso 4 Explique que são funções de transferência e detalhe as funções de transferência senoidais Por que são importantes no contexto das vibrações mecânicas 1 Um sistema com 2 GDL será descrita por um sistema de equações diferenciais com duas equações e duas equações do movimento xt e suas derivadas e yt e suas derivadas A solução do sistema é obtida através de operações da álgebra linear como por exemplo o determinante para obter as frequências naturais de sistemas vibracionais amortecidas ou não Ou seja os parâmetros obtidos são iguais porém mais complexos Além disso dois conceitos da álgebra linear serão de importância para o estudo de sistemas desse tipo que são os autovalores e autovetores Por exemplo para um sistema não amortecido com 2 GDL do exemplo 51 do RAO temos O sistema de equações é Assumindo uma solução da seguinte forma E realizando as respectivas derivadas e substituindo no sistema obtêmse uma matriz da seguinte forma Calculando o determinante da matriz têmse a seguinte equação a ser resolvida Chamando ω2 de s e ω4 de s2 há uma equação do segundo grau para se determinar as raízes Elas são as frequências naturais ao quadrado do sistema também chamadas de autovalores s Assim a solução do sistema será As amplitudes ainda são desconhecidas mas podem ser encontradas pelas condições de contorno da posição velocidade ou aceleração em determinados tempos Nesse sistema há 4 incógnitas portanto 4 condições de contorno serão necessárias para solucionálo Os vetores acima são chamados de autovetores modos normais 2 As frequências são E os modos normais 3 Para um sistema amortecido com 2 GDL têmse seguinte expressão geral que é a forma matricial mais geral das equações diferenciais do movimento de um sistema com 2 GDL Da análise desse sistema é possível determinar o tipo de acoplamento do sistema Se a seguinte matriz não for diagonal de rigidez k acoplamento elástico ou estático de amortecimento c acoplamento de amortecimento ou de velocidade de massa m acoplamento de massa ou inercial Além do mais o sistema vibra com frequências iguais aos do modo natural 4 A função de transferência possibilita analisar o sistema no domínio da frequência e não no tempo Essa mudança é feita através da transformada de Laplace Têmse uma função de transferência senoidal quando função no domínio do tempo é senoidal Ou seja se o sinal de entrada é senoidal o de saída também será Há sistemas em que os parâmetros dinâmicos são mais fáceis de serem determinados no domínio da frequência A transformada é Aplicando na equação do movimento com valores iniciais nulas Sendo Xs o sinal de entrada e Fs a de saída têmse a função de transferência da seguinte forma A função de transferência senoidal é obtido substituindose s por jω 𝐻𝑗𝜔 𝐹𝑗𝜔 𝑋𝑗𝜔