Lista de Exercícios nº 7: Modelos Dinâmicos e Equações Diferenciais

Lista de Exercícios nº 7 Modelos dinâmicos tempo contínuo Equações diferenciais 1 a Resolva por integração direta a equação diferencial 47 dYdt 3Y 0 com Y0 8 b Calcule Y5 e Y10 c Faça o gráfico da solução d Esboce o plano de fase que corresponde à equação dada 2 Dada a equação diferencial dYdt Y2 14Y 40 preencha o quadro abaixo e esboce seu plano de fase Yo Comportamento dinâmico Yo Comportamento dinâmico 2 8 4 10 6 12 3 Analise por meio de procedimentos puramente qualitativos plano de fase o comportamento dinâmico da variável Y em que dYdt 1Y 8 12 Indique o valor de equilíbrio se existente e indique o que ocorrerá para valores iniciais de Y maiores e menores do que o valor de equilíbrio Não será pedida em prova por causa da descontinuidade em Y 8 4 Em uma máquina de apostas o jogador pode escolher qualquer número inteiro entre 1 e 10 ao custo de R 1000 vezes o número apostado O programa da máquina definirá o prêmio a ser pago a cada jogador segundo um algoritmo que o jogador não conhece representado pelo plano de fase abaixo Para cada aposta o prêmio é igual a R 1000 vezes o valor de equilíbrio para o qual converge o algoritmo em função do número apostado Assim determine a Melhor aposta Lucroprejuízo Taxa de retorno b Pior aposta Lucroprejuízo Taxa de retorno c Se um jogador fizer simultaneamente uma aposta em cada número determine seu lucroprejuízo total e sua taxa de retorno d Se um jogador que conhece o algoritmo tiver que apostar obrigatoriamente R 30000 mas só puder apostar no máximo duas vezes em cada número determine o lucro máximo que poderá obter e sua taxa de retorno 5 Considere o modelo de mercado dinâmico dado pelas equações abaixo Qd 2200 4P dPdt 02Qd Qo e Qo 200 6P Po 300 a P5 QD5 QO5 b Gráfico de Pt c Gráfico de Qot d Plano de fase 6 Considere o modelo de mercado dinâmico dado pelas equações abaixo e calcule esboce o que se pede Qd 2000 5P Qo 400 3P dPdt 01Qd Qo e Po 50 a P5 QD5 QO5 b Instante em que P valor médio entre Po e P c Gráfico de Pt d Gráfico de QOt e de QDt 7 Suponha que a evolução do estoque de capital físico de um país seja regida pela equação dKdt I δK Considere também que taxa de depreciação do capital 5 aa investimento bruto 1500 do instante inicial até t 5 anos investimento bruto 2000 de t 5 anos em diante estoque inicial de capital 10000 Calcule a K5 b K10 8 A evolução da dívida externa de um país é regida pela equação D iD TC onde D é o estoque da dívida se D 0 o país é credor internacional i é a taxa de juros e TC é o saldo das transações correntes Se a taxa de juros é igual a 10 aa TC é constante e igual a 2000 e o estoque inicial da dívida é igual a 18000 determine a o estoque da dívida ou crédito com o exterior em t 20 anos e b t 25 anos c o momento que o país se converte de devedor em credor internacional e d o momento em que ele acumulará créditos com o exterior no mesmo montante de sua dívida inicial 9 A evolução da dívida externa de um país é regida pela equação dDdt iD TC onde D é o estoque da dívida se D 0 o país é credor internacional i é a taxa de juros e TC é o saldo das transações correntes a Se a taxa de juros é igual a 10 aa TC é constante e igual a 2000 e o estoque inicial da dívida é igual a 15000 determine D5 b Se em t 5 esse país passar a apresentar um déficit em transações correntes de 3000 determine D10 c Se em t 10 o país conseguir negociar com seus credores uma redução da taxa de juros para 8 aa e quiser que o estoque da dívida em t 20 seja igual a 10000 que saldo das transações correntes deve ser mantido pelo país a partir de t 10