Aula 3: Expressões Algébricas, Produtos Notáveis e Equações

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES Professor Carlos Henrique de Jesus Costa AULA 3 AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 3 PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 8 REFERÊNCIAS 29 AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 3 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Em nosso dia a dia quando dizemos hoje tenho n coisas para fazer nos refe rimos às muitas atividades que temos para executar Então quando usamos uma letra para representar um número que não é conhecido dizemos que essa letra é uma variável ou incógnita pois está representando um número qualquer As expressões matemáticas que apresentam números e letras são chamadas de expressões literais ou algébricas Exemplos 1 5x 18 2 x 2y 3z 3 4 Se x representa um número desconhecido então podemos apresentar o triplo desse número por 3x ou somente 3x a quinta parte desse número por e a diferença desse número com 88 por x 88 Essas expressões com a variável x 3x e x 88 são chamadas de expressões algébricas 5 Em certa locadora de automóveis temos a seguinte tabela de preços para alu gar um determinado veículo Veja que a expressão 82x 220 ou somente 82x 220 é uma expressão algé brica que representa o valor a ser pago pelo aluguel do veículo Dias Valor do aluguel 1 R 82001 R 22000 R 30200 2 R 82002 R 22000 R 38400 3 R 82003 R 22000 R 46600 4 R 82004 R 22000 R 54800 5 R 82005 R 22000 R 63000 6 R 8200x R 22000 82x 220 AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 4 Mais exemplos passando da linguagem natural para linguagem algébrica Valor numérico de uma expressão algébrica O valor numérico de uma expressão algébrica é o número que se obtém quando substituímos cada letra variável por um certo número Exemplos 1 8x 9 para x 3 Resolução Substituímos o x por 3 83 9 24 9 15 Resposta O valor numérico de 8x 9 para x 3 é 15 2 x² 3x 1 para x 4 Resolução 4² 34 1 AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 5 16 12 1 29 Resposta O valor numérico de x² 3x 1 para x 4 é 29 3 Resolução Juntaremos as duas frações do numerador por meio do Mínimo Múltiplo Co mum Resposta O valor numérico de e Termos algébricos Na expressão algébrica Os termos são 9x² 15xy e Agora na tabela a seguir destacamos na expressão dada seu coefi ciente e sua parte literal em cada termo Veja que o número 1000 divide o 100 e ele mesmo então o utilizamos como o Mínimo Múltiplo Comum MMC Veja que na divisão entre duas frações conservamos a que está no numerador e multiplicamos pelo inverso da que está no denominador AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 6 Monômios São expressões com um só termo nas quais não aparecem operações adição ou subtração Exemplos 1 92xy 2 7b³ 3 32b³cd² 4 Polinômios É uma soma algébrica de dois ou mais monômios Exemplos 1 92xy 7b³ 2 x³ x 6 3 Termos semelhantes São aqueles que possuem a mesma parte literal Exemplos 1 8x² 21x² e são semelhantes pois possuem a mesma parte literal x² 2 9xy² e são semelhantes pois possuem a mesma parte literal xy² 3 e são semelhantes pois possuem a mesma parte lite ral Operações Exemplos TERMO COEFICIENTE PARTE LITERAL 9x² 9 x² 15xy 15 xy ab² AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 7 Efetue as operações e reduza os termos semelhantes há AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 8 Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas A Calcule o valor numérico das expressões 1 para a 2 e b 3 Resposta 50 2 para Resposta B Simplifique as expressões reduzindoas ao máximo 3 Resposta 4 Resposta C Dados os polinômios determine 5 Resposta 6 Resposta PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO Produtos Notáveis Produto é o mesmo que multiplicação e notáveis faz referência às regras bá sicas de operações entre polinômios AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 9 O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo MAIS duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo termo Exemplos usando a regra 1 2 O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo MENOS duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo termo Exemplos usando a regra 1 2 O produto da soma por sua diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo MENOS o quadrado do segundo termo 1ª Expressão Distributiva Regra Nome Quadrado da soma de dois termos 2ª Expressão Distributiva Regra Nome Quadrado da diferença de dois termos 3ª Expressão Distributiva Regra Nome Produto da soma pela diferença de dois termos AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 10 Exemplos usando a regra 1 2 O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro MAIS três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo MAIS três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo MAIS o cubo do segundo Exemplos usando a regra 1 2 O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro MENOS três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo MAIS três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo MENOS o cubo do segundo Exemplos usando a regra 4ª Expressão Distributiva Regra Nome Cubo da soma de dois termos 5ª Expressão Distributiva Regra Nome Cubo da diferença de dois termos AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 11 1 2 Fatoração Fatorar uma expressão algébrica é transformála em produto de dois ou mais fatores Veja que por meio da distributiva prova sempre voltamos à expressão de origem O propósito disso é fabricar fatores forma fatorada elementos da multiplicação Exemplos usando a regra 1 O fator comum é 2 dois pois divide simultaneamente as duas partes então Obs Se efetuar a distributiva voltamos à expressão de início como segue 2 1 Caso FATOR COMUM Prova distributiva Forma fatorada Veja que a é um fator comum aparece nas duas parcelas da expressão por isso colocamos em evidência Efetuando as distributivas forma fatorada AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 12 O fator comum é 5x2 y Veja que ele aparece divide nos três termos dessa ex pressão e escolhemos aquele com o menor expoente então Obs Se efetuar a distributiva voltamos à expressão de início como segue Veja que por meio da distributiva prova sempre voltamos à expressão de origem Obs Chamase agrupa mento pois agrupamos primeiro os termos em dois grupos e efetuamos a fatoração fator em evidência de cada grupo Com os resultados de cada grupo efetuamos mais uma fatoração fator em evidência Exemplos usando a regra 1 Colocamos em evidência os fatores comuns 2 e 5 Colocamos pm em evidência Obs Se efetuar a distributiva voltamos à expressão de início como segue forma fatorada 2 Caso AGRUPAMENTO Prova distributiva Colocamos em evidência os fatores comuns a e b Veja que agora temos outro fator comum em evidência então também colocamos em evidência Efetuando as distributivas Organizando os termos forma fatorada AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 13 2 Colocamos em evidência os fatores comuns x e 2y Colocamos em evidência Obs Se efetuar a distributiva voltamos à expressão de início como segue Um trinômio é quadrado perfeito quando Dois de seus termos são quadrados perfeitos ou seja suas raízes quadradas são exatas O termo não quadrado perfeito é igual ao dobro do produto dos resultados das raízes dos outros termos quadrados perfeitos Exemplos usando a regra 1 forma fatorada 3 Caso TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 14 Obs Se efetuar a distributiva voltamos à expressão de início como segue 2 Obs Se efetuar a distributiva voltamos à expressão de início como segue 3 AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 15 É uma operação de subtração entre dois termos que estão elevados ao quadrado Exemplos usando a regra 1 Obs Se efetuar a distributiva voltamos à expressão de início como segue 4 Caso DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 16 2 Obs Se efetuar a distributiva voltamos à expressão de início como segue Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas A Desenvolva os seguintes produtos notáveis 1 2 3 4 B Desenvolva os seguintes produtos notáveis e simplifi que as expressões 5 6 Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 17 C Fatore ao máximo as expressões 7 8 9 10 Equações Resolver uma equação faz parte do nosso cotidiano Então o que significa resol ver uma equação Resposta Resolver uma equação significa achar um número desconhecido x tornando a igualdade verdadeira Então toda igualdade entre expressões algébricas que se transforma em uma identidade numérica denominase equação Por exemplo Uma cliente de um grande magazine comprou um vestido e cinco blusas por R 116048 sabendo que o valor de um vestido é o triplo do valor de uma blusa quanto custa cada blusa e cada vestido Resolução Começaremos pela expressão o valor de um vestido é o triplo do valor de uma blusa Então se chamarmos de x uma blusa temos Blusa x Vestido 3x Valor total pago R 116048 Agora montaremos a seguinte equação com a expressão comprou um vestido e cinco blusas por R 116048 1 Vestido 5 Blusas R 116048 13x 5x 116048 Resposta Resposta Resposta Resposta AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 18 3x 5x 116048 8x 116048 x 14506 Finalmente calcularemos os valores do vestido e da blusa Blusa x Blusa R 14506 Vestido 3x Vestido 314506 R 43518 Resposta Nesse magazine o vestido comprado por essa cliente custa R 43518 e cada blusa custa R 14506 Tipos de equações Equação do 1 grau Obs Na equação do primeiro grau o expoente da incógnita x é 1 um Equação do 2 grau Obs Na equação do segundo grau o expoente da incógnita x é 2 dois Equação irracional Obs Na equação irracional a incógnita x está dentro de uma raiz Equação modular Obs Na equação modular a incógnita x está dentro de duas barras o que é chamado de módulo ou seja o valor absoluto de um número Equação exponencial Obs Na equação exponencial a incógnita x é um expoente AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 19 Equação logarítmica Obs Na equação logarítmica a incógnita x é o resultado do logaritmo Exemplo 1 Resolva a equação do 1 grau a seguir Exemplo 2 Resolva a equação do 1 grau a seguir Exemplo 3 Resolva a equação irracional a seguir Resolução Para resolver uma equação do 1 grau é preciso isolar a variável x no primeiro membro da equação e no segundo membro da equação os valores que não têm x Obs Não esquecer que ao trocar de membro devese inverter a operação envolvida lembrando O inverso da adição é a subtração e viceversa O inverso da multiplicação é a divisão e viceversa O inverso da potenciação é a radiciação e viceversa Como temos denominadores diferentes calculamos o Mínimo Múltiplo Comum MMC nos dois membros da equação Em seguida podemos cancelar esses denominadores para encontrar a variável x AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 20 Isolar a raiz quadrada no primeiro membro da equação Elevando os dois membros da equação ao quadrado Exemplo 4 aplicação O lucro diário na venda de um certo produto por uma loja é dado por L 120x 9370 em que x é a quantidade diária vendida desse produto Qual quantidade deve ser vendida diariamente para que o lucro diário seja igual a R 1463000 Resolução Para calcular a quantidade trocaremos o valor dado do lucro diário R 1463000 diretamente na equação dada para o cálculo do lucro diário L 120x 9370 14630 120x 9370 ou AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 21 120x 9370 14630 120x 14630 9370 120x 24000 x 200 Resposta Deve ser vendida a quantidade de 200 unidades desse produto para se obter um lucro diário de R 1463000 Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas A Resolva as equações do 1 grau 1 2 3 B Resolva as equações irracionais 4 Resposta Resposta 5 C Resolva aplicações envolvendo as equações do 1 grau 6 Ao triplo de um número adicionamos 90 O resultado é igual à diferença do quíntuplo do mesmo número com 60 Qual é esse número Resposta 75 7 O custo mensal de produção de x brinquedos de uma fábrica é C 60000 16x Qual é a quantidade mensal produzida sabendose que o custo mensal é R 92000000 Resposta Resposta Resposta AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 22 Resposta 53750 brinquedos 8 Sabendo que o lucro L é igual à receita R menos o custo C calcule a quan tidade x mensal de torneiras a serem vendidas por uma empresa para que seu lucro chegue a R 13600000 mensais dados R 360x 540 cálculo da receita e x é a quantidade de torneiras C 260 132x cálculo do custo e x é a quantidade de torneiras Resposta 600 torneiras Sistemas de equações Os sistemas de equações consistem em ferramentas importantes na Matemá tica São utilizados para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis A resolução dos sistemas consiste em estabelecer uma relação entre as equações e aplicar técnicas de resolução Por exemplo Uma estagiária de uma grande empresa de tecnologia recebeu seu salário men sal no valor de R 275000 em notas de R 5000 e de R 2000 em um total de 94 notas Ela entregou todas as notas de R 2000 para sua mãe Qual foi a quantia que sua mãe recebeu Resolução Podemos chamar algebricamente de x quantidade de notas de R 5000 y quantidade de notas de R 2000 Assim com as informações dadas podemos montar o seguinte sistema com duas equações e duas variáveis AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 23 Portanto a quantia que a mãe da estagiária recebeu é igual a 65 notas x R 2000 R 130000 Técnicas de resolução de sistemas Substituição esse método consiste em isolar o valor de uma das variáveis em uma das equações e depois substituir esse valor na outra Exemplo Calcule o sistema Isolado x na 1ª primeira equação temos Substituindo na 2ª segunda equação Substituindo na 1ª primeira equação isolada O conjunto solução do sistema é formado pelo par ordenado AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 24 Substituindo na 2ª segunda equação Substituindo na 1ª primeira equação isolada O conjunto solução do sistema é formado pelo par ordenado Adição esse método consiste em adicionar as equações 1 e 2 de modo que uma das incógnitas zere Às vezes é necessário preparar o sistema multiplicando cada equação por um número conveniente Exemplo Calcule o sistema Veja que como temos 2y na 1ª equação e 2y na 2ª equação então podemos somar as duas equações diretamente e zerar a incógnita y como segue Substituindo x5 na 1ª primeira equação O conjunto solução do sistema é formado pelo par ordenado AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 25 O conjunto solução do sistema é formado pelo par ordenado Comparação esse método consiste em comparar uma mesma variável em cada uma das equações Exemplo Calcule o sistema Isolaremos a variável x tanto na 1ª equação quanto na 2ª equação e compararemos os resultados 1ª equação 2ª equação Agora igualaremos compararemos os resultados obtidos Substituindo na 1ª primeira equação isolada O conjunto solução do sistema é formado pelo par ordenado AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 26 Isolaremos a variável x tanto na 1ª equação quanto na 2ª equação e compararemos os resultados 1ª equação 2ª equação Agora igualaremos compararemos os resultados obtidos Substituindo na 1ª primeira equação isolada O conjunto solução do sistema é formado pelo par ordenado Exemplo aplicação Em uma determinada papelaria a soma dos preços de aquisição de quatro ca netas e dois cadernos universitários é R 2840 O preço de dez canetas é R 100 mais barato que o preço de um caderno universitário Então se fossemos comprar dez canetas e mais cinco cadernos universitários teríamos que pagar quanto Resolução Podemos chamar algebricamente de x canetas y cadernos universitários Assim com as informações dadas podemos montar o seguinte sistema com duas equações e duas variáveis a soma dos preços de aquisição de quatro canetas e dois cadernos universitá rios é R 2840 o preço de dez canetas é R 100 mais barato que o preço de um caderno universitário Cálculo do sistema pela técnica da adição AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 27 Agora com o valor da caneta e do caderno universitário calcularemos a compra que foi estipulada dez canetas e mais cinco cadernos universitários 10x 5y 10110 51200 1100 6000 R 7100 Resposta Pagaríamos então R 7100 setenta e um reais por dez canetas e mais cinco cadernos universitários Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas A Resolva os sistemas de equações do 1 grau 1 Resposta S 4 1 Resposta S 1 2 Resposta S 1 1 2 3 AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 28 B Resolva aplicações envolvendo os sistemas de equações do 1 grau 4 A soma de dois números é 21 e sua diferença é 51 Calcule os dois números Resposta 15 e 36 5 Um estudante ganha cinco pontos por questão que acerta e perde três por questão que erra Ao fim de 50 questões tinha 130 pontos Quantas questões o es tudante acertou Resposta 35 questões Conclusão Esperamos que ao final desta aula as expressões algébricas apresentadas aju dem a criar modelos matemáticos para resolver problemas em seu dia a dia e que os produtos notáveis e a fatoração simplifiquem essas expressões Além disso co nhecemos também vários tipos de equações e alguns métodos de resoluções de sistemas com aplicações em Economia E não esqueça para melhor aproveitamento releia e refaça os exemplos resol vidos no material teórico e o mais importante não deixe de praticar então faça as Atividades Práticas propostas ok Bons estudos AULA 3 Expressões algébricas produtos notáveis e fatoração equações e sistemas de equações 29 REFERÊNCIAS DEMANA F D et al Précálculo 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 GOLDSTEIN L J et al Matemática aplicada economia administração e contabi lidade 12 ed Porto Alegre Bookman 2012 JACQUES I Matemática para economia e administração 6 ed São Paulo Pear son Prentice Hall 2010 JOHNSON R KUBY P Estat São Paulo Cengage Learning 2013 LAPA N Matemática aplicada São Paulo Saraiva 2012 SWEENEY D J WILLIAMS T A ANDERSON D R Estatística aplicada à adminis tração e economia 3 ed São Paulo Cengage Learning 2013 VERAS L L Matemática aplicada à economia síntese da teoria 3 ed São Paulo Atlas 2011 VIEIRA S Estatística básica São Paulo Cengage Learning 2015