Lista de Exercícios 7 - Modelos Dinâmicos em Tempo Contínuo e Equações Diferenciais

Lista de Exercícios nº 7 Modelos dinâmicos tempo contínuo Equações diferenciais 1 a Resolva por integração direta a equação diferencial 47 dYdt 3Y 0 com Y0 8 b Calcule Y5 e Y10 c Faça o gráfico da solução d Esboce o plano de fase que corresponde à equação dada 2 Dada a equação diferencial dYdt Y2 14Y 40 preencha o quadro abaixo e esboce seu plano de fase Yo Comportamento dinâmico Yo Comportamento dinâmico 2 8 4 10 6 12 3 Analise por meio de procedimentos puramente qualitativos plano de fase o comportamento dinâmico da variável Y em que dYdt 1Y 8 12 Indique o valor de equilíbrio se existente e indique o que ocorrerá para valores iniciais de Y maiores e menores do que o valor de equilíbrio Não será pedida em prova por causa da descontinuidade em Y 8 4 Em uma máquina de apostas o jogador pode escolher qualquer número inteiro entre 1 e 10 ao custo de R 1000 vezes o número apostado O programa da máquina definirá o prêmio a ser pago a cada jogador segundo um algoritmo que o jogador não conhece representado pelo plano de fase abaixo Para cada aposta o prêmio é igual a R 1000 vezes o valor de equilíbrio para o qual converge o algoritmo em função do número apostado Assim determine a Melhor aposta Lucroprejuízo Taxa de retorno b Pior aposta Lucroprejuízo Taxa de retorno c Se um jogador fizer simultaneamente uma aposta em cada número determine seu lucroprejuízo total e sua taxa de retorno d Se um jogador que conhece o algoritmo tiver que apostar obrigatoriamente R 30000 mas só puder apostar no máximo duas vezes em cada número determine o lucro máximo que poderá obter e sua taxa de retorno 5 Considere o modelo de mercado dinâmico dado pelas equações abaixo Qd 2200 4P dPdt 02Qd Qo e Qo 200 6P Po 300 a P5 QD5 QO5 b Gráfico de Pt c Gráfico de Qot d Plano de fase 6 Considere o modelo de mercado dinâmico dado pelas equações abaixo e calcule esboce o que se pede Qd 2000 5P Qo 400 3P dPdt 01Qd Qo e Po 50 a P5 QD5 QO5 b Instante em que P valor médio entre Po e P c Gráfico de Pt d Gráfico de QOt e de QDt 7 Suponha que a evolução do estoque de capital físico de um país seja regida pela equação dKdt I δK Considere também que taxa de depreciação do capital 5 aa investimento bruto 1500 do instante inicial até t 5 anos investimento bruto 2000 de t 5 anos em diante estoque inicial de capital 10000 Calcule a K5 b K10 8 A evolução da dívida externa de um país é regida pela equação D iD TC onde D é o estoque da dívida se D 0 o país é credor internacional i é a taxa de juros e TC é o saldo das transações correntes Se a taxa de juros é igual a 10 aa TC é constante e igual a 2000 e o estoque inicial da dívida é igual a 18000 determine a o estoque da dívida ou crédito com o exterior em t 20 anos e b t 25 anos c o momento que o país se converte de devedor em credor internacional e d o momento em que ele acumulará créditos com o exterior no mesmo montante de sua dívida inicial 9 A evolução da dívida externa de um país é regida pela equação dDdt iD TC onde D é o estoque da dívida se D 0 o país é credor internacional i é a taxa de juros e TC é o saldo das transações correntes a Se a taxa de juros é igual a 10 aa TC é constante e igual a 2000 e o estoque inicial da dívida é igual a 15000 determine D5 b Se em t 5 esse país passar a apresentar um déficit em transações correntes de 3000 determine D10 c Se em t 10 o país conseguir negociar com seus credores uma redução da taxa de juros para 8 aa e quiser que o estoque da dívida em t 20 seja igual a 10000 que saldo das transações correntes deve ser mantido pelo país a partir de t 10 Lista de Exercícios nº 9 Modelos dinâmicos tempo discreto Equações em diferenças finitas 1 a Resolva a equação em diferenças 005Yt 003Yt1 001 com Y0 0 b Calcule Y5 e Y10 c Faça o gráfico da solução d Esboce o plano de fase que corresponde à equação dada 2 a Resolva a equação em diferenças 07Yt 5 07Yt1 com Y0 2 b Calcule Y5 e Y10 c Faça o gráfico da solução d Esboce o plano de fase que corresponde à equação dada 3 a Analise por meio de procedimentos puramente qualitativos plano de fase o comportamento dinâmico da variável Y em que Yt Y2 t1 3Yt1 Indique o valor de equilíbrio se existente e indique o que ocorrerá para valores iniciais de Y maiores e menores do que o valor de equilíbrio 4 As funções de demanda e oferta de um determinado produto cujo preço inicial é R 20000 são dadas por D 1300 6P e O 200 4P Se a evolução do preço de mercado for dada por dPdt 0005Dt Ot no caso contínuo e por Pt Pt1 0005Dt1 Ot1 no caso discreto complete a tabela a seguir T Pt Pt 5 20 5 Dado o modelo de mercado representado pelas equações a seguir Dt 1400 4 Pt Ot 400 6 Pt1 Ot Dt P0 102 Determine o valor do preço de equilíbrio P e do preço nos instantes 5 e 10 P P5 P10 Faça o gráfico Pt X t e o plano de fase Pt X Pt1 6 Dado o modelo de mercado representado pelas equações a seguir Dt 1200 60 Pt Ot 200 40 Pt Pt Pt1 0005Dt1 Ot1 P0 20 Determine o valor do preço de equilíbrio P e do preço nos instantes 5 e 10 P P5 P10 Faça o gráfico Pt X t e o plano de fase Pt X Pt1 7 A evolução do estoque de capital físico de um país se dá de acordo com a equação em diferenças finitas Kt Kt1 It δKt1 onde It é o investimento bruto no ano t e δ é a taxa de depreciação do estoque de capital Se It for constante e igual a 2000 δ 005 e K0 10000 determine o que se pede a Estoque de capital de equilíbrio K b Tempo em que K K0 K2 b K10 c K15 8 O volume de água no reservatório de abastecimento de uma cidade no final do ano t medido em unidades volumétricas uv é dado por Vt Vt1 Ut Ct Pt em que Vt1 é o volume existente ao final do ano t1 e Ut Ct e Pt são respectivamente os volumes utilizado adicionado pela chuva e perdido por evaporação e absorção pelo solo ao longo do ano t a Se Ct 400000 uv Ut 200000 uv e Pt 01xVt1 o volume de equilíbrio do reservatório é V b Se V0 1000000 uv o volume do reservatório ao longo do ano irá aumentar diminuir ou permanecer estável Esse volume converge para diverge do ou já se encontra no volume de equilíbrio c Supondo que o aquecimento global provoque uma redução de 40 no volume anual de chuva captada pelo reservatório uma elevação de 20 no volume anual utilizado e a elevação da taxa de perda de 10 aa para 159 aa o novo volume de equilíbrio do reservatório será V d Nas condições do item c com o mesmo V0 dado em b em quantos anos o volume do reservatório se reduzirá à metade do volume inicial t e Nas mesmas condições supondo que o custo de tratamento por uv de água utilizada em R seja dado por CT 115ln1000000Vt 005 e que esse tratamento se torne economicamente inviável ao custo de R 011uv determine em quanto tempo terá que ser interrompida a utilização de água desse reservatório t