Introdução à Economia Matemática: Fundamentos e Abordagens

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 1 Análise Econômica Introdução Economia Matemática Não é um ramo distinto É uma abordagem da Análise Econômica Problemas Econômicos através de Símbolos Matemáticos Teoremas Matemáticos para auxiliar o raciocínio Tópicos específicos que podem ser resolvidos com ferramentas matemáticas são por exemplo microeconomia macroeconomia finanças públicas economia urbana política monetária etc Atualmente a maioria dos livros didáticos de Economia utiliza elementos de Economia Matemática entretanto é mais comum associar tais técnicas matemáticas à elementos como Álgebra Matricial Cálculo Diferencial e Integral Equações Diferenciais etc Objetivo Geral de Economia Matemática introduzir os aspectos mais fundamentais dos métodos matemáticos utilizados em Economia Economia Matemática Vs Economia Não Matemática Economia Matemática é equivalente a abordagem da Análise Econômica Discursiva portanto não difere em nenhum sentido fundamental da abordagem Não Matemática Diferenças Formais Economia Matemática usa símbolos para enunciar premissas e conclusões ao invés de palavras e textos longos No lugar da lógica literária são usados teoremas matemáticos A Matemática tem a vantagem de obrigar os analistas a enunciar suas premissas explicitamente em cada estágio do raciocínio Teoremas Matemáticos costumam utilizar a lógica Se Então UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 2 Note na Análise Econômica essa é a diferença fundamental entre os Métodos Hipotéticos Dedutivos e os Métodos Históricos Dedutivos Geometria e sua limitação Em Economia o uso de apenas duas dimensões por exemplo nas curvas de indiferenças das funções de Utilidade se dá pelo fato de ser difícil construir representações tridimensionais 𝑅3 e impossível representar dimensões superiores 𝑅𝑛 𝑐𝑜𝑚 𝑛 4 Nesse sentido é fisicamente impossível representar graficamente 04 ou mais dimensões Para resolver problemas gerais com 03 04 ou n dimensões variáveis deve se então utilizarse de Equações ou Sistemas de Equações Vantagens da Economia Matemática Linguagem mais precisa e concisa Vasto número de Teoremas Matemáticos a disposição Obriga formalismo e explicitação de premissas e hipóteses o que consequentemente minimiza falhas na formulação e facilita a verificação de cada etapa Permite generalizações n variáveis Desvantagens Dificuldade de Comunicação entre Economistas Matemáticos e NãoMatemáticos Economia Matemática pode gerar hipóteses matemáticas perfeitas porém Não Realistas com baixa aderência a realidade e Não Razoáveis Economicamente Exemplo Função de Utilidade e Escolha do Consumidor como funciona na realidade igual ao que a Teoria Microeconômica formaliza UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 3 Economia Matemática Vs Econometria Econometria mensuração de dados econômicos Trata do estudo de observações empíricas utilizando métodos estatísticos de estimação e teste de hipóteses Economia Matemática é a aplicação de matemática aos aspectos puramente teóricos da Análise Econômica Atualmente o método científico cobra estudos empíricos antes de aplicar teorias e resultados Ao mesmo tempo o estudo empírico precisa da teoria como fundamentação e orientação Porém Economia Matemática é mais básica pois para a obtenção de um estudo estatístico e econométrico significativo é indispensável uma boa estrutura teórica Modelos Econômicos Um Modelo Econômico é uma estrutura analítica deliberadamente simplificada da realidade através da seleção de fatores mais importantes e das interrelações relevantes para o problema estudado Note não precisa ser matemático Modelos Matemáticos Um Modelo Matemático é construído de um conjunto de equações visando descrever a estrutura de um problema Objetivo obter um conjunto de conclusões lógicas através da aplicação de operações matemáticas Se o Modelo Matemático for construído apropriadamente de modo que possa ser mensurado podese então resolvêlo de forma a gerarse valores para as soluções dos sistemas de variáveis utilizado Exemplo Oferta e Demanda 𝑄𝐷 𝑎 𝑏 𝑃 𝑄𝑂 𝑐 𝑑 𝑃 Variável Constante e Parâmetro Variável algo que pode assumir valores diferentes O D Q P UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 4 Constante valor fixo por exemplo na expressão 𝑏2 4 𝑎 𝑐 o valor 4 é constante Parâmetro é uma constante paramétrica que deve assumir valores fixos para situações distintos por exemplo 𝑏2 4 𝑎 𝑐 onde 𝑏 𝑎 𝑒 𝑐 são parâmetros Variáveis Endógenas seus valores são determinados pelo modelo originadas internamente Variáveis Exógenas valores determinados por forças externas ao modelo aceitas como dadas Equações e Identidades Variáveis existem independentes de relações porém o maior interesse em variáveis é a construção de relações por meio de equações e inequações As aplicações econômicas têm 03 tipos de equações Equações de Definição Equações de Comportamento Equações de Equilíbrio Equações de Definição impõe uma identidade entre duas expressões alternativas com mesmo significado Exemplo 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 Equações de Comportamento impõe o padrão de comportamento de uma variável relativo a mudanças em outras variáveis Exemplos Comportamento humano como em 𝐶 𝐶𝑌 ou 𝐶𝑌 𝐼 função consumo como resposta ao nível de renda ou renda e investimento Comportamento não humano 𝐶𝑦 função custo da firma como resposta ao nível de produção Equações de Comportamento precisam adotar pressupostos bem definidos com relação ao padrão de comportamento da variável em questão UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 5 Equações de Equilíbrio impõe a condição que é prérequisito para a obtenção do equilíbrio Exemplo 𝑄𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙 𝑄𝐷 𝑄𝑂 Dessa forma o sistema 𝑄𝐷 𝑎 𝑏 𝑃 𝑄𝑂 𝑐 𝑑 𝑃 Tem como solução 𝑷 𝒂𝒄 𝒅𝒃 Relações Funções e Gráficos Relação é qualquer subconjunto específico de uma regra de associação de números mais geral Função regra de associação entre números onde cada elemento do domínio tem um único elemento na imagem Exemplos 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 Ou 𝑓 𝑥 𝑦 𝑚𝑎𝑝𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑝𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 Ou 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑣𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑧 𝑣𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 6 Gráficos de Funções Linear 𝑦 𝑎0 𝑎1 𝑥 Quadrática 𝑦 𝑎0 𝑎1 𝑥 𝑎2 𝑥2 Cúbica 𝑦 𝑎0 𝑎1 𝑥 𝑎2 𝑥2 𝑎3 𝑥3 Hipérbole Retangular 𝑦 𝑎 𝑥 com 𝑎 𝑎 𝑒 𝑥 0 Exponencial 𝑦 𝑏𝑥 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 7 Logarítmica 𝑦 log𝑏 𝑥 Níveis de Generalizações O mais comum é funções e modelos com as constantes dadas tais como 𝑦 7 𝑦 6𝑥 4 𝑦 𝑥2 3𝑥 1 etc Um nível mais geral de discussão e análise é 𝑦 𝑎 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 etc O mais generalizado é a falta da definição da forma analítica da função tal como 𝑦 𝑓𝑥 ou 𝑧 𝑔𝑥 𝑦 Roteiro para resolução de problemas 1 Selecionar variáveis apropriadas EndógenasExógenas 2 Traduzir em Equações as Suposições Analíticas 3 Derivar as conclusões através de manipulação matemática e interpretar economicamente os resultados Análise do Equilíbrio em Economia Equilíbrio quando estamos pensando nos modelos econômicos é em essência a situação caracterizada por ausência de tendência a mudança O equilíbrio quando atingido tende a se perpetuar exceto por quaisquer mudanças nas forças externas Equilíbrio Estável Instável UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 8 Equilíbrio Estável acontece quando mesmo com pequenas oscilações das forças do sistema o equilíbrio tende a permanecer ou ser novamente atingido Equilíbrio Instável acontece quando qualquer pequena oscilação das forças do sistema retira a condição de equilíbrio Equilíbrio Estático acontece quando estaticamente as variáveis do sistema garantem a condição de equilíbrio entre as equações do sistema Equilíbrio Parcial de Mercado modelo linear Objetivo encontrar um conjunto de valores das variáveis endógenas que satisfazem as condições de equilíbrio Exemplo 01 Mercadoria Variáveis 𝑄𝐷 𝑄𝑂 𝑃 Supostos Condição de Equilíbrio 𝑄𝐷 𝑄𝑂 ou seja 𝑄𝐷 𝑄𝑂 0 Excesso de Demanda igual a Zero 𝑄𝐷 𝑎 𝑏 𝑃 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑄𝑂 𝑐 𝑑 𝑃 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 Sendo 𝑎 𝑏 0 𝑐 𝑑 0 𝑄 𝑄𝐷 𝑄𝑂 𝑎 𝑏 𝑃 𝑐 𝑑 𝑃 𝑏 𝑑 𝑃 𝑎 𝑐 Temse como solução 𝑷 𝒂𝒄 𝒃𝒅 Preço de Equilíbrio como função dos parâmetros Usando 𝑷 na equação demanda temos 𝑄 𝑄𝐷𝑃 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 a c Q P O D Q P UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 9 𝑄 𝑎𝑏 𝑎𝑑 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑏 𝑑 𝑄 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑏 𝑑 O que exige 𝑎𝑑 𝑏𝑐 para fazer sentido econômico Equilíbrio Parcial de Mercado modelo linear Exemplo 01 Mercadoria Variáveis 𝑄𝐷 𝑄𝑂 𝑃 Supostos Condição de Equilíbrio 𝑄𝐷 𝑄𝑂 𝑄𝐷 𝑄𝑂 𝑄𝐷 4 𝑃2 𝑄𝑂 4 𝑃 1 𝑄𝐷 𝑄𝑂 𝑃 1 𝑄 3 Lista01 resolver e fazer os gráficos Seção 32 02 a e b Seção 33 06 a e b UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 10 02 a 𝑄𝐷 51 3 𝑃 𝑄𝑂 6 𝑃 10 b 𝑄𝐷 30 2 𝑃 𝑄𝑂 6 5 𝑃 06 a 𝑄𝐷 3 𝑃2 𝑄𝑂 6 𝑃 4 b 𝑄𝐷 8 𝑃2 𝑄𝑂 𝑃2 2 Equilíbrio Geral de Mercado Todos os bens da Economia interagem entre si por relações de substituição e complementariedade nas trocas dado variações de preços Em um mercado isolado equilíbrio parcial a condição de equilíbrio consiste apenas em uma equação 𝑄𝐷 𝑄𝑆 ou seja Equilíbrio é 𝑄𝐷 𝑄𝑠 0 Em um mercado com várias mercadorias independentes consideradas simultaneamente temos para cada mercadoria 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜𝑖 𝑄𝑖 𝐷 𝑄𝑖 𝑆 0 𝑖 1 2 𝑛 Se existir uma solução haverá um conjunto de preços 𝑃𝑖 e correspondentes quantidades de equilíbrio 𝑄𝑖 tais que todas as n equações da condição de equilíbrio serão satisfeitas simultaneamente Modelo de Mercado com duas Mercadorias LINEAR 𝑸𝒅𝟏 𝑸𝒔𝟏 𝟎 𝑄𝑑1 𝑎0 𝑎1 𝑃1 𝑎2 𝑃2 𝑄𝑠1 𝑏0 𝑏1 𝑃1 𝑏2 𝑃2 𝑸𝒅𝟐 𝑸𝒔𝟐 𝟎 𝑄𝑑2 𝛼0 𝛼1 𝑃1 𝛼2 𝑃2 𝑄𝑠2 𝛽0 𝛽1 𝑃1 𝛽2 𝑃2 Respostas 02 a 𝑃 61 9 e 𝑄 92 3 b 𝑃 36 7 e 𝑄 138 7 06 a 𝑃 1 e 𝑄 2 b 𝑃 5 e 𝑄 3 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 11 O que nos leva a 𝑎0 𝑏0 𝑎1 𝑏1 𝑃1 𝑎2 𝑏2 𝑃2 0 𝛼0 𝛽0 𝛼1 𝛽1 𝑃1 𝛼2 𝛽2 𝑃2 0 Para simplificar vamos reescrever os coeficientes tais como 𝑐𝑖 𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝛾𝑖 𝛼𝑖 𝛽𝑖 𝑖 0 1 2 Então temos 𝑐0 𝑐1 𝑃1 𝑐2 𝑃2 0 𝛾0 𝛾1 𝑃1 𝛾2 𝑃2 0 Resolvendo temos 𝑐1 𝑃1 𝑐2 𝑃2 𝑐0 𝛾2 𝑐2 𝛾1 𝑃1 𝛾2 𝑃2 𝛾0 𝛾2 𝑐2 𝑐1 𝑃1 𝛾2 𝑃2 𝑐0 𝛾2 𝑐2 𝛾1 𝑃1 𝛾2 𝑃2 𝛾0 𝛾1 𝑐1 𝑐2 𝛾2 𝑃1 0 𝑐0 𝑐2 𝛾2 𝛾0 𝑐2 𝛾1 𝑐1 𝛾2 𝑐2 𝑃1 𝑐0 𝛾2 𝑐2 𝛾0 𝑐2 𝑷𝟏 𝒄𝟎 𝜸𝟐 𝒄𝟐 𝜸𝟎 𝒄𝟐 𝜸𝟏 𝒄𝟏 𝜸𝟐 Substituindo 𝑃1 na primeira equação do sistema temos 𝑐1 𝑐0 𝛾2 𝑐2 𝛾0 𝑐2 𝛾1 𝑐1 𝛾2 𝑐2 𝑃2 𝑐0 𝑐2 𝑃2 𝑐1 𝑐0 𝛾2 𝑐1 𝑐2 𝛾0 𝑐0 𝑐2 𝛾1 𝑐1 𝑐0 𝛾2 𝑐2 𝛾1 𝑐1 𝛾2 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 12 𝑐2 𝑃2 𝑐2 𝑐1 𝛾0 𝑐0 𝛾1 𝑐2 𝛾1 𝑐1 𝛾2 Portanto 𝑷𝟐 𝒄𝟎 𝜸𝟏 𝒄𝟏 𝜸𝟎 𝒄𝟏 𝜸𝟐 𝒄𝟐 𝜸𝟏 Restrições i Denominador diferente de zero 𝒄𝟏 𝜸𝟐 𝒄𝟐 𝜸𝟏 ii Numerador com mesmo sinal que o denominador Obtendo 𝑃1 e 𝑃2 podemos calcular 𝑄1 e 𝑄2 Exemplo Numérico 𝑄𝑑1 10 2𝑃1 𝑃2 𝑄𝑠1 2 3 𝑃1 𝑄𝑑2 15 𝑃1 𝑃2 𝑄𝑠2 1 2 𝑃2 10 2𝑃1 𝑃2 2 3 𝑃1 15 𝑃1 𝑃2 1 2 𝑃2 5 𝑃1 𝑃2 12 3 𝑃1 3 𝑃2 16 14 𝑃1 0 36 16 𝑃1 52 14 𝑷𝟏 𝟐𝟔 𝟕 𝑷𝟐 𝟒𝟔 𝟕 𝑸𝟏 𝟔𝟒 𝟕 𝑸𝟐 𝟖𝟓 𝟕 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 13 Modelo de Mercado com n mercadorias 𝑄𝑑𝑖 𝑄𝑑𝑖𝑃1 𝑃2 𝑃𝑛 𝑄𝑠𝑖 𝑄𝑠𝑖𝑃1 𝑃2 𝑃𝑛 𝑖 1 𝑛 Assim temos 2 𝑛 equações que em condições de equilíbrio devem gerar um sistema de 𝑛 equações dadas por 𝑄𝑑𝑖𝑃1 𝑃2 𝑃𝑛 𝑄𝑠𝑖𝑃1 𝑃2 𝑃𝑛 0 𝑖 1 𝑛 Resolvidas simultaneamente essas 𝑛 equações podem determinar os 𝑛 preços de equilíbrio 𝑃𝑖 se realmente existir uma solução E então 𝑄𝑖 pode ser obtido das funções de demanda e oferta Solução de um Sistema Geral de Equações Não basta contar número de equações e variáveis para definir se existe solução Vejamos os seguintes exemplos 𝑥 𝑦 8 𝑥 𝑦 9 Sistema inconsistente NÃO EXISTE Solução 2𝑥 𝑦 8 4𝑥 2𝑦 16 INFINITAS Soluções 2𝑥 3𝑦 58 𝑦 18 𝑥 𝑦 20 Solução ÚNICA 2 18 Para haver solução única as equações do sistema têm que formar uma matriz quadrada com os coeficientes das variáveis do sistema de forma que esta matriz dos coeficientes do sistema tem que ser Linearmente Independente LI Equilíbrio na Análise da Renda Nacional Modelo Keynesiano de Determinação da Renda 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝐶 𝑎 𝑏 𝑌 𝑎 0 0 𝑏 1 Onde Y Renda e C Consumo das Famílias Variáveis Endógenas 𝑏 propensão marginal a consumir UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 14 Substituindo 𝐶 em 𝑌 temos 𝑌 𝑎 𝑏 𝑌 𝐼0 𝐺0 1 𝑏 𝑌 𝑎 𝐼0 𝐺0 𝑌 𝑎𝐼0𝐺0 1𝑏 𝐶 𝑎 𝑏 𝑎𝐼0𝐺0 1𝑏 𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏𝑏𝐼0𝐺0 1𝑏 𝐶 𝑎𝑏𝐼0𝐺0 1𝑏 Restrições 1 1 𝑏 0 1 𝑏 Ou seja propensão marginal a consumir 0 𝑏 1 2 𝑌 𝐶 0 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 0 Onde 𝑎 nível de consumo mínimo 𝐼0 Investimento normalmente 0 𝐺0 Gastos do Governo normalmente 0 Lista02 Resolver Seção 34 03 Seção 35 01 02 e 03 Seção 34 03 As funções demanda e oferta de um modelo de duas mercadorias são as seguintes 𝑄𝑑1 18 3𝑃1 𝑃2 𝑄𝑠1 2 4 𝑃1 𝑄𝑑2 12 𝑃1 2 𝑃2 𝑄𝑠2 2 3 𝑃2 Calcule 𝑷𝟏 𝑷𝟐 𝑸𝟏 𝒆 𝑸𝟐 de equilíbrio UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 15 Seção 35 01 Dado o seguinte modelo 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝐶 𝑎 𝑏𝑌 𝑇 𝑎 0 0 𝑏 1 𝑇 𝑑 𝑡 𝑌 𝑑 0 0 𝑡 1 a Quantas variáveis endógenas existem b Calcule 𝑌 𝐶 𝑒 𝑇 02 Seja o modelo de Renda Nacional 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺 𝐶 𝑎 𝑏𝑌 𝑇0 𝑎 0 0 𝑏 1 𝐺 𝑔 𝑌 0 𝑔 1 a Identifique as variáveis endógenas b Dê o significado econômico do parâmetro 𝑔 c Calcule a Renda Nacional de Equilíbrio d Quais restrições devem ser impostas aos parâmetros para que exista uma solução 03 Calcule 𝑌 e 𝐶 do seguinte sistema 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝐶 25 6 𝑌 1 2 𝐼0 16 𝐺0 14 Modelos Lineares e Álgebra Matricial Vantagens 1 Fornece um modo compacto de escrever um sistema de equações 2 Possibilidade de encontrar soluções através do cálculo do determinante 3 Fornece um método para calcular a solução 4 Aplicabilidade em Análise Estática Estática Comparativa Análise Dinâmica e Otimização entre outros Restrições Aplicável somente a sistemas de equações lineares UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 16 Em muitos casos a relação linear gera uma aproximação suficientemente boa a uma relação concreta nãolinear Ainda há casos onde através de transformações monotônicas podemos linearizar as funções a serem utilizadas Exemplo 𝑦 𝑎 𝑥𝑏 ln𝑦 ln𝑎 𝑏 ln𝑥 Linear para ln𝑦 e ln𝑥 Matrizes e Vetores Sistema de 𝑚 equações lineares com 𝑛 variáveis 𝑥1 𝑥𝑛 pode ser representado da seguinte forma 𝑎11 𝑥1 𝑎12 𝑥2 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 𝑑1 𝑎21 𝑥1 𝑎22 𝑥2 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 𝑑2 𝑎𝑚1 𝑥1 𝑎𝑚2 𝑥2 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑑𝑚 Que pode ser reescrito matricialmente por 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑑1 𝑑2 𝑑𝑛 Matriz dos coeficientes 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 Matriz ou Vetor de variáveis Variáveis Endógenas 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 ou 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Matriz ou Vetor de termos constantes 𝑑 𝑑1 𝑑2 𝑑𝑛 ou 𝑑 𝑑1 𝑑2 𝑑𝑛 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 17 Exemplo 6𝑥1 3𝑥2 𝑥3 22 𝑥1 4𝑥2 2𝑥3 12 4𝑥1 𝑥2 5𝑥3 10 Que pode ser decomposto em 𝐴 6 3 1 1 4 2 4 1 5 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑑 22 12 10 Ou seja podemos escrever 𝐴 𝑥 𝑑 tal como 6 3 1 1 4 2 4 1 5 𝑥1 𝑥2 𝑥3 22 12 10 SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES POR MÉTODOS MATRICIAS Em Economia é muito comum a discussão de sistemas de equações lineares por meio dos métodos matriciais Todos os sistemas de Microeconomia Macroeconomia e Econometria que tem por base equações lineares são computacionalmente resolvidos por formas matriciais Para a solução de sistemas lineares iremos considerar os casos descritos por 𝐴 𝑥 𝑑 Esses sistemas têm essencialmente dois métodos tradicionais de solução 1 Matriz Inversa 𝑨𝟏 𝑨 𝒙 𝒅 𝒙 𝑨𝟏 𝒅 2 Regra de Cramer 𝑨 𝒙 𝒅 𝒙𝒊 𝐝𝐞𝐭𝑨𝒊 𝐝𝐞𝐭𝑨 Onde 𝐴𝑖 é a matriz que se obtem da substituição da iésima coluna de 𝐴 pelo vetor 𝑑 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 18 Condição de Existência de Solução Essencialmente para que seja possível calcular matricialmente a solução dos sistemas pelos dois métodos supracitados é necessário que det𝐴 0 Propriedade Det𝐴 0 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐴1 Det𝐴 0 𝑁Ã𝑂 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐴1 Em resumo se det𝐴 0 não existe solução única do sistema linear em estudo Matrizes REVISÃO Definições 1 ESCALAR número real ou complexo 2 MATRIZ conjunto de escalares com duas ordenações uma por linha e outra por coluna 𝐴 𝑎𝑖𝑗𝑚𝑥𝑛 𝑖 1 𝑚 𝑗 1 𝑛 Exemplo 𝐴 1 5 0 2 3 4 𝑎12 5 𝑎23 4 3 VETOR matriz com uma linha ou uma coluna 𝑥 3 1 2 3𝑥1 vetor coluna 𝑦 5 2 31𝑥3 vetor linha Operações com MATRIZES 4 Adição ou Subtração 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 𝑐𝑖𝑗 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 𝑐𝑖𝑗 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 19 Exemplo 1 2 5 4 1 0 0 3 2 1 1 4 1 1 7 3 2 4 5 Multiplicação de Matriz por Escalar 𝛼 𝐴 𝐵 𝑏𝑖𝑗 𝛼 𝑎𝑖𝑗 Ex01 2 1 0 2 3 2 0 4 6 Ex01 𝛼 2 𝑥 1 1 𝛼 𝑥 2 1 1 2 2 6 Multiplicação de Matrizes a Produto Interno ou produto escalar 𝑥 1 5 2 e 𝑦 2 3 1 𝑥 𝑦 12 53 21 19 Ou seja 𝒙 𝒚 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒏 𝒊 b Multiplicação de Matrizes 𝐴𝒎𝑥𝒑 𝐵𝒑𝑥𝒏 𝐶𝒎𝑥𝒏 Para ser possível a multiplicação matricial o número de colunas da matriz 𝐴 deve ser igual ao número de linhas da matriz 𝐵 A matriz 𝐶 resultante tem dimensões dadas por 𝒎 𝑥 𝒏 que correspondem ao número de linhas da matriz 𝐴 e ao número de colunas da matriz 𝐵 Cada elemento 𝑐𝑖𝑗 é o resultado do produto interno da iésima linha de 𝐴 com a jésima coluna de 𝐵 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 20 Ex01 1 2 1 3 4 2 2𝑥3 5 2 4 3 1 0 3𝑥2 𝟏𝟒 𝟖 𝟑𝟑 𝟏𝟖 2𝑥2 𝑐11 15 24 11 14 𝑐12 12 23 10 08 𝑐21 35 44 21 33 𝑐22 32 43 20 18 Ex02 𝐴 1 1 1 1 e 𝐵 1 1 1 1 𝐴 𝐵 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 𝐵 𝐴 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 Ou seja a ordem importa na multiplicação matricial Somente em casos especiais exceções à regra a ordem não importa tal como na multiplicação da matriz pela sua matriz inversa Definições de espécies de MATRIZES 7 Matriz Quadrada Matriz com mesmo número de linhas e colunas Exemplos 𝐴2𝑥2 𝐴3𝑥3 𝐴𝑛𝑥𝑛 8 Matriz Diagonal Matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são nulos 𝐴𝑛𝑥𝑛 e 𝑎𝑖𝑗 0 𝑠𝑒 𝑖 𝑗 Exemplo 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎11 0 0 𝑎22 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 21 9 Matriz Identidade Matriz quadrada com os elementos da diagonal principal todos iguais a 1 e com os elementos fora da diagonal principal iguais a zero Ou seja 𝑎𝑖𝑗 0 𝑠𝑒 𝑖 𝑗 1 𝑠𝑒 𝑖 𝑗 Exemplo 𝐼2 1 0 0 1 Tem a propriedade da Neutralidade na Multiplicação Matricial tal que 𝑰 𝑨 𝑨 Exemplo 1 0 0 1 1 4 5 2 1 4 5 2 10 Matriz Transposta 𝐴 𝑜𝑢 𝐴𝑡 Operação que troca as linhas pelas colunas ou as colunas pelas linhas de uma matriz A Ex01 𝐴 1 2 3 4 5 6 3𝑥2 𝐴 1 3 5 2 4 6 2𝑥3 Ex02 𝐴 2 3 3 5 𝐴 2 3 3 5 Observação quando 𝐴 𝐴 dizemos que 𝐴 é simétrica pois temos 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑖 11 Matriz Inversa 𝑨𝟏 A matriz inversa 𝐴1 de uma matriz quadrada 𝐴 se existir guarda a importante propriedade matricial 𝑨 𝑨𝟏 𝑨𝟏 𝑨 𝑰 Exemplo encontrar pela definição a matriz inversa 𝑨𝟏 dada 𝐴 1 2 0 1 Resolução 𝑨 𝑨𝟏 𝑰 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 22 1 2 0 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1 0 0 1 1 𝑎 2 𝑐 1 1 𝑏 2 𝑑 0 0 𝑎 1 𝑐 0 0 𝑏 1 𝑑 1 𝑐 0 𝑒 𝑑 1 𝑎 1 𝑒 𝑏 2 Portanto 𝑨𝟏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1 2 0 1 Verificando que 𝑨 𝑨𝟏 𝑰 Temos 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 2 0 1 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 Aplicação da Inversa para Resolver Sistemas Lineares 12 Propriedades de Matriz Inversa e Solução de Sistemas Seja 𝐴 𝑥 𝑑 com 𝐴𝑛𝑥𝑛 um sistema de equações lineares descrito por 𝑎11 𝑥1 𝑎12 𝑥2 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 𝑑1 𝑎21 𝑥1 𝑎22 𝑥2 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 𝑑2 𝑎𝑛1 𝑥1 𝑎𝑛2 𝑥2 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 𝑑𝑛 Que pode ser reescrito matricialmente por 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑥𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑛𝑥1 𝑑1 𝑑2 𝑑𝑛 𝑛𝑥1 Se existir 𝑨𝟏 temos que 𝐴 𝑥 𝑑 multiplicando ambos os lados pela inversa 𝑨𝟏 𝐴 𝑥 𝑨𝟏 𝑑 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 23 Mas utilizando as propriedades 𝑨𝟏 𝑨 𝑰 e também que 𝐼 𝑥 𝑥 reescrevemos o sistema por 𝒙 𝑨𝟏 𝒅 Ou seja se existir 𝐴1 temos 𝑨 𝒙 𝒅 𝒙 𝑨𝟏 𝒅 como solução de qualquer sistema linear com 𝑛 equações e 𝑛 variáveis Exemplo 𝑥 2𝑦 5 3𝑦 3 Esse sistema tem uma solução muito simples dada por 𝑦 1 e 𝑥 3 Utilizando o método matricial de resolução pela matriz inversa temos 1 2 0 3 𝑥 𝑦 5 3 Portanto 𝐴 1 2 0 3 Utilizando da definição 𝑨 𝑨𝟏 𝑰 1 2 0 3 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1 0 0 1 1 𝑎 2 𝑐 1 1 𝑏 2 𝑑 0 0 𝑎 3 𝑐 0 0 𝑏 3 𝑑 1 𝑐 0 𝑒 𝑑 1 3 𝑎 1 𝑒 𝑏 2 3 Desse modo 𝑨𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟎 𝟏 𝟑 Calculando a solução do sistema com 𝑨𝟏 temos 𝒙 𝑨𝟏 𝒅 𝒙 𝒚 𝟏 𝟐 𝟑 𝟎 𝟏 𝟑 𝟓 𝟑 𝒙 𝒚 𝟑 𝟏 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 24 Cálculo de Determinantes 13 Determinantes a Matriz 1𝑥1 𝐴 𝑎11 det𝐴 𝑎11 b Matriz 2𝑥2 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 det𝐴 𝑎11 𝑎22 𝑎12 𝑎21 Exemplo 1 5 2 8 8 10 2 c Matriz 3𝑥3 Regra de Sarrus Exemplo01 𝐴 1 0 3 2 1 5 4 1 4 det𝐴 1 0 3 2 1 5 4 1 4 1 0 2 1 4 1 𝐝𝐞𝐭𝑨 4 0 6 12 5 0 𝟕 Exemplo02 𝐴 1 2 3 4 5 6 9 12 15 𝐝𝐞𝐭𝑨 75 108 144 135 72 120 327 327 𝐝𝐞𝐭𝑨 𝟎 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 25 d Matriz 𝒏 𝑥 𝒏 𝑛 4 Regra da Expansão de Laplace ou Teorema de Laplace 𝐝𝐞𝐭𝑨 𝒂𝒊𝒋 𝑪𝒊𝒋 𝒏 𝒊𝟏 𝒐𝒖 𝒋𝟏 Onde 𝐶𝑖𝑗 é a matriz cofatora dada por 𝐶𝑖𝑗 1𝑖𝑗 det𝑀𝑖𝑗 𝑀𝑖𝑗 é o Menor Principal que é a matriz resultante da eliminação da linha 𝑖 e da coluna 𝑗 da matriz principal 𝐴 quando percorrese uma linha ou uma coluna desta matriz 𝐴 Exemplo Determine o 𝐷𝑒𝑡𝐴 3 5 7 1 1 2 4 1 2 2 5 11 1 3 0 2 𝐷𝑒𝑡𝐴 𝟕 𝑪𝟑𝟏 𝟒 𝑪𝟑𝟐 𝟓 𝑪𝟑𝟑 𝟎 𝑪𝟑𝟒 Sendo 𝑪𝟑𝟏 1𝟑𝟏 1 2 1 2 2 3 1 11 2 1 42 33 𝟗 𝑪𝟑𝟐 1𝟑𝟐 3 2 1 5 2 3 1 11 2 𝟐𝟎 𝑪𝟑𝟑 1𝟑𝟑 3 1 1 5 2 3 1 1 2 𝟕 Portanto temos 𝐷𝑒𝑡𝐴 7 9 4 20 5 7 0 𝑫𝒆𝒕𝑨 𝟏𝟎𝟖 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 26 14 Regra de CRAMER Seja 𝐴 𝑥 𝑑 um sistema linear onde 𝐴 é uma matriz quadrada Então a solução do sistema se det 𝐴 0 é dada por 𝑥𝑖 det𝐴𝑖 det 𝐴 Onde 𝐴𝑖 é a matriz resultante da substituição da iésima coluna de 𝐴 pelo vetor 𝑑 Ex01 3𝑥1 4𝑥2 2 𝑥1 2𝑥2 4 𝐴 3 4 1 2 𝐴1 2 4 4 2 𝐴2 3 2 1 4 𝒙𝟏 det𝐴1 det 𝐴 12 2 𝟔 𝒙𝟐 det𝐴2 det 𝐴 10 2 𝟓 Ex02 𝑥1 3𝑥2 0 2𝑥1 5𝑥2 0 𝐴 1 3 2 5 𝐴1 0 3 0 5 𝐴2 1 0 2 0 𝒙𝟏 det𝐴1 det 𝐴 0 1 𝟎 𝒙𝟐 det𝐴2 det 𝐴 0 1 𝟎 Quando 𝑑 0 o sistema é chamado de sistema homogêneo e nesse caso sempre tem pelo menos uma solução trivial 𝑥 0 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 27 Ou seja 1 3 2 5 𝑥1 𝑥2 0 0 Tem solução trivial 𝑥1 𝑥2 0 0 Ex03 Modelo Keynesiano de Determinação da Renda 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝐶 𝑎 𝑏 𝑌 𝑇0 Resolvendo matricialmente 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝑏 𝑌 𝐶 𝑎 𝑏 𝑇0 1 1 𝑏 1 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝑎 𝑏 𝑇0 Portanto 𝐴 𝑥 𝑑 𝐴 1 1 𝑏 1 𝐴1 𝐼0 𝐺0 1 𝑎 𝑏 𝑇0 1 𝐴2 1 𝐼0 𝐺0 𝑏 𝑎 𝑏 𝑇0 𝒀 det𝐴1 det𝐴 𝑰𝟎𝑮𝟎𝒂𝒃𝑻𝟎 𝟏𝒃 𝑪 det𝐴2 det𝐴 𝒂𝒃𝑻𝟎𝒃𝑰𝟎𝑮𝟎 𝟏𝒃 Qual a variação de 𝑌 dado variações em 𝐼0 𝒀 𝑰𝟎 𝟏𝒃 𝐺0𝑎𝑏𝑇0 1𝑏 𝑌 𝐼0 1𝑏 𝒀 𝑰𝟎 𝟏 𝟏𝒃 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 28 Lista03 Resolver 01 Dado 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝐶 25 08 𝑌 𝑇0 a Indique as variáveis endógenas e as exógenas b Represente o sistema matricialmente c Calcule 𝑌 se 𝐼0 100 𝐺0 75 e 𝑇0 100 d Se o Investimento cair para 𝐼0 60 qual será a nova renda de equilíbrio e Se o Investimento subir para 𝐼0 120 qual será a nova renda de equilíbrio f Se os Gastos aumentarem para 𝐺0 95 qual será a nova renda de equilíbrio Respostas c 𝒀 𝟔𝟎𝟎 d 𝒀 𝟒𝟎𝟎 e 𝒀 𝟕𝟎𝟎 f 𝒀 𝟕𝟎𝟎 02 Modelo Keynesiano com Economia Aberta Sejam 𝑿𝟎 nível de exportação e 𝑴𝟎 nível de importação Podese reecrever 𝑌 como 𝒀 𝑪 𝑰𝟎 𝑮𝟎 𝑿𝟎 𝑴 Admitindo um comportamento linear para 𝑀 em função da renda disponível temse 𝑴 𝒖 𝒗 𝒀𝑫 Onde 𝑌𝐷 𝑌 𝑇 Então temos 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝑋0 𝑀 𝐶 𝑎 𝑏 𝑌𝐷 𝑀 𝑢 𝑣 𝑌𝐷 a Quais são as variáveis endógenas e quais são as variáveis exógenas b Escreva matricialmente o problema c Calcule as expressões de 𝑌 e 𝑀 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 29 d Calcule a expressão para 𝒀 𝑰𝟎 Respostas c 𝒀 𝑰𝟎𝑮𝟎𝑿𝟎𝒖𝒗𝑻𝟎𝒂𝒃𝑻𝟎 𝟏𝒃𝒗 𝑴 𝒖𝒗𝑻𝟎𝒗𝒂𝒃𝑻𝟎𝒗𝑰𝟎𝑮𝟎𝑿𝟎𝒃𝒖𝒗𝑻𝟎 𝟏𝒃𝒗 d 𝒀 𝑰𝟎 𝟏 𝟏𝒃𝒗 Lista04 Resolver Matrizes 1 Dada a matriz 4 1 6 9 A encontre sua matriz inversa 1 A utilizando a definição de matriz inversa 2 Determine o valor de x para que a matriz 1 2 0 A x seja igual a sua inversa 3 Quando possível resolva os sistemas a seguir pela utilização da inversa dica comece representando os sistemas na sua forma matricial Axd a 5 4 2 3 5 y x y x b 16 7 2 5 6 y x y x c 2 2 3 2 16 5 3 21 1 2 2 3 1 3 x x x x x x 4 Reescreva cada modelo de equilíbrio de renda nacional dado a seguir no formato matricial Ax d analise a existência e a unicidade do equilíbrio utilizandose da Regra de Cramer e se for o caso determine a renda de equilíbrio a Y C C Y 40 20 50 b aY C C Y 20 50 c Y T T Y C C Y 30 40 20 50 d Y T T a Y C C Y 30 20 50 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 30 Lista05 Resolver 01 Encontre o equilíbrio 𝑃 𝑄 e represente graficamente o seguinte sistema 𝑄𝐷 14 𝑃2 𝑄𝑂 𝑃2 4 02 Escreva os sistemas de equações a seguir na forma matricial 𝐴 𝑥 𝑑 Resolva aplicando a Regra de Cramer 𝑥𝑖 det𝐴𝑖 det 𝐴 a Seja o modelo de Renda Nacional 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺 𝐶 𝑎 𝑏𝑌 𝑇0 𝑎 0 0 𝑏 1 𝐺 𝑔 𝑌 0 𝑔 1 Calcule a expressão do 𝒀 𝑪𝒆 𝑮 b 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝑋0 𝑀 𝐶 20 075𝑌 𝑇0 𝑀 025𝑌 𝑇0 Em que Y representa a renda nacional C representa o consumo agregado I0 o investimento G0 o gasto do governo T0 o nível de tributação X0 o nível de exportações M o nível de importações Calcule o de equilíbrio 𝒀 𝑪 𝒆 𝑴 utilizando a Regra de Cramer Sendo 𝐼0 200 𝐺0 250 𝑋0 150 e 𝑇0 100 Q P UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 31 Análise Econômica parte 02 Cálculo de Matriz Inversa 𝑨𝟏 Se uma matriz 𝐴𝑛𝑥𝑛 tem det 𝐴 0 então é possível calcular a inversa e um modo algébrico de proceder com esse cálculo é dado pela seguinte expressão 𝑨𝟏 𝟏 𝑨 𝑨𝒅𝒋𝑨 Onde a matriz AdjuntaA é dada por 𝑨𝒅𝒋𝑨 𝑪𝒐𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓𝒂𝑨𝒕 E por sua vez a matriz CoFatoraA é dada por elementos 𝒄𝒊𝒋 𝟏𝒊𝒋 𝑴𝒆𝒏𝒐𝒓𝑷𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒍𝒊𝒋 Exemplo01 𝐴 3 2 1 0 calcule 𝐴1 pela expressão da matriz AdjA Resolvendo 𝑐11 111 0 0 𝑐12 112 1 1 𝑐21 121 2 2 𝑐22 122 3 3 Portanto 𝐶 0 1 2 3 e então 𝑨𝒅𝒋𝑨 𝑪𝒕 0 2 1 3 Como temos 𝑨𝟏 𝟏 𝑨 𝑨𝒅𝒋𝑨 e 𝑨 𝟐 Então 𝑨𝟏 1 2 0 2 1 3 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 32 Lista06 resolver Seção 54 02 a b c e d 04 a b c e d 02 Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes a 𝐴 5 2 0 1 b 𝐵 1 0 9 2 c 𝐶 3 7 3 1 d 𝐷 7 6 0 3 04 Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes a 𝐴 4 2 1 7 3 0 2 0 1 b 𝐵 1 1 2 1 0 3 4 0 2 c 𝐶 1 0 0 0 0 1 0 1 0 d 𝐷 1 0 0 0 1 0 0 0 1 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 33 Análise de Estática Comparativa Seja o modelo linear de Oferta e Demanda dado por 𝑄𝐷 𝑎 𝑏 𝑃 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑄𝑆 𝑐 𝑑 𝑃 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 Sendo 𝑎 𝑏 0 𝑐 𝑑 0 Temse como solução 𝑷 𝒂𝒄 𝒃𝒅 Preço de Equilíbrio como função dos parâmetros 𝑸 𝒂𝒅𝒃𝒄 𝒃𝒅 o que exige 𝑎𝑑 𝑏𝑐 para fazer sentido econômico Estática Comparativa Para sabermos como uma variação infinitesimal de um dos parâmetros afetará 𝑃 basta diferenciar parcialmente 𝑃 em relação a cada um dos parâmetros o que nos leva para a mensuração da variação de 𝑃 dado um incremento infinitesimal do parâmetro de interesse Para esse modelo temos 𝑷 𝒂 𝟏 𝒃𝒅 0 variação positiva 𝑷 𝒃 𝒂𝒄 𝒃𝒅𝟐 0 variação negativa 𝑷 𝒄 𝟏 𝒃𝒅 0 variação positiva 𝑷 𝒅 𝒂𝒄 𝒃𝒅𝟐 0 variação negativa a c Q P S D Q P UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 34 Ou seja alterações em 𝑎 𝑒 𝑏 movimentam a curva de Demanda e alterações em 𝑐 𝑒 𝑑 movimentam a curva de Oferta e determinam um novo ponto de equilíbrio Lista07 resolver 01 Seção 75 exercício 01 Encontre a analise o sinal das variações dadas por 𝑄 𝑎 𝑄 𝑏 𝑄 𝑐 e 𝑄 𝑑 02 Encontre o equilíbrio 𝑝 𝑞 do sistema a seguir e calcule 𝑝 𝑦 e 𝑝 𝑘 𝑞𝑑 𝛼 𝛽 𝑝 𝛾 𝑦 𝑞𝑠 𝜆 𝜃 𝑝 𝜀 𝑘 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝛽 𝛾 0 𝑒 𝜃 𝜀 0 Variáveis Endógenas q e p Variáveis Exógenas y e k renda e custo de capital UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 35 03 Encontre o equilíbrio 𝑝 𝑞 do sistema a seguir e calcule 𝑞 𝑦 𝑞 𝑘 𝑝 𝑦 e 𝑝 𝑘 𝑞𝑑 3 2 𝑝 4 𝑦 𝑞𝑠 5 3 𝑝 2 𝑘 Variáveis Endógenas q e p Variáveis Exógenas y e k renda e custo de capital 04 Encontre o equilíbrio 𝑌 𝐶 𝑇 do sistema a seguir e calcule 𝑌 𝑡 𝐶 𝑡 e 𝑇 𝑡 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝐶 𝑐0 𝛽 𝑌 𝑇 𝑇 𝑡 𝑌 𝑐0 0 0 𝛽 1 0 𝑡 1 Modelos de InsumoProduto de Leontief O professor Wassily Leontief foi prêmio Nobel pela solução de Que nível de produto cada uma das n indústrias de uma economia deve produzir de modo que seja exatamente suficiente para satisfazer a demanda total por aquele produto Análise InsumoProduto o produto de qualquer indústria é necessário como insumo de várias outras indústrias Estrutura de um Modelo InsumoProduto Grande número de indústrias Por simplificação adotamos as hipóteses 1 Cada indústria produz apenas uma mercadoria homogênea 02 ou mais mercadorias podem ser pensadas em proporções fixas 2 Cada indústria usa uma razão fixa de insumos ou combinações para a produção de seu produto 3 A produção em todas as indústrias está sujeita a rendimentos constantes de escala 𝑓𝑘 𝑥1 𝑘 𝑥2 𝑘1 𝑓𝑥1 𝑥𝑛 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 36 Observação se uma indústria produz duas mercadorias diferentes ou duas combinações possíveis de fatores então ela pode ser encarada como duas indústrias separadas Para produzir uma unidade da jésima mercadoria as quantidades dos insumos necessários são 𝑎1𝑗 𝑎2𝑗 𝑎𝑛𝑗 Onde temos 𝑎𝑖𝑗 relacionando insumo 𝒊 e produto 𝒋 Modelo Aberto Se além das 𝑛 indústrias o modelo tiver um setor aberto externo ao modelo como por exemplo famílias governo ou países estrangeiros que determine exogenamente uma demanda final ou seja não intermediária pelo produto de cada indústria e que fornece um insumo primário não produzido pelas 𝑛 indústrias então chamamos de modelo aberto Para atender a condição de modelo aberto a soma dos elementos de cada coluna não pode exceder 1 Assim temos 𝑎𝑖𝑗 𝑛 𝑖1 1 para cada 𝑗 1 2 𝑛 𝐼 𝐼𝐼 𝑁 𝐼 𝐼𝐼 𝑁 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑥𝑛 Se a indústria 𝐼 opera a um nível de produção exatamente igual ao necessário para satisfazer as necessidades das 𝑛 indústrias assim como a demanda final do setor aberto então seu nível de produção 𝑥1 deve atender a seguinte condição 𝑥1 𝑎11 𝑥1 𝑎12 𝑥2 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 𝒅𝟏 Onde temos 𝑑1 demanda final pelo produto 𝑥1 𝑎𝑖𝑗 requisição do insumo 𝑖 pela indústria 𝑗 PRODUTO INSUMO UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 37 Para os produtos 𝑥2 a 𝑥𝑛 devemos também impor que 𝑥2 𝑎21 𝑥1 𝑎22 𝑥2 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 𝒅𝟐 𝑥𝑛 𝑎𝑛1 𝑥1 𝑎𝑛2 𝑥2 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 𝒅𝒏 Isso nos leva a 1 𝑎11 𝑥1 𝑎12 𝑥2 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 𝑑1 𝑎21 𝑥1 1 𝑎22 𝑥2 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 𝑑2 𝑎𝑛1 𝑥1 𝑎𝑛2 𝑥2 1 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 𝑑𝑛 Matricialmente temos 1 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 1 𝑎22 𝑎2𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 1 𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑥𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑛𝑥1 𝑑1 𝑑2 𝑑𝑛 𝑛𝑥1 Assim temos que 𝑰 𝑨 𝑥 𝑑 Onde 𝐼 𝐴 é a denominada Matriz de Liontief Se existir a inversa de 𝐼 𝐴 então temos 𝒙 𝑰 𝑨𝟏 𝒅 Exemplo numérico de Matriz InsumoProduto Seja 𝐴 02 03 02 04 01 02 01 03 02 e 𝑑𝑡 10 5 6 Observação lêse por exemplo são necessários U 04 cents da mercadoria 𝐼𝐼 para produzir U 100 da mercadoria 𝐼 Então teremos 𝐼 𝐴 08 03 02 04 09 02 01 03 08 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 38 Como 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝐼 𝐴1 𝑑 Então temos 𝑀𝐼𝐴 𝑀11 𝑀12 𝑀13 𝑀21 𝑀22 𝑀23 𝑀31 𝑀32 𝑀33 𝑀𝐼𝐴 09 02 03 08 04 02 01 08 04 09 01 03 03 02 03 08 08 02 01 08 08 03 01 03 03 02 09 02 08 02 04 02 08 03 04 09 𝑀𝐼𝐴 072 006 032 002 012 009 024 006 064 002 024 003 006 018 016 008 072 012 𝑀𝐼𝐴 066 034 021 030 062 027 024 024 060 𝑴𝑰𝑨 𝒕 066 030 024 034 062 024 021 027 060 𝑪𝒐𝑭𝒂𝒕𝑰 𝑨𝒕 𝟎 𝟔𝟔 𝟎 𝟑𝟎 𝟎 𝟐𝟒 𝟎 𝟑𝟒 𝟎 𝟔𝟐 𝟎 𝟐𝟒 𝟎 𝟐𝟏 𝟎 𝟐𝟕 𝟎 𝟔𝟎 Teremos 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 0384 066 03 024 034 062 024 021 027 060 10 5 6 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 39 Assim temos 𝒙𝟏 1 0384 066 10 030 5 024 6 𝟗 𝟓𝟒 𝟎 𝟑𝟖𝟒 𝟐𝟒 𝟖𝟒 𝒙𝟐 1 0384 034 10 062 5 024 6 𝟕 𝟗𝟒 𝟎 𝟑𝟖𝟒 𝟐𝟎 𝟔𝟖 𝒙𝟑 1 0384 021 10 027 5 060 6 𝟕 𝟎𝟓 𝟎 𝟑𝟖𝟒 𝟏𝟖 𝟑𝟔 Portanto temos 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟐𝟒 𝟖𝟒 𝟐𝟎 𝟔𝟖 𝟏𝟖 𝟑𝟔 bi de dólares Demais conclusões do modelo 1 Como em cada coluna encontramos 𝑎01 1 07 03 𝑎02 1 07 03 𝑎03 1 06 04 Onde 𝑎0𝑗 é a quantidade em dólares do insumo primário utilizado para obter 01 dólar da jésima mercadoria 𝑎01 𝑥1 𝑎02 𝑥2 𝑎03 𝑥3 03 2484 03 2068 04 1836 𝑼𝟐𝟏 𝒃𝒊𝒍𝒉õ𝒆𝒔 Para atender a demanda final 𝒅𝒕 𝟏𝟎 𝟓 𝟔 é necessário como gastos de insumo primário U21 bilhões 2 Se os coeficiente da matriz inversa 𝐼 𝐴1 não forem alterados ou seja se a relação InsumoProduto das 𝑛 indústrias não se alterar podemos testar para qualquer combinação de demanda final 𝑑𝑡 𝑑1 𝑑2 𝑑𝑛 os valores de 𝑥𝑡 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 e assim identificar os gastos com insumos primários UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 40 Análise Dinâmica Dinâmica determinação e estudo das trajetórias temporais específicas das variáveis do modelo Estudase também se dado tempo suficiente essas variáveis tenderão a convergir para certos valores de equilíbrio Na Estática sempre adotamos a hipótese implícita de que o processo de ajustamento econômico conduz inevitavelmente ao equilíbrio Na Dinâmica ao invés de admitirmos a inexistênciaexistência do equilíbrio estudase as trajetórias e condições de convergências ao equilíbrio Tempo Discreto Vs Tempo Contínuo Discreto variável sofre alterações em determinados instantes de tempo de forma enumerável por exemplo mês 1 mês 2 mês n Contínuo variável sofre alterações em cada ponto do tempo por exemplos variável aleatória contínua ou acumulação contínua do capital no tempo Dinâmica e Integração Modelo Estático Achar valores das variáveis endógenas que satisfazem certas condições de equilíbrio específicas Modelo Dinâmico Determinar trajetória temporal de alguma variável com base em algum padrão conhecido de mudança Exemplo Vamos supor que a população H varia ao longo do tempo com a taxa 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝑡1 2 Procurase então a determinação da função que representa a trajetória temporal 𝐻𝑡 que resulta na taxa 𝑑𝐻 𝑑𝑡 Assim tempos 𝐻𝑡 2 𝑡 1 2 𝑐 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 41 E dessa forma para cada 𝐻𝑡 0 ℎ0 temos níveis diferentes da trajetória no instante 𝑡 0 Modelos Contínuos Integrais Equações Diferenciais Modelos Discretos Somatórias Equações a Diferenças Finitas Regras de Integração Integral Indefinida Se 𝑑 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑓𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 Regra I regra da potência 𝒙𝒏𝒅𝒙 𝟏 𝒏𝟏 𝒙𝒏𝟏 𝒄 𝑛 1 Regra II Exponencial 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑐 𝑒𝑢𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑 𝑑𝑥𝑢𝑥 𝑒𝑢𝑥 𝑐 Regra IIa 𝒇𝒙 𝒆𝒇𝒙𝒅𝒙 𝒆𝒇𝒙 𝒄 Regra III Logarítima 1 𝑥 𝑑𝑥 ln𝑥 𝑐 𝑥 0 ou 𝑙𝑛𝑥 𝑐 𝑥 0 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 42 Regra IIIa 𝒇𝒙 𝒇𝒙 𝒅𝒙 𝐥𝐧𝒇𝒙 𝒄 𝒇𝒙 𝟎 ou 𝐥𝐧𝒇𝒙 𝒄 𝒇𝒙 𝟎 Regra IV integral de uma soma 𝑓𝑥 𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑔𝑥𝑑𝑥 Regra V multiplicação escalar 𝑘 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑘 𝑓𝑥𝑑𝑥 Regra VI regra da substituição 𝑓𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑢 𝑑𝑢 𝐹𝑢 𝑐 Observação após resolver a integral fazemos a substituição de 𝑢𝑥 em 𝐹𝑢 Regra VII integral por partes 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑑𝑢 Note que 𝑢 𝑏 𝑎 𝑑𝑣 𝑢 𝑣𝑏 𝑎 𝑣 𝑏 𝑎 𝑑𝑢 Exemplo01 𝑥3 𝑥 1 𝑑𝑥 𝑥4 4 𝑥2 2 𝑥 𝑐 Exemplo02 2 𝑒2𝑥 14𝑥 7𝑥25 𝑑𝑥 𝑒2𝑥 ln7𝑥2 5 𝑐 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 43 Lista08 resolver Seção 142 Seção 143 01 e 02 Seção 142 01 Resolva as seguintes integrais a 16 𝑥3𝑑𝑥 b 9 𝑥8𝑑𝑥 c 𝑥5 3𝑥 𝑑𝑥 d 2 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 e 4𝑥 𝑥21 𝑑𝑥 02 Resolva as seguintes integrais a 13 𝑒𝑥𝑑𝑥 b 3𝑒𝑥 4 𝑥 𝑑𝑥 c 5𝑒𝑥 3 𝑥2 𝑑𝑥 d 3 𝑒2𝑥7 𝑑𝑥 e 4𝑥 𝑒𝑥23 𝑑𝑥 f 𝑥 𝑒𝑥29 𝑑𝑥 03 Resolva as seguintes integrais a 3 𝑥 𝑑𝑥 b 1 𝑥2 𝑑𝑥 c 2𝑥 𝑥23 𝑑𝑥 d 𝑥 3𝑥25 𝑑𝑥 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 44 Integrais Definidas 𝒇𝒙 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 𝑭𝒙𝒃 𝒂 𝑭𝒃 𝑭𝒂 Seção 143 01 Calcule as seguintes integrais a 1 2 3 1 𝑥2𝑑𝑥 b 𝑥 𝑥2 6 1 0 𝑑𝑥 c 3𝑥 3 1 𝑑𝑥 d 𝑥3 6𝑥2 4 2 𝑑𝑥 e 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 1 1 𝑑𝑥 f 𝑥2 1 3 𝑥3 1 2 4 𝑑𝑥 02 Calcule as seguintes integrais a 𝑒2𝑥 2 1 𝑑𝑥 b 1 𝑥2 𝑒2 1 𝑑𝑥 c 𝑒2𝑥 𝑒𝑥 3 2 𝑑𝑥 d 1 𝑥 1 1𝑥 6 𝑒 𝑑𝑥 Integrais Impróprias Quando temos integrais definidas da forma 𝑓𝑥 𝑎 𝑑𝑥 ou 𝑓𝑥 𝑏 𝑑𝑥 ou 𝑓𝑥 𝑑𝑥 Com o limite de integração inferior ou o limite superior ou ambos com o valor INFINITO nos referimos a elas como integrais impróprias UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 45 Não será imprópria se o limite ao INFINITO gerar um valor convergente para a função primitiva que se pretende calcular a integral Exemplo 𝟏 𝒙𝟐 𝟏 𝒅𝒙 1 𝑥 1 0 1 𝟏 Tempo Contínuo Equações Diferenciais de Primeira Ordem Ordem indica a mais alta ordem das derivadas ou diferenciais que aparecem na equação diferencial Uma equação diferencial de 1ª ordem pode conter apenas derivadas primeiras como por exemplo 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem com Termo e Coeficientes Constantes A derivada primeira 𝑑𝑦 𝑑𝑡 é a única que pode figurar em uma EDO equação diferencial ordinária de 1ª ordem porém ela pode estar elevada a qualquer potência como 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑛 A mais alta potência à qual está elevada a derivada na equação determina o grau da Equação Diferencial No caso de aparecer somente 𝑑𝑦 𝑑𝑡 temos apenas primeiro grau Se não ocorrer 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 na equação então temos uma equação linear Uma EDO linear de 1ª ordem assume em sua forma geral 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒖𝒕 𝒚 𝒘𝒕 Onde 𝑢𝑡 e 𝑤𝑡 são funções de 𝑡 tal como 𝑦 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 46 Caso Homogêneo 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒂 𝒚𝒕 𝟎 𝒂 é 𝒄𝒕𝒆 Solução 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒂 𝒚𝒕 Integrando ambos os lados em 𝑡 temos 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒂 𝒚𝒕𝒅𝒕 Como 𝑦 depende de 𝑡 então não podemos determinar a solução da integral em função de 𝑡 sem saber qual é a função Novamente 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒂 𝒚𝒕 𝟏 𝒚𝒕 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒂 Integrando ambos os lados 𝟏 𝒚𝒕 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒂 𝒅𝒕 O que implica em ln𝑦 𝑎 𝑡 𝑐 Portanto 𝑦𝑡 𝑒𝑎𝑡𝑐 𝑦𝑡 𝑒𝐶 𝑒𝑎𝑡 O que nos leva a 𝒚𝒕 𝑨 𝒆𝒂𝒕 Dessa forma sendo 𝑦0 𝐴 𝑦𝑡 𝑦0 𝑒𝑎𝑡 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 47 Portanto 𝑦𝑡 𝐴 𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑦0 𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 Observação é importante notar que as solução de EDO não são um número ou valor mas uma função de 𝑡 tal como 𝑦𝑡 Caso NãoHomogêneo 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒂 𝒚𝒕 𝒃 𝒂 𝒃 𝒔ã𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 A solução deste tipo de equação é a combinação de dois termos 𝒚𝒕 𝒚𝑯𝒕 𝒚𝑷𝒕 𝑦𝐻 solução da parte homogênea 𝑦𝑃 solução particular Como resolvido anteriormente temos 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒂 𝒚𝒕 𝟎 com solução dada por 𝒚𝑯𝒕 𝑨 𝒆𝒂𝒕 A parte não homogênea seguirá o padrão de função dado pela expressão que aparece depois da igualdade na EDO nesse caso uma constante 𝑏 A solução particular 𝑦𝑝𝑡 é simplesmente qualquer solução particular da equação diferencial A forma funcional da solução particular deve ser matematicamente semelhante a parte nãohomogênea da equação diferencial Como a parte não homogênea neste exemplo é dada por 𝑏 propomos então 𝑦𝑃𝑡 𝑘 constante Assim temos 𝑦𝑃𝑡 𝑘 o que implica em 𝑑𝑦𝑡 𝑑𝑡 0 Substituindo na equação temos 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒂 𝒚𝒕 𝒃 0 𝑎 𝑘 𝑏 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 48 Portanto 𝑘 𝑏 𝑎 𝑎 0 o que nos leva a 𝒚𝑷𝒕 𝒃 𝒂 Assim então a solução geral da EDO é dada por 𝒚𝒕 𝑨 𝒆𝒂𝒕 𝒃 𝒂 Substituindo a condição inicial 𝒚𝟎 temos 𝑦0 𝐴 𝑒0 𝑏 𝑎 𝑦0 𝐴 1 𝑏 𝑎 𝑨 𝒚𝟎 𝒃 𝒂 Portanto dada a EDO 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒂 𝒚𝒕 𝒃 𝒄𝒐𝒎 𝒚𝟎 Temos 𝑦𝑡 𝑦𝐻𝑡 𝑦𝑃𝑡 𝒚𝒕 𝒚𝟎 𝒃 𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒃 𝒂 Exemplo01 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝟐𝒚 𝟔 com a condição inicial 𝑦0 10 𝑦𝑡 𝑦0 𝑏 𝑎 𝑒𝑎𝑡 𝑏 𝑎 𝑦𝑡 10 6 2 𝑒2𝑡 6 2 𝒚𝒕 𝟕 𝒆𝟐𝒕 𝟑 Exemplo02 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝟒𝒚 𝟎 com a condição inicial 𝑦0 1 𝑦𝑡 𝑦0 𝑏 𝑎 𝑒𝑎𝑡 𝑏 𝑎 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 49 𝑦𝑡 1 0 𝑒4𝑡 0 𝒚𝒕 𝒆𝟒𝒕 Lista09 resolver Seção 151 01 e 03 01 Encontre 𝑦𝐻 𝑦𝑃 a solução geral e a solução definida e teste a solução encontrada para confirmar sua resposta a 𝑑𝑦 𝑑𝑡 4𝑦 12 𝑦0 2 b 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2𝑦 0 𝑦0 9 c 𝑑𝑦 𝑑𝑡 10𝑦 15 𝑦0 0 d 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 4𝑦 6 𝑦0 3 2 03 Encontre 𝑦𝐻 𝑦𝑃 a solução geral e a solução definida e teste a solução encontrada para confirmar sua resposta a 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 4 𝑦0 0 b 𝑑𝑦 𝑑𝑡 23 𝑦0 1 c 𝑑𝑦 𝑑𝑡 5𝑦 0 𝑦0 6 d 𝑑𝑦 𝑑𝑡 3𝑦 2 𝑦0 4 e 𝑑𝑦 𝑑𝑡 7𝑦 7 𝑦0 7 f 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 6𝑦 5 𝑦0 0 Teste da Solução Uma característica comum a todas as EDOs é o fato de que sua validade de solução pode sempre ser testada por meio da diferenciação e substituição dos fatores correspondentes na equação principal UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 50 Dinâmica do Preço no equilíbrio da oferta e da demanda Suponha a seguinte estrutura de mercado 𝑄𝑑 𝛼 𝛽 𝑃 𝛼 𝛽 0 𝑄𝑠 𝛾 𝛿 𝑃 𝛾 𝛿 0 𝑷 𝜶𝜸 𝜷𝜹 esse resultado é um valor constante positivo Seja um preço inicial dado por 𝑃0 de tal forma que 𝑃0 𝑃 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑃0 𝑃 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑟á 𝑠𝑒 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑟 Trajetória Temporal Vamos super que a taxa de variação de preços em relação ao tempo seja diretamente proporcional ao excesso de demanda 𝑄𝑑 𝑄𝑠 Assim temos 𝒅𝑷 𝒅𝒕 𝒋 𝑸𝒅 𝑸𝒔 𝑐𝑜𝑚 𝑗 0 Esse padrão de variação de preços no tempo implica em 𝑑𝑃 𝑑𝑡 0 𝑄𝑑 𝑄𝑠 Substituindo as expressões de 𝑄𝑑 e 𝑄𝑠 temos que 𝒅𝑷 𝒅𝒕 𝒋 𝑸𝒅 𝑸𝒔 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑗 𝛼 𝛽 𝑃 𝛾 𝛿 𝑃 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑗 𝛼 𝛾 𝑗 𝛽 𝛿 𝑃 Portanto temos a seguinte EDO 𝒅𝑷 𝒅𝒕 𝒋 𝜷 𝜹 𝑷 𝒋 𝜶 𝜸 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 51 Vamos relacionar com o caso 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒂 𝒚𝒕 𝒃 E a sua respectiva solução 𝒚𝒕 𝑨 𝒆𝒂𝒕 𝒃 𝒂 E dada uma condição inicial 𝑦0 assumirá a forma 𝒚𝒕 𝒚𝟎 𝒃 𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒃 𝒂 Desse modo temos que 𝑃𝐻𝑡 𝐴 𝑒𝒋𝜷𝜹𝒕 E 𝑃𝑃𝑡 𝜶 𝜸 𝜷 𝜹 Portanto a solução geral será dada por 𝑃𝑡 𝑃𝐻𝑡 𝑃𝑃𝑡 𝑨 𝒆𝒋𝜷𝜹𝒕 𝜶 𝜸 𝜷 𝜹 Dada uma condição inicial 𝑃0 temos então 𝑃𝑡 𝑷𝟎 𝜶 𝜸 𝜷 𝜹 𝒆𝒋𝜷𝜹𝒕 𝜶 𝜸 𝜷 𝜹 Como no equilíbrio 𝑃 𝛼𝛾 𝛽𝛿 então a equação da dinâmica do Preço no tempo ganha a seguinte forma 𝑷𝒕 𝑷𝟎 𝑷 𝒆𝒌𝒕 𝑷 Onde 𝒌 𝒋 𝜷 𝜹 𝟎 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 52 Graficamente dinâmica do Preço Note que lim 𝑡 𝑃𝑡 lim 𝑡 𝑃0𝑃 𝑒𝑘𝑡 𝑃 0 𝑃 𝑷 Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem com COEFICIENTE VARIÁVEL E TERMO VARIÁVEL Uma EDO linear de 1ª ordem assume em sua forma geral 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒖𝒕 𝒚 𝒘𝒕 Caso Homogêneo 𝒘𝒕 𝟎 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒖𝒕 𝒚 𝟎 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑢𝑡 𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑢𝑡 𝑑𝑡 𝑙𝑛𝑦 𝑐 𝑢𝑡 𝑑𝑡 𝑙𝑛𝑦 𝑐 𝑢𝑡 𝑑𝑡 𝑦𝑡 𝑒𝑐 𝑢𝑡𝑑𝑡 𝒚𝒕 𝑨 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 53 Exemplo 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝟑𝒕𝟐 𝒚 𝟎 𝑑𝑦 𝑑𝑡 3 𝑡2 𝑦 𝑑𝑦 𝑦 3 𝑡2 𝑑𝑡 𝑙𝑛𝑦 3 𝑡3 3 𝑐 𝑦 𝑒𝑡3 𝑒𝑐 𝒚𝒕 𝑨 𝒆𝒕𝟑 Caso NãoHomogêneo e FATOR INTEGRANTE Para todos os casos onde 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒖𝒕 𝒚 𝒘𝒕 Em que 𝑤𝑡 0 podemos determinar um fator integrante dado por FATOR INTEGRANTE 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 Esse fator deve ser utilizado para reescrever o 1º membro da equação diferencial como o resultado da derivada de um produto tal como 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒖𝒕𝒚 𝒘𝒕 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 𝒖𝒕 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕𝒚 𝒘𝒕 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 𝒚 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 𝒘𝒕 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 𝒚 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 𝒄𝟏 𝒘𝒕 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 𝒅𝒕 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 54 Portanto 𝒚𝒕 𝒄𝟐 𝒘𝒕𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒆 𝒖𝒕𝒅𝒕 Exemplo 01 𝑑𝑦 𝑑𝑡 4𝑡 𝑦 4𝑡 Fator Integrante 𝒆 𝟒𝒕𝒅𝒕 𝒆𝟐𝒕𝟐 Multiplicando 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝒆𝟐𝒕𝟐 4𝑡 𝒆𝟐𝒕𝟐 𝑦 4𝑡 𝒆𝟐𝒕𝟐 𝑦 𝒆𝟐𝒕𝟐 4𝑡 𝒆𝟐𝒕𝟐 𝑦 𝒆𝟐𝒕𝟐 𝐾 4𝑡 𝒆𝟐𝒕𝟐 𝑑𝑡 𝑦 𝒆𝟐𝒕𝟐 𝐾 𝒆𝟐𝒕𝟐 𝑦 𝐾 𝒆𝟐𝒕𝟐 𝒆𝟐𝒕𝟐 𝒆𝟐𝒕𝟐 Portanto 𝒚𝒕 𝑲 𝒆𝟐𝒕𝟐 𝟏 Exemplo 02 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2𝑡 𝑦 𝑡 𝑦0 3 2 Fator Integrante 𝒆 𝟐𝒕𝒅𝒕 𝒆 𝟐𝒕𝟐 𝟐 𝒆𝒕𝟐 Multiplicando 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝒆𝒕𝟐 2𝑡 𝒆𝒕𝟐 𝑦 𝑡 𝒆𝒕𝟐 𝑦 𝒆𝒕𝟐 𝑡 𝒆𝒕𝟐 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 55 𝒚 𝒆𝒕𝟐 𝒄𝟏 𝒕 𝒆𝒕𝟐 𝒅𝒕 Resolvendo 𝒕 𝒆𝒕𝟐 𝒅𝒕 por substituição temos que 𝑢 𝑡2 𝑑𝑢 2𝑡 𝑑𝑡 o que implica em 𝒕 𝒆𝒕𝟐 𝒅𝒕 1 2 𝑒u 𝑑𝑡 1 2 𝑒𝑢 𝟏 𝟐 𝒆𝒕𝟐 Voltando na Equação Diferencial temos 𝒚 𝒆𝒕𝟐 𝒄𝟏 𝒕 𝒆𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝒚 𝒆𝒕𝟐 𝒄𝟏 𝟏 𝟐 𝒆𝒕𝟐 𝒄𝟐 𝒚𝒕 𝟏 𝟐𝒆𝒕𝟐𝒄 𝒆𝒕𝟐 𝒚𝒕 𝟏 𝟐 𝒄 𝒆𝒕𝟐 𝟏 𝟐 𝒄 𝒆𝒕𝟐 Substituindo a Condição Inicial 𝑦0 3 2 temos 𝒚𝒕 𝟏 𝟐 𝒄 𝒆𝒕𝟐 3 2 1 2 𝑐 𝑒0 𝑐 3 2 1 2 2 2 𝟏 Portanto 𝒚𝒕 𝟏 𝟐 𝒆𝒕𝟐 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 56 Lista10 resolver Seção 153 01 ao 06 Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem Se for dada a condição inicial defina a constante arbitrária 01 𝑑𝑦 𝑑𝑡 5𝑦 15 02 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2𝑡𝑦 0 03 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2𝑡𝑦 𝑡 𝑦0 3 2 04 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑡2𝑦 5𝑡2 𝑦0 6 05 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 12𝑦 2𝑒𝑡 0 𝑦0 6 7 06 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 𝑡 03 Tipos de Equações Diferenciais Ordinárias e Métodos de Solução EDO Exatas Dado 𝐹𝑦 𝑡 a diferencial total é dada por 𝑑𝐹𝑦 𝑡 𝐹 𝑦 𝑑𝑦 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 EDO Exata implica 𝑑𝐹𝑦 𝑡 0 Em geral uma EDO da forma 𝑀 𝑑𝑦 𝑁 𝑑𝑡 0 é exata se existir 𝑀 𝐹 𝑦 e N 𝐹 𝑡 dado uma função 𝐹𝑦 𝑡 Variáveis Separáveis Se a Equação Diferencial 𝑓𝑦 𝑡 𝑑𝑦 𝑔𝑦 𝑡 𝑑𝑡 0 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 57 Possuir a seguinte conveniência 𝑓𝑦 𝑑𝑦 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 0 Então classificamos esse caso como EDO Separável SOLUÇÃO nesse caso podemos isolar 𝒚 𝒆 𝒅𝒚 no 1º membro e 𝒕 𝒆 𝒅𝒕 no 2º membro da equação para então integrar ambos Equações Redutíveis Se a equação diferencial assumir forma nãolinear devemos procurar transformações de variáveis de forma que a EDO seja resolvida na variável transformada de forma linear Diagrama de FASE Uma informação gráfica qualitativa interessante nos problemas de dinâmica é a obtenção do gráfico 𝑑𝑦 𝑑𝑡 por 𝑦 Essa informação gráfica ilustra a trajetória de equilíbrio que pode nesse sentido ser convergente ou divergente Considere a EDO linear com coeficientes constantes 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒂 𝒚𝒕 𝒃 Sabemos que a solução desta EDO é dada por 𝒚𝒕 𝒚𝟎 𝒃 𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒃 𝒂 Se analisarmos especificamente o sinal de 𝑎 teremos a seguinte conclusão 𝑠𝑒 𝑎 0 𝑦𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑒 𝑎 0 𝑦𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 Pois temos a seguinte análise quando 𝑡 𝑠𝑒 𝑎 0 lim 𝑡 𝒆𝒂𝒕 0 𝑠𝑒 𝑎 0 lim 𝑡 𝒆𝒂𝒕 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 58 Graficamente a análise de 𝑦𝑡 pode ser representada O Diagrama de Fases representa o comportamento do equilíbrio nesse caso Equilíbrio Instável se 𝑎 0 e Equilíbrio Estável se 𝑎 0 Lista11 resolver Seção 156 01 e 02 01 Construa o gráfico da linha de fase diagrama de fase para cada uma das seguintes funções e discuta suas implicações qualitativas a 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 7 b 𝑑𝑦 𝑑𝑡 1 5𝑦 c 𝑑𝑦 𝑑𝑡 4 𝑦 2 d 𝑑𝑦 𝑑𝑡 9𝑦 11 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 59 02 Construa o gráfico da linha de fase diagrama de fase para cada uma das seguintes funções e discuta suas implicações qualitativas a 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 12 16 𝑦 0 b 𝑑𝑦 𝑑𝑡 1 2 𝑦 𝑦2 𝑦 0 Exemplo Diagrama de Fases do Modelo de Solow Dada uma função de produção 𝑄 𝑓𝐾 𝐿 com 𝐾 𝐿 0 temos a regra do produto para definir as condições de equilíbrio dada por 𝐾 𝐿 𝑘 𝑘 𝐿 regra do produto Onde 𝐾 𝑑𝐾 𝑑𝑡 𝑠 𝑄 𝑘 𝐾 𝐿 𝐿 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝜆 𝐿 O que nos leva a Equação Fundamental do Modelo de Crescimento de Solow dado por 𝒌 𝒔 𝝓𝒌 𝝀 𝒌 Ou seja uma Equação Diferencial Ordinária na variável 𝑘 com dois parâmetros 𝑠 e 𝜆 Graficamente temos UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 60 Tempo Discreto Equações a Diferenças Finitas Quando estamos tratando o tempo discreto o valor da variável 𝑦 mudará somente quando a variável 𝑡 mudar de um valor inteiro para o seguinte tal como de 𝑡 1 para 𝑡 2 A variação de 𝑦 no tempo de forma discreta pode ser escrita por Δ𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝑦𝑡 Onde 𝑦𝑡 significa o 𝑦 no tésimo período Exemplos de EDF de primeira ordem são Ex01 Δ𝑦𝑡 2 𝒚𝒕𝟏 𝒚𝒕 𝟐 Ex02 Δ𝑦𝑡 01 𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝑦𝑡 01 𝑦𝑡 𝒚𝒕𝟏 𝟎 𝟗 𝒚𝒕 𝟎 Resolvendo uma EDF de 1ª ordem Método Iterativo Resultados das iterações em diferentes instantes de tempo permitem inferir sobre a trajetória temporal Ex01 𝑦𝑡1 𝑦𝑡 2 𝑦0 15 𝑦1 𝑦0 2 𝑦2 𝑦1 2 𝑦0 2 2 𝑦0 2 2 𝑦3 𝑦2 2 𝑦0 2 2 2 𝑦0 3 2 𝒚𝒕 𝒚𝟎 𝒕 𝟐 Como 𝑦0 15 então temos 𝒚𝒕 𝟏𝟓 𝟐 𝒕 Ex02 𝑦𝑡1 09 𝑦𝑡 𝑦1 09 𝑦0 𝑦2 09 𝑦1 092 𝑦0 𝑦3 09 𝑦2 093 𝑦0 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 61 𝒚𝒕 𝟎 𝟗𝒕 𝒚𝟎 Ex03 𝒎 𝒚𝒕𝟏 𝒏 𝒚𝒕 𝟎 𝑦𝑡1 𝑛 𝑚 𝑦𝑡 Portanto 𝒚𝒕 𝒏 𝒎 𝒕 𝒚𝟎 Uma forma mais geral de expressar esse tipo de solução é dada por 𝒚𝒕 𝑨 𝒃𝒕 Método Geral Suponha que estamos procurando a solução da EDF de 1ªordem 𝒚𝒕𝟏 𝒂 𝒚𝒕 𝒄 Como 𝑎 e 𝑐 são constantes então temos a solução dada por 𝑦𝑡 𝑦𝑡 𝐻 𝑦𝑡 𝑃 Caso Homogêneo A EDF homogênea de 1ª ordem é dada por 𝒚𝒕𝟏 𝒂 𝒚𝒕 𝟎 𝑦𝑡1 𝑎 𝑦𝑡 Portanto 𝒚𝒕 𝑯 𝒂𝒕 𝒚𝟎 Assumindo que a condição inicial é igual a uma constante tal como 𝑦0 𝐴 temos portanto 𝒚𝒕 𝑯 𝑨 𝒂𝒕 Caso NãoHomogêneo Solução Particular A EDF nãohomogênea de 1ª ordem é dada por UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 62 𝒚𝒕𝟏 𝒂 𝒚𝒕 𝒄 Vamos supor que 𝒚𝒕𝟏 𝒌 então 𝒚𝒕 𝒌 também Substituindo temos 𝑘 𝑎 𝑘 𝑐 𝑘 1 𝑎 𝑐 𝒌 𝒄 𝟏𝒂 Caso 𝒂 𝟏 Se ocorrer o caso 𝑎 1 então 𝑘 fica indefinido de forma que tentamos outra solução Suponha que 𝒚𝒕 𝒌 𝒕 então 𝒚𝒕𝟏 𝒌𝒕 𝟏 Substituindo temos 𝒚𝒕𝟏 𝒂 𝒚𝒕 𝒄 𝑘 𝑡 1 𝑎 𝑘 𝑡 𝑐 𝑘 𝑡 1 𝑎 𝑡 𝑐 𝑘 𝑐 𝑡1𝑎𝑡 como 𝑎 1 temos 𝑘 𝑐 Portanto 𝒚𝒕 𝑷 𝒄 𝒕 Assim a solução geral é dada por 𝑦𝑡 𝐴 𝑎𝑡 𝑐 1𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑎 1 𝑦𝑡 𝐴 𝑎𝑡 𝑐 𝑡 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑎 1 Lista12 resolver Seção 172 01 02 e 04 01 Reescreve as seguintes Equações a Diferenças na forma 𝒚𝒕𝟏 𝒂 𝒚𝒕 𝒄 a 𝑦𝑡 7 b 𝑦𝑡 03 𝑦𝑡 c 𝑦𝑡 2 𝑦𝑡 9 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA Centro de Ciências Sociais Aplicadas 63 02 Resolva as seguintes Equações a Diferenças por ITERAÇÃO a 𝑦𝑡1 𝑦𝑡 1 𝑦0 10 b 𝑦𝑡1 𝛼 𝑦𝑡 𝑦0 𝛽 c 𝑦𝑡1 𝛼 𝑦𝑡 𝛽 𝑦𝑡 𝑦0 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡 0 04 Resolva as seguintes Equações a Diferenças a 𝑦𝑡1 3 𝑦𝑡 4 𝑦0 4 b 2𝑦𝑡1 𝑦𝑡 6 𝑦0 7 c 𝑦𝑡1 02 𝑦𝑡 4 𝑦0 4 Tempo Contínuo Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝒂 𝒚𝒕 𝒃 𝒚𝒕 𝒄 𝒚𝒕 𝟎 Caso Homogêneo Raízes da Equação Característica 𝒂 𝒓𝟐 𝒃 𝒓 𝒄 𝟎 Raízes Reais e Distintas 𝑟1 𝑟2 𝒚𝒕 𝑨𝟏 𝒆𝒓𝟏𝒕 𝑨𝟐 𝒆𝒓𝟐𝒕 Raízes Reais Repetidas 𝑟1 𝑟2 𝒚𝒕 𝑨𝟏 𝒆𝒓𝒕 𝑨𝟐 𝐭 𝒆𝐫𝒕 Raízes Complexas 𝑟12 𝑎 𝑏 𝑖 𝒚𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝐜𝐨𝐬𝒃𝒕 𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝒊 𝐬𝐞𝐧𝒃𝒕 Solução Particular Caso tenhamos 𝒂 𝒚𝒕 𝒃 𝒚𝒕 𝒄 𝒚𝒕 𝒘𝒕 então 𝑦𝑡 𝑦𝐻𝑡 𝑦𝑃𝑡 onde a solução particular é dada por uma função 𝑦𝑃𝑡 que possui a mesma forma funcional matemática de 𝑤𝑡