Amortecimento Viscoso Coulomb Histerético e Arrasto Aerodinâmico em Vibrações Mecânicas

Vibrações Mecânicas 20221 Questão a ser desenvolvida em casa 1 2 pontos Explique e equacione detalhadamente o amortecimento de Coulomb o amortecimento Histerético e outras formas de amortecimento como o arrasto aerodinâmico Vibrações Mecânicas 20221 Na maioria dos sistemas mecânicos a energia proveniente de vibrações é convertida de forma gradual em som ou calor Por sua vez em resposta à redução de energia do sistema há uma diminuição gradativa do deslocamento O mecanismo pelo qual a energia vibracional é gradualmente convertida em calor ou som é conhecido como amortecimento 1 Assumese que um amortecedor não possui nem elasticidade e nem massa e que a força de amortecimento só existe se houver velocidade relativa entre duas de suas extremidades Pelo fato de haver uma grande dificuldade de se determinar as causas do amortecimento em sistemas práticos este é modelado como um ou mais dos seguintes tipos Amortecimento Viscoso Amortecimento Material ou Sólido ou Histerético Amortecimento de Coulomb ou Fricção Seca Amortecimento viscoso É o mecanismo de amortecimento mais comumente utilizado em análise de vibração Quando os sistemas mecânicos vibram em um meio fluido como gás óleo ar ou água por exemplo a resistência oferecida pelo fluido ao corpo em movimento faz com que a energia seja dissipada Neste caso a quantidade de energia dissipada depende de muitos fatores como a forma e o tamanho do corpo vibratório a viscosidade do fluido a frequência de vibração e a velocidade do corpo em vibração Considerando um componente mecânico se movendo em um meio fluido A direção do movimento relativo se dá de forma paralela ao eixo y na Figura 1 O deslocamento local do elemento em relação ao fluido circundante é denotado por q x zt Figura 1 Corpo se movendo em meio fluido 2 A força de arrasto por unidade de área resultante projetada no plano xz é denominada f d Esta resistência é causada pela dissipação de energia mecânica no amortecimento viscoso e por sua vez é usualmente expressa como f d1 2 cd ρ q 2sqn q 1 Onde qq x zt t é a velocidade relativa O coeficiente de arrasto cd é função do Número de Reynolds e da geometria estrutural da seção transversal Figura 2 Mecânica do amortecimento viscoso 2 Um efeito de amortecimento líquido é gerado pelo arrasto viscoso produzido pelos efeitos da camada limite na interface fluidoestrutura e por arrasto de pressão produzido pelos efeitos turbulentos resultantes da separação do fluxo no ponto de descolamento Os dois efeitos são ilustrados na Figura 2 Sendo ρ a densidade do fluido Para amortecimento viscoso a capacidade de amortecimento por unidade de volume associado com a configuração apresentada na Figura 1 é dada por d f 0 Lx 0 Lz f ddz dx dq x z t Lx Lzq0 2 Onde Lx e Lz são dimensões da seção transversal do elemento nas direções x e y respectivamente e q0 é o parâmetro de amplitude normalizado para deslocamentos relativos 2 Amortecimento Material ou Sólido ou Histerético Quando um material é deformado energia é absorvida e dissipada pelo material Tal efeito se dá pelo atrito entre os planos internos que deslizam ou escorregam à medida que as deformações ocorrem Quando um corpo com amortecimento é submetido à vibração o diagrama tensãodeformação mostra uma curva de histerese conforme mostrado na Figura 3 A área desta curva representa a energia perdida por unidade de volume do corpo por ciclo devido ao amortecimento 1 Figura 3 a Curva de histerese b Energias perdida devido ao amortecimento 1 Quando o carregamento aplicado a um corpo elástico aumenta a tensão σ e a deformação ε no corpo também aumentam A área abaixo da curva σε dada por u σ d ε 3 denota a energia gasta trabalho realizado por unidade de volume do corpo Quando o carregamento no corpo diminui a energia é recuperada Quando o caminho de descarga é diferente do caminho de carregamento a área ABC da Figura 3 b ou ainda a área do laço na Figura 3 a denotam a energia perdida por unidade de volume do corpo 1 A capacidade de amortecimento por unidade de volume dh para o Amortecimento Histerético independe da frequência de movimento e pode ser representado por dhJ σmax n 4 Um modelo simples que satisfaz a Equação 4 para o caso de n2 dado por σEε E ω dε dt 5 que é equivalente a usar o parâmetro viscoelástico E E ω Considerando o caso do movimento harmônico com uma frequência ω com a deformação do material dada por εε 0cos ωt 6 A Equação 5 se torna σEε 0cos ωtEε0sin ωt σE εcos ωt E ε0cosωt π 27 Uma representação matemática conveniente da deformação é possível utilizando a forma complexa εε 0e jωt 8 Assim a Equação 5 se torna σE jE ε 9 Seguese que a forma simplificada de amortecimento Histerético pode ser representada usando um complexo módulo de elasticidade constituído por uma parte real que corresponde à elasticidade linear usual energia de armazenamento módulo de elasticidade ou módulo de Young e uma parte imaginária em módulo que corresponde à perda histerética dissipação de energia Combinando as relações previamente vistas um simples modelo de Amortecimento Viscoelástico e Histerético pode ser dado por σEεE E ω d ε dt 10 A equação do movimento para sistema em que o amortecimento é representado pela Equação 10 pode ser deduzido da equação do movimento puramente elástico substituindo E pelo operador EE E ω t no domínio do tempo 2 Amortecimento de Coulomb ou Fricção Seca Para este tipo a força de amortecimento é constante em magnitude mas oposta em relação à direção do movimento do corpo vibratório É causado pelo atrito entre as superfícies de atrito secas ou com lubrificação insuficiente 1 O comportamento da dissipação de energia depende dos detalhes da mecânica sistema Consequentemente é extremamente difícil desenvolver um modelo analítico generalizado que descrevem satisfatoriamente o amortecimento estrutural A dissipação de energia causada pela fricção é geralmente representada por um modelo de atrito de Coulomb A dissipação de energia causada pelo impacto no entanto deve ser determinada a partir de o coeficiente de restituição dos dois membros que estão em contato O método mais comum de estimar o Amortecimento de Coulomb é por medição O medido os valores no entanto representam o amortecimento global no sistema mecânico O componente de Amortecimento de Coulomb é obtido subtraindo os valores correspondentes a outros tipos de amortecimento como amortecimento do material presente no sistema estimado por experimentos controlados pelo ambiente dados e assim por diante do valor total de amortecimento Normalmente o Amortecimento Histerético é insignificante em comparação com ao Amortecimento de Coulomb Uma grande proporção de dissipação de energia mecânica em edifícios altos pontes guias de veículos e muitas outras estruturas de engenharia e em máquinas como robôs e veículos acontece através do mecanismo de Amortecimento de Coulomb Uma forma principal de Amortecimento de Coulomb é o amortecimento de deslizamento que resulta da dissipação de energia por cisalhamento de interface em uma junta estrutural O grau de amortecimento de escorregamento que é diretamente causado pelo atrito Coulomb seco depende em fatores como forças conjuntas por exemplo tensões propriedades da superfície e a natureza dos materiais das superfícies de contato Isso está associado com desgaste corrosão e deterioração geral da junta estrutural Nesse sentido o amortecimento de escorregamento é dependente do tempo É uma prática comum colocar camadas de amortecimento nas juntas para reduzir deterioração das articulações O deslizamento causa cisalhamento distorções nas camadas de amortecimento causando dissipação por amortecimento do material e também por Fricção de Coulomb Desta forma um alto nível de Amortecimento de Coulomb equivalente pode ser mantido sem causar deterioração excessiva da articulação Essas camadas de amortecimento devem ter uma alta rigidez assim como uma alta capacidade de amortecimento específico em para receber as cargas estruturais na junta 2 Figura 4 Curvas de histerese a Tipicamente de amortecimento estrutural b Modelo de Fricção de Coulomb c Modelo simplificado de Amortecimento Estrutural 2 Para amortecimento estrutural em uma junta a força de amortecimento varia à medida que o deslizamento ocorre na junta Isto é causado principalmente por deformações locais na junta que ocorrem com o deslizamento Uma curva de histerese típica para este caso é mostrada na Figura 4 a as setas na curva de histerese indicam a direção de velocidade relativa Para atrito Coulomb idealizado a força de atrito F permanece constante em cada direção do movimento relativo Uma curva de histerese idealizada para Amortecimento de Coulomb é mostrada na Figura 4 b A relação correspondente é f c sgn q 11 Em que f é a força de amortecimento q é o deslocamento relativo na junta e c é um parâmetro de atrito Um modelo simplificado para amortecimento estrutural causado por deformação local pode ser dado por f c qsgn q 12 A curva histerética correspondente é mostrada na Figura 4 c Notase que a função sinal é definida por 2 sgn v 1 parav 0 1 para v0 13 Referências Bibliográficas 1 RAO S S Vibrações mecânicas 4 ed São Paulo SP Pearson Prentice Hall c2009 xix 424 p ISBN 9788576052005 2 SILVA CW Vibration Damping control and design Vancouver Canada Taylor Francis Group 2007 Vibrações Mecânicas 20221 Na maioria dos sistemas mecânicos a energia proveniente de vibrações é convertida de forma gradual em som ou calor Por sua vez em resposta à redução de energia do sistema há uma diminuição gradativa do deslocamento O mecanismo pelo qual a energia vibracional é gradualmente convertida em calor ou som é conhecido como amortecimento 1 Assumese que um amortecedor não possui nem elasticidade e nem massa e que a força de amortecimento só existe se houver velocidade relativa entre duas de suas extremidades Pelo fato de haver uma grande dificuldade de se determinar as causas do amortecimento em sistemas práticos este é modelado como um ou mais dos seguintes tipos Amortecimento Viscoso Amortecimento Material ou Sólido ou Histerético Amortecimento de Coulomb ou Fricção Seca Amortecimento viscoso É o mecanismo de amortecimento mais comumente utilizado em análise de vibração Quando os sistemas mecânicos vibram em um meio fluido como gás óleo ar ou água por exemplo a resistência oferecida pelo fluido ao corpo em movimento faz com que a energia seja dissipada Neste caso a quantidade de energia dissipada depende de muitos fatores como a forma e o tamanho do corpo vibratório a viscosidade do fluido a frequência de vibração e a velocidade do corpo em vibração Considerando um componente mecânico se movendo em um meio fluido A direção do movimento relativo se dá de forma paralela ao eixo 𝑦𝑦 na Figura 1 O deslocamento local do elemento em relação ao fluido circundante é denotado por 𝑞𝑞𝑥𝑥 z 𝑡𝑡 Figura 1 Corpo se movendo em meio fluido 2 A força de arrasto por unidade de área resultante projetada no plano 𝑥𝑥 𝑧𝑧 é denominada 𝑓𝑓𝑑𝑑 Esta resistência é causada pela dissipação de energia mecânica no amortecimento viscoso e por sua vez é usualmente expressa como 𝑓𝑓𝑑𝑑 1 2 𝑐𝑐𝑑𝑑𝜌𝜌q 2𝑠𝑠𝑞𝑞𝑠𝑠𝑞𝑞 1 Onde 𝑞𝑞 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑧𝑧 𝑡𝑡𝑡𝑡 é a velocidade relativa O coeficiente de arrasto 𝑐𝑐𝑑𝑑 é função do Número de Reynolds e da geometria estrutural da seção transversal Figura 2 Mecânica do amortecimento viscoso 2 Um efeito de amortecimento líquido é gerado pelo arrasto viscoso produzido pelos efeitos da camada limite na interface fluidoestrutura e por arrasto de pressão produzido pelos efeitos turbulentos resultantes da separação do fluxo no ponto de descolamento Os dois efeitos são ilustrados na Figura 2 Sendo 𝜌𝜌 a densidade do fluido Para amortecimento viscoso a capacidade de amortecimento por unidade de volume associado com a configuração apresentada na Figura 1 é dada por 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑑𝑑𝑧𝑧 𝐿𝐿𝑧𝑧 0 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝐿𝐿𝑥𝑥 0 𝑑𝑑𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑧𝑧 𝑡𝑡 𝐿𝐿𝑥𝑥𝐿𝐿𝑧𝑧𝑞𝑞0 2 Onde 𝐿𝐿𝑥𝑥 e 𝐿𝐿𝑧𝑧 são dimensões da seção transversal do elemento nas direções 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 respectivamente e 𝑞𝑞0 é o parâmetro de amplitude normalizado para deslocamentos relativos 2 Amortecimento Material ou Sólido ou Histerético Quando um material é deformado energia é absorvida e dissipada pelo material Tal efeito se dá pelo atrito entre os planos internos que deslizam ou escorregam à medida que as deformações ocorrem Quando um corpo com amortecimento é submetido à vibração o diagrama tensãodeformação mostra uma curva de histerese conforme mostrado na Figura 3 A área desta curva representa a energia perdida por unidade de volume do corpo por ciclo devido ao amortecimento 1 Figura 3 a Curva de histerese b Energias perdida devido ao amortecimento 1 Quando o carregamento aplicado a um corpo elástico aumenta a tensão σ e a deformação ε no corpo também aumentam A área abaixo da curva σ ε dada por u σdε 3 denota a energia gasta trabalho realizado por unidade de volume do corpo Quando o carregamento no corpo diminui a energia é recuperada Quando o caminho de descarga é diferente do caminho de carregamento a área ABC da Figura 3 b ou ainda a área do laço na Figura 3 a denotam a energia perdida por unidade de volume do corpo 1 A capacidade de amortecimento por unidade de volume dh para o Amortecimento Histerético independe da frequência de movimento e pode ser representado por dh Jσmaxn 4 Um modelo simples que satisfaz a Equação 4 para o caso de n 2 dado por σ E ε Ēω dεdt 5 que é equivalente a usar o parâmetro viscoelástico E Ēω Considerando o caso do movimento harmônico com uma frequência ω com a deformação do material dada por ε ε0 cos ω t 6 A Equação 5 se torna σ Eε0cosωt Ēε0sinωt σ Eε cosωt Ē ε0 cos ωt π2 7 Uma representação matemática conveniente da deformação é possível utilizando a forma complexa ε ε0 ejωt 8 Assim a Equação 5 se torna σ E jĒ ε 9 Seguese que a forma simplificada de amortecimento Histerético pode ser representada usando um complexo módulo de elasticidade constituído por uma parte real que corresponde à elasticidade linear usual energia de armazenamento módulo de elasticidade ou módulo de Young e uma parte imaginária em módulo que corresponde à perda histerética dissipação de energia Combinando as relações previamente vistas um simples modelo de Amortecimento Viscoelástico e Histerético pode ser dado por σ Eε E Ēω dεdt 10 A equação do movimento para sistema em que o amortecimento é representado pela Equação 10 pode ser deduzido da equação do movimento puramente elástico substituindo E pelo operador E E Ēω t no domínio do tempo 2 Amortecimento de Coulomb ou Fricção Seca Para este tipo a força de amortecimento é constante em magnitude mas oposta em relação à direção do movimento do corpo vibratório É causado pelo atrito entre as superfícies de atrito secas ou com lubrificação insuficiente 1 O comportamento da dissipação de energia depende dos detalhes da mecânica sistema Consequentemente é extremamente difícil desenvolver um modelo analítico generalizado que descrevem satisfatoriamente o amortecimento estrutural A dissipação de energia causada pela fricção é geralmente representada por um modelo de atrito de Coulomb A dissipação de energia causada pelo impacto no entanto deve ser determinada a partir de o coeficiente de restituição dos dois membros que estão em contato O método mais comum de estimar o Amortecimento de Coulomb é por medição O medido os valores no entanto representam o amortecimento global no sistema mecânico O componente de Amortecimento de Coulomb é obtido subtraindo os valores correspondentes a outros tipos de amortecimento como amortecimento do material presente no sistema estimado por experimentos controlados pelo ambiente dados e assim por diante do valor total de amortecimento Normalmente o Amortecimento Histerético é insignificante em comparação com ao Amortecimento de Coulomb Uma grande proporção de dissipação de energia mecânica em edifícios altos pontes guias de veículos e muitas outras estruturas de engenharia e em máquinas como robôs e veículos acontece através do mecanismo de Amortecimento de Coulomb Uma forma principal de Amortecimento de Coulomb é o amortecimento de deslizamento que resulta da dissipação de energia por cisalhamento de interface em uma junta estrutural O grau de amortecimento de escorregamento que é diretamente causado pelo atrito Coulomb seco depende em fatores como forças conjuntas por exemplo tensões propriedades da superfície e a natureza dos materiais das superfícies de contato Isso está associado com desgaste corrosão e deterioração geral da junta estrutural Nesse sentido o amortecimento de escorregamento é dependente do tempo É uma prática comum colocar camadas de amortecimento nas juntas para reduzir deterioração das articulações O deslizamento causa cisalhamento distorções nas camadas de amortecimento causando dissipação por amortecimento do material e também por Fricção de Coulomb Desta forma um alto nível de Amortecimento de Coulomb equivalente pode ser mantido sem causar deterioração excessiva da articulação Essas camadas de amortecimento devem ter uma alta rigidez assim como uma alta capacidade de amortecimento específico em para receber as cargas estruturais na junta 2 Figura 4 Curvas de histerese a Tipicamente de amortecimento estrutural b Modelo de Fricção de Coulomb c Modelo simplificado de Amortecimento Estrutural 2 Para amortecimento estrutural em uma junta a força de amortecimento varia à medida que o deslizamento ocorre na junta Isto é causado principalmente por deformações locais na junta que ocorrem com o deslizamento Uma curva de histerese típica para este caso é mostrada na Figura 4 a as setas na curva de histerese indicam a direção de velocidade relativa Para atrito Coulomb idealizado a força de atrito 𝐹𝐹 permanece constante em cada direção do movimento relativo Uma curva de histerese idealizada para Amortecimento de Coulomb é mostrada na Figura 4 b A relação correspondente é 𝑓𝑓 𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑞𝑞 11 Em que f é a força de amortecimento q é o deslocamento relativo na junta e c é um parâmetro de atrito Um modelo simplificado para amortecimento estrutural causado por deformação local pode ser dado por f c q sgn𝑞 12 A curva histerética correspondente é mostrada na Figura 4 c Notase que a função sinal é definida por 2 sgnv 1 para v 0 1 para v 0 13 Referências Bibliográficas 1 RAO S S Vibrações mecânicas 4 ed São Paulo SP Pearson Prentice Hall c2009 xix 424 p ISBN 9788576052005 2 SILVA CW Vibration Damping control and design Vancouver Canada Taylor Francis Group 2007