Aula 2: Potenciação, Radiciação e Logaritmo

POTENCIAÇÃO RADICIAÇÃO E LOGARITMO Professor Carlos Henrique de Jesus Costa AULA 2 AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo POTENCIAÇÃO 3 RADICIAÇÃO 9 RACIONALIZAÇÃO 13 LOGARITMO 16 CONCLUSÃO 23 REFERÊNCIAS 24 AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 3 POTENCIAÇÃO Basicamente a potenciação é uma operação matemática que representa a quantidade de vezes que um número precisa ser multiplicado por ele mesmo Exemplos 1 23 2 2 2 8 2 42 44 16 3 103 101010 1000 As propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as opera ções entre os números que possuem expoentes Tabela de Propriedades da Potenciação N Propriedade Regra 1 Bases iguais repetese a base e somamse os expoentes 2 Bases iguais repetese a base e subtraemse os expoentes 3 Repetese a base e multiplicamse os expoentes 4 Elevase cada fator ao expoente comum 5 Elevase o numerador e o denominador ao expoente comum AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 4 Exemplos de acordo com a sequência da tabela anterior de propriedades 1a 1b Outra resolução 2a 2b Outra resolução 3a 3b Outra resolução 4a 4b Outra resolução Note que seria possível resolver essa operação sem usar a propriedade calculando as potências separadamente Note que seria possível resolver essa operação sem usar a propriedade calculando as potências separadamente Note que seria possível resolver essa operação sem usar a propriedade calculando as potências separadamente Note que seria possível resolver essa operação sem usar a propriedade calculando primeiro a operação de multipli cação indicada dentro dos parênteses e depois a potência AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 5 5a 5b Outra resolução Expoente inteiro negativo Exemplos 1 2 3 4 Expoente racional fracionário ou Note que seria possível resolver essa operação sem usar a propriedade calculando primeiro a operação de divisão indicada dentro dos parênteses e depois a potência No caso de uma fração ser elevada a um expoente negativo devemos primeiro inverter a base para que o expoente fique positivo e depois calculamos a potência Veja que podemos transformar uma operação de potenciação com um expoente fração em uma operação de radiciação AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 6 Exemplos 1 2 3 Importante Se puder utilize uma calculadora e veja que nos dois cálculos indicados pela potenciação ou pela radiciação temos o mesmo resultado fazendo o teste ou Isso mostra que às vezes podemos utilizar esse recurso de transformar uma operação de potenciação em radiciação e viceversa para facilitar o cálculo Expoente zero Convencionase que com A0 Exemplos 1 2 AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 7 3 4 Outros Exemplos 1 Indique sob forma de potência de base 2 o número representado pela expressão Resolução 2 Aplicando as propriedades das potências simplifique a expressão Resolução AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 8 3 Calcule o valor da expressão Resolução Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades Práticas A Efetue e simplifique 1 Resposta AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 9 2 Resposta B Aplicando as propriedades das potências simplifique as expressões 3 Resposta 9 4 Resposta 625 5 Resposta 001 RADICIAÇÃO A radiciação é a operação inversa da potenciação Isso significa que buscamos des cobrir qual é o número que foi multiplicado por ele mesmo e quantas vezes até que resulte no número que conhecemos Exemplos 1 2 3 As propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as opera ções entre os números que possuem expoentes AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 10 Tabela de Propriedades da Radiciação N Propriedade Regra 1 A raiz enésima de um número elevado a n é igual a esse mesmo número 2 A raiz enésima do produto de dois fatores é igual ao produto das raízes enésimas desses fatores 3 A raiz enésima da razão divisão é igual à razão divisão das raízes enésimas 4 Para simplificar a raiz de uma raiz basta multiplicar seus índices 5 O expoente m no radicando pode ser transferido para fora da raiz obtendo uma raiz enésima elevado a m Exemplos de acordo com a sequência da tabela anterior de propriedades 1a 1b Resolução 2a 2b Resolução AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 11 3a 3b 4a Outra resolução 4b 5a 5b Outra resolução Note que seria possível resolver essa operação sem usar a propriedade calculando primeiro a raiz quarta de dentro e depois a raiz cúbica de fora Note que seria possível resolver essa operação sem usar a propriedade calculando primeiro a potência que está dentro da raiz e depois extraindo a raiz AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 12 Importante todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fra cionário como segue Exemplos 1 2 Outros exemplos Simplifi que as expressões 1 Resolução 2 Veja que podemos transformar uma operação de raiz em uma operação de potenciação com um expoente fração AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 13 Resolução RACIONALIZAÇÃO Basicamente racionalizar a fração é tirar a raiz do denominador ou seja frações tais como e possuem denominadores irracionais números que são dízimas periódicas e elas têm de ter seus denominadores trans formados em números racionais 1 caso O denominador é um radical com índice 2 raiz quadrada a Observação Se puder confi ra os resultados por meio de uma calculadora pode ser a de seu celular Veja que o valor das duas frações da primeira e da segunda precisam dar o mesmo resultado lembrese de que toda fração é uma divisão ok conforme segue Conferindo Optamos em calcular primeiro a que está dentro do outro radical raiz cúbica Somamos termos semelhantes então temos duas raízes iguais ou seja Veja que multiplicamos a primeira fração por outra fração que foi formada apenas mantendo o denominador da primeira fração em cima numerador e em baixo denominador AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 14 Calculadoras b c 2 caso O denominador é um radical com índice diferente de 2 a b 3 caso O denominador é uma soma ou diferença de dois radicais De um modo geral o fator racionalizante de é ou seja temos no denominador da primeira fração e para calcularmos a segunda fração utilizamos a seguinte estratégia fator racionalizante AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 15 a b Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades Práticas Simplifique as expressões 1 Resposta 2 Resposta 3 Resposta 1 4 Resposta 12 5 Resposta Repare que a outra fração é o conjugado do denominador da primeira fração ou seja mudamos o sinal entre as duas raízes assim Denominador da primeira fração Conjugado desse denominador Fator racionalizante Denominador da primeira fração Conjugado desse denominador AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 16 LOGARITMO O logaritmo é uma função matemática ferramenta que está baseada nas pro priedades da potenciação e exponenciação O logaritmo na base b 0b1 de um número a a0 é o expoente x que deve elevar a base b para se obter o número a ou seja Observação Veja que para calcularmos o logaritmo algebricamente precisamos seguir as setas e transformar a forma logarítmica para a forma exponencial Exemplos Cálculo de logaritmos Importante Podemos utilizar uma calculadora científi ca para o cálculo de logaritmo veja que ela traz dois logaritmos com bases diferentes AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 17 Às vezes em algumas situações devemos transformar o logaritmo em outra base principalmente quando usamos a calculadora Para mudarmos a base de um logaritmo utilizamos a seguinte fórmula Exemplos Obtenha os logaritmos AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 18 Observação Veja que como aplicamos a fórmula de Mudança de Base tanto faz utilizarmos o log ou o ln na calculadora AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 19 AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 20 Aplicação Em uma defi nição mais simples podemos dizer que o o logaritmo é o expoente incógnita que queremos encontrar calcular 1 exemplo Então para resolvermos essa questão utilizaremos o logaritmo que é uma fer ramenta matemática que arrasta o expoente x para baixo ou seja derruba o expoente x para a linha facilitando o cálculo como segue Agora testaremos o resultado também pela calculadora AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 21 2 exemplo Importante Em Matemática Financeira temos a seguinte fórmula para o cálculo do Montante ou Valor Futuro em Juros Compostos capitalização composta ou juros sobre juros Uma certa pessoa aplicou R 2000000 a uma taxa de juros de 04 ao mês e após um tempo verifi cou que o saldo estava em R 2254454 Calcule o período em me ses dessa aplicação Resolução Dados Capital ou Valor Presente C R 2000000 Taxa de Juros i 04 am ou 0004 Montante ou Valor Futuro M R 2254454 Tempo n AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 22 Fórmula dos Juros Compostos Resposta A aplicação foi realizada durante 30 meses Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos tanto pelo método algébrico como pela cal culadora e chegar aos resultados indicados Atividades Práticas Obtenha os logaritmos 1 2 Resposta 3 Resposta 4 Resposta ou 1 passo trocando os dados na fórmula de juros compostos 2 passo utilizamos o logaritmo dos dois lados da equação para tombar o expoente n 3 passo isolamos a variável n e utilizamos uma calculadora Aproximadamente 30 trinta meses AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 23 5 A quantia de R 1500000 é emprestada a uma taxa de juros de 08 ao mês Aplicandose juros compostos o valor pago para a quitação da dívida foi de R 1573455 Por quanto tempo em meses essa dívida foi emprestada Resposta 6 seis meses aproximadamente CONCLUSÃO Esperamos que com as propriedades apresentadas e os exemplos resolvidos com operações entre Potências e Raízes tenham mostrado outros caminhos para a re solução de expressões numéricas Além disso também apresentamos os logarit mos como ferramenta para o cálculo de expoentes envolvendo aplicações em juros compostos para acharmos o tempo de aplicação ou empréstimo Agora não deixe de reler o material teórico e refazer todos os exemplos dados e para complementar seus estudos ou aprofundálos não deixe de fazer as Ativida des Práticas propostas ok Bons estudos AULA 2 Potenciação Radiciação e Logaritmo 24 REFERÊNCIAS DEMANA F D et al PréCálculo 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 GOLDSTEIN L J et al Matemática Aplicada Economia Administração e Contabi lidade 12 ed Porto Alegre Bookman 2012 JACQUES I Matemática para economia e administração 6 ed São Paulo Pear son Prentice Hall 2010 JOHNSON R KUBY P Estat São Paulo Cengage Learning 2013 LAPA N Matemática Aplicada São Paulo Saraiva 2012 SWEENEY D J WILLIAMS T A ANDERSON D R Estatística aplicada à adminis tração e economia 3 ed São Paulo Cengage Learning 2013 VERAS L L Matemática aplicada à economia síntese da teoria 3 ed São Paulo Atlas 2011 VIEIRA S Estatística básica São Paulo Cengage Learning 2015