Lista de Exercícios Resolvida: Análise Econômica e Cinemática

Resolução da Lista de Exercícios nº 8 Análise Econômica 1 Melhores momentos das aulas de cinemática no ensino médio Um corpo tem posição velocidade e aceleração dadas pelas funções st vt e at em que t é o tempo a Sabendo que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo e que ela é constante at a determine vt sabendo que v0 v0 b Com base no resultado anterior e sabendo que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo determine st sabendo que s0 s0 2 Admita que o PIB de um país é dado por uma função contínua do tempo Yt e que a taxa de crescimento do PIB é igual a 3 aa a Represente a afirmação anterior por meio de uma equação diferencial b Determine a solução geral dessa equação diferencial c Se o PIB do país atingir o valor de 100 up unidades de PIB em 2020 utilize o resultado obtido no item anterior para determinar qual será seu PIB em 2025 d Em que ano o PIB do país será igual ao dobro do inicial ou seja quando ele atingirá o valor de 200 up e Se a população do país for dada por uma função contínua Nt que cresce à taxa de 2 aa em que ano o PIB per capita do país vai ser igual ao dobro do seu PIB per capita em 2020 Os dados fornecidos são suficientes para a realização do cálculo c em 2020 t 0 em 2025 t 5 Y0 Ae0 A 100 Yt 100 e003t Y2020 100 Y5 100 e003 x 5 Y5 1162 Y2025 1162 003t ln 2 t ln 2003 t 231 ano 20431 d Yt 100 e003 t Yt 200 100e003 t 200 e003 t 2 e Y PIB N Nºhº habitantes YN y PIB per capita Taxa de crescimento de y ẏ 1y dydt 1y ddt YN NY dydt N Y dNdtN2 1y dydt 1N dNdt ŷ N Este é um resultado geral Se z XY z X ŷ Se z XY z X ŷ Outro modo de ver y YN ln y ln Y ln N d ln ydt d ln Ydt d ln Ndt 1y dydt 1Y dydt 1N dNdt ẏ ŷ N ŷ ŷ N ŷ 3 2 1 1y dydt 001 ou seja se o PIB cresce à taxa de 3 e a população cresce à taxa de 2 o PIB per capita cresce à taxa de 1 Similar à equação para Y sem só PI resolvida De modo geral se Z tem uma taxa de crescimento constante igual a α 1z dzdt α dzz α dt ln z α t C z eC eα t z Aeα t z0 A e0 A logo zt z0 eα t taxa de crescimento Assim 1y dydt 001 yt y0 e001 t Se yt 290 20 y0 e001 t 2 e001 t ln 2 0 01 t t ln 2001 t 693 logo ano 20893 o tempo para algo dobrar só depende da taxa de crescimento e não do valor inicial