Lista de Exercícios sobre Distribuição Normal

Introdução à Estatística Distribuição normal Prof Abrão Caro 1 PARA APRIMORAR LISTA DE EXERCÍCIO 09 Outros exercícios podem ser encontrados na leitura sugerida abaixo LEITURA SUGERIDA Capítulos 5 e 6 ANDERSON DR SWEENEY DJ WILLIAMS T A Estatística Aplicada a Administração e Economia Cengage Learning 2007 Capítulos 5 e 6 M LEVINE D F STEPHAN T C KREHBIEL M L BERENSON Estatística teoria e aplicações LTC 2008 Capítulo 8 ANDERSON D R SWEENEY D J e WILLIAMS T A Estatística Aplicada a Administração e Economia Cengage Learning 2007 Capítulo 8 D M LEVINE D F STEPHAN T C KREHBIEL M L BERENSON Estatística teoria e aplicações LTC 2008 Distribuição Normal Exercício 1 a Qual a curva normal tem uma média maior b Qual a curva normal tem desvio padrão maior c Qual a área total sob as curvas A e B da distribuição normal dada abaixo Estatística Inferencial Distribuição normal de Probabilidades Prof Abrão Caro 2 Exercício 2 Qual curva normal tem uma média maior E qual tem maior desvio padrão maior Quando necessário empregue a curva normal Exercício 3 Calcule a probabilidade do valor z correspondente à variável aleatória normal estar entre 1 e 1 ou seja P1 z 1 Esboce o gráfico Exercício 4 Calcule a probabilidade do valor Z correspondente à variável aleatória normal estar entre 0 e 125 ou seja P0 z 125 Esboce o gráfico Exercício 5 Se x é a distribuição normal com média 100 e desvio padrão 50 qual o valor z para x 200 Esboce o gráfico Exercício 6 Um professor tem 184 alunos em sua turma de matemática Ele aplica um exame na forma de teste em que as pontuações são normalmente distribuídas com média de 723 e um desvio padrão de 89 Quantos alunos da turma recebem uma pontuação entre 82 e 90 Exercício 7 Uma máquina é usada para encher garrafas de refrigerante A quantidade de carbonato de sódio distribuído por cada garrafa varia ligeiramente de garrafa para garrafa Suponhamos que a quantidade de refrigerante depositada nas garrafas seja distribuída normalmente Se pelo menos 99 das garrafas devem ter entre 585 e 595 mililitros de refrigerante estime o maior desvio padrão possível Estatística Inferencial Distribuição normal de Probabilidades Prof Abrão Caro 3 Exercício 8 As pontuações de um aluno em Química neste semestre foram bastante inconsistentes 100 85 55 95 75 100 Para esta população quantos resultados estão dentro de um desvio padrão da média Exercício 9 Moradores de Nova York estão acostumados a grandes quantidades de neve com quedas de neve muitas vezes superior a 6 centímetros em um dia Em uma cidade essas quedas de neve foram registradas por duas temporadas e são as seguintes em polegadas 86 95 141 115 70 84 90 67 215 77 68 61 85 144 61 80 92 71 Dê a média e o desviopadrão da população para esses dados Exercício 10 A vida útil da bateria é normalmente distribuída para grandes amostras A média de vida é de 500 dias e o desvio padrão é de 61 dias Qual porcentagem de baterias têm vida útil mais longa do que 561 dias Exercício 11 De 1984 a 1995 as pontuações vencedoras para um torneio de golfe foram 276 279 279 277 278 278 280 282 285 272 279 e 278 Usando o desvio padrão para esta amostra Sx encontre o percentual de pontuações vencedoras que caem dentro de um desvio padrão da média Distribuição Normal Padrão Resumo Estatística Inferencial Distribuição normal de Probabilidades Prof Abrão Caro 4 Exercício 12 Determine a área sob a curva normal em função do valor de z A tabela de distribuição normal está disponível no moodle a P 0 z 12 b P 0 z 068 c P 046 z 221 d Área entre os valores de z 144 a 205 Exercício 13 Qual a probabilidade de um valor de X ser menor ou igual a 524 sabendo que a variável tem distribuição normal 4010 Exercício 14 Se a variável X tem distribuição normal com parâmetros N4010 qual a probabilidade de a PX 50 b PX 35 c P25 X 60 Exercício 15 O SAT é um exame usado por uma Universidade para avaliar internamente seus alunos Suponha que as pontuações obtidas pelos alunos seguem uma distribuição normal com média 80 e desvio padrão 15 Qual a proporção de alunos com pontuação maior que 11 Exercício 16 As notas de estatística em um determinado curso ocorrem segundo uma distribuição Normal com média 8 e desviopadrão 2 Calcule a probabilidade de um aluno a tirar menos que 6 b Tirar acima de 8 Exercício 17 O conteúdo de glicose no sangue em pessoas adultas pode ser considerado normalmente distribuído com média 100 mg100ml e desvio padrão 10 mg100ml Suponha que 500 indivíduos são escolhidos ao acaso Se os indivíduos com um conteúdo de glicose igual ou maior que 120 mg100ml são considerados diabéticos qual o número esperado de diabéticos entre os 500 indivíduos escolhidos Exercício 18 Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média 2 cm e desvio padrão 004 cm Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre 2 e 205 cm Exercício 19 O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal com média 120 min e desvio padrão 15 min Qual é o intervalo central de tempo tal que 90 dos estudantes gastam para completar o exame Estatística Inferencial Distribuição normal de Probabilidades Prof Abrão Caro 5 GABARITO Distribuição normal Exercício 1 a A curva azul pois a linha de simetria ocorre em x20 b O desvio padrão determina quanto uma curva é achatada ou larga A curva preta tem desvio maior c A área total sob cada curva é 1 Exercício 2 A linha de simetria da curva A ocorre em x15 A linha de simetria da curva B ocorre em x12 Portanto a curva A tem média maior A curva B é mais estendida do que a curva A portanto a curva B tem um desvio padrão maior Exercício 3 P1 x 1 P1 x 0 P0 x 1 03413 03413 06826 Exercício 4 Pela tabela temos P0 z 125 03944 Exercício 5 20 50 100 200 σ μ X Z Estatística Inferencial Distribuição normal de Probabilidades Prof Abrão Caro 6 Exercício 6 média mais um desviopadrão 812 média mais dois desviospadrão 901 O intervalo entre 1 e 2 desviospadrão é usado e considerado perto o suficiente A partir do gráfico o valor da distribuição entre um e dois desvios padrão acima da média é de 136 136 de 184 estudantes 25 alunos para o aluno mais próximo Exercício 7 Pela regra empírica os 99 implica uma distribuição dentro de 3 desviospadrão da média A diferença de 585 mililitros para 595 mililitros é de 10 mililitros Logo Simetricamente dividido existem cinco mililitros utilizados para criar 3 desvios padrão de cada lado da média Dividindo 5 por 3 obtemos o desvio padrão 167 mililitros Exercício 8 Pontuação 100 85 55 95 75 100 A partir da calculadora temos a média 85 e o desviopadrão da população 1607275127 16 85 16 101 e 8516 69 Todos menos uma das pontuações cai no intervalo de 69101 Resposta 5 pontos Exercício 9 A média 946 polegadas Desvio padrão 374 polegadas Exercício 10 A média 500 dias e dp 61 dias A questão está pedindo que porcentagem de uma distribuição está além de um desviopadrão para a direita da média leitura do gráfico do exercício 3 Resposta 159 Exercício 11 Média 2785833333 Desvio Padrão da Amostra 3146667309 Um desvio padrão acima da média e abaixo cria um intervalo de 275436666 para 2817300006 275 pontuação 281 Dos 12 pontos nove se enquadram nesta faixa que corresponde a 75 das pontuações Estatística Inferencial Distribuição normal de Probabilidades Prof Abrão Caro 7 Distribuição normal padrão Exercício 12 As áreas estão dadas nas figuras a b c d Exercício 13 O primeiro passo é converter X para Z com a fórmula O valor da probabilidade P Z 124 pode ser obtido da tabela de distribuição normal padronizada Da tabela Z para P Z 124 050 03925 08925 Exercício 14 a O valor equivalente de X50 na distribuição normal padronizada é Z 1 Da tabela temos P Z 1 050 03413 08413 ou 8413 Estatística Inferencial Distribuição normal de Probabilidades Prof Abrão Caro 8 b c Os valores de Z para X25 e X60 são Z 150 e Z 20 respectivamente Como P15 Z 2 não é obtida diretamente da tabela vamos buscála como a diferença entre PZ 2 PZ 15 PZ 2 050 04772 09772 e PZ 15 1 PZ 15 1 050 04332 00668 Logo PZ 2 PZ 15 09772 00668 09104 ou 9104 Exercício 15 Para calcular PX 11 devemos em primeiro lugar calcular o valor de z que corresponde a x 11 z 11 8 152 Olhando na tabela da distribuição normal padronizada acumulada encontramos para z2 o valor 04772 A pergunta é qual a proporção de alunos com pontuação maior que 11 logo PZ 2 1 050 04772 00228 Então em 100 pacientes a proporção de alunos com pontuação maior que 11 seria aproximadamente 2 alunos Exercício 16 X variável nota na prova X N82 a PX 6 PX 8 2 6 8 2 PZ 1 1 050 03413 01587 b PX 8 PX 8 2 8 8 2 PZ 0 050 Exercício 17 X variável conteúdo de glicose X Nmédia100 desvio 10 PX 120P X 100 10 120 100 10 P Z 2 1 050 04772 00228 5000022811 diabéticos Exercício 18 P 2 X 205 Com o auxílio de uma distribuição normal reduzida isto é uma distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1 Resolveremos o problema através da variável z onde z X Utilizaremos também uma tabela normal reduzida que nos dá a probabilidade de z tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor z isto é P 0 Z z Temos então que se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média e desvio padrão podemos escrever P X x P 0 Z z No nosso problema queremos calcular P2 X 205 Para obter essa probabilidade precisamos em primeiro lugar calcular o valor de z que corresponde a x 205 z 205 2 004 125 Procuremos agora na tabela Z o valor de z 125 P 0 Z 125 03944 ou 3944 assim a probabilidade de um certo parafuso apresentar um diâmetro entre a média 2cm e x 205 cm é de 3944 Estatística Inferencial Distribuição normal de Probabilidades Prof Abrão Caro 9 Exercício 19