Prova-Algebra-II-Aneis-Subaneis-Ideais-e-Quocientes-em-R

Conteúdo da prova de Álgebra II Anéis e Subanéis Ideais e quocientes em R e R não possui divisores de zero Concluise que x 0 ou y 0 Portanto Z2 é um anel com identidade e sem divisores de zero isto é um domínio de integridade Comentase uma alternativa útil que também evidencia a ausência de divisores de zero Definese o normativo N Z2 Z por Na b2 a2 2b2 Verificase que Nx y Nx Ny Se x y 0 então 0 Nx y Nx Ny em Z Como Z não possui divisores de zero obtémse Nx 0 ou Ny 0 A igualdade a2 2b2 0 implica a b 0 porque 2 não é quadrado em Q Concluise novamente que um dos fatores é nulo Exibe um exemplo ilustrativo de operação interna Para x 3 22 e y 1 2 calculase x y 4 32 e x y 3 22 1 2 3 4 3 1 2 12 7 52 ambos em Z2 como esperado Em seguida analisase o subconjunto B a b2 a b Z a par Z2 Verificase que 0 0 02 B porque 0 é par Verificase o fechamento por subtração Dados x a1 b12 B e y a2 b22 B com a1 a2 pares calculase x y a1 a2 b1 b22 ATENÇÃO Toda atividade deverá ser feita com fonte Arial tamanho 11 espaço de 15 entre as linhas e alinhamento justificado entre as margens Sintetize Aula 1 CURSO Matemática Licenciatura POLO DE APOIO PRESENCIAL Sorocaba SEMESTRE 6a etapa COMPONENTE CURRICULAR TEMA ENAD60006 NOME COMPLETO DO ALUNO Nayma da Luz Santos TIA 22009795 NOME DO PROFESSOR Felipe Albino dos Santos Demonstre que o conjunto Z2 a b2 a b Z com as operações usuais de adição e multiplicação é um domínio de integridade Em seguida verifique se o subconjunto B a b2 a b Z a é par é um subanel de Z2 Estruture sua resposta de forma clara e organizada com justificativas completas para cada passo Utilize exemplos e demonstrações teóricas para embasar seus argumentos Sintetize A1 Será adotada a notação Z2 a b2 a b Z com as operações de R Recordarse que um domínio de integridade é um anel comutativo com identidade e sem divisores de zero Primeira mostrase que Z2 é subanel de R Observase que 0 0 02 Z2 e 1 1 02 Z2 Verificase o fechamento por adição dados x a b2 e y c d2 com a b c d Z calculase x y a c b d2 onde a c Z e b d Z logo x y Z2 Verificase a existência de inverso aditivo pois a b2 a b2 Z2 Verificase o fechamento por multiplicaçãos usando a distributividade em R a b2 c d2 ac ad2 bc2 bd22 ac 2bd ad bc2 Como ac 2bd Z e ad bc Z concluise que o produto pertence a Z2 As propriedades associativa e comutativa de e e as distributivas valem porque são herdadas de R Portanto Z2 é um anel comutativo que contém a identidade 1 Mostrase agora que não há divisores de zero em Z2 Tomese x y Z2 com x y 0 em Z2 A mesma igualdade vale Como a diferença de pares é par e b1 b2 Z então se x y B Verificase o fechamento por multiplicação Para x a1 b12 B e y a2 b22 B temse xy a1a2 2b1b2 a1b2 a2b12 Observase que a1a2 é par por ser produto de pares e que 2b1b2 é par por definição Logo a parte inteira a1a2 2b1b2 é par e a parte de 2 é um inteiro Concluise que xy B Concluise pelo critério do subtotal que B é subtotal de Z2 porque é não vazio está fechado por subtração e por multiplicação e herda as demais leis de anel de Z2 Observase contudo que 1 1 02 B porque 1 não é par Portanto se a definição adotada exigir que subanéis contenham a mesma identidade do anel maior então B é um subanel sem unidade e não é subanel unitário Se a definição não exigir unidade compartilhada a verificação feita é suficiente para afirmar que B é de fato um subanel Explique o conceito de ideal maximal em um anel comutativo com unidade e sua relação com corpos Em sua resposta elabore sobre a definição formal forneça um exemplo concreto de um ideal maximal e demonstre porque o quociente do anel por um ideal maximal é um corpo Estruture sua resposta com clareza organizandoa em introdução desenvolvimento e conclusão Utilize justificativas matemáticas rigorosas para sustentar seus argumentos ATENÇÃO Toda atividade deverá ser feita com fonte Arial tamanho 11 espaço de 15 entre as linhas e alinhamento justificado entre as margens Sintetize A2 CURSO Matemática Licenciatura POLO DE APOIO PRESENCIAL Sorocaba SEMESTRE 6a etapa COMPONENTE CURRICULAR TEMA ENAD60006 NOME COMPLETO DO ALUNO Nayma da Luz Santos TIA 22009795 NOME DO PROFESSOR Felipe Albino dos Santos Sintetize A2 No estudo da Álgebra abstrata há a apresentação de algumas estruturas que possuem algumas propriedades mais interessantes do que simplesmente conjuntos Em geral se vê em primeiro lugar o conceito de grupos e posteriormente a sua generalização mais natural os anéis Um anel é uma tripla R onde R é um conjunto não vazio e os símbolos e denotam operações binárias em R que satisfazem o seguinte I R é um grupo abeliano II é uma operação associativa em R e também satisfaz a propriedade distributiva com respeito a Se a b e c R então ca b ca cb a bc ac bc Um exemplo interessante de anel é adjuntar o número complexo 5 aos inteiros ou seja R Z5 a 5b a b Z é um exercício bem simples mostrar que satisfaz as propriedades de anel vamos nos ocupar com outras propriedades Simo que Z5 é um anel comutativo com unidade pois se a b5 c d5 Z5 então 1 05 1 1 1 a b5 a b5 1 é unidade e a b5 c d5 ac 5bd ad bc 5 c d5 a b5 ac 5bd ad bc 5 e commutativo Vamos verificar que Z 5 é um domínio de integridade tome a b5 Z5 0 e c d5 Z5 como a b5 0 a 0 ou b 0 Suponha que a 0 E considere o seguinte 0 a b5 c d5 ac 5bd ad bc 5 isto é ac 5bd 0 ad bc 0 d 0 c 5bd a1 d bc a1 Assim a b c a1 b 5 b d a1 a1 5bd a1 2 d 1 5 b2 a1 2 0 d 0 c 0 c d5 0 2 Logo Z 5 é um domínio de integridade Com essa informação agora podemos construir o corpo de fração de Z5 Defina S ab ab Z 5 com b 0 e defina a relação em S dada por ab cd se ad bc Não é difícil de verificar que é uma relação de equivalência Denote por K o conjunto de classes de equivalência Denote por K o conjunto de classes de equivalência de S e assim estamos prontos para ab cd ad bc bd ab cd ac bd essas operações estão bem definidas vamos verificar para Sejam a1b1 a2b2 e c1d1 c2d2 queremos mostrar que a1d1 b1 c1 b1 d1 a2 d2 b2 c2 b2 d2 ou equivalentemente a1 d1 b1 c1 b2 d2 b1 d1a2 d2 b2 c2 sabemos que por a1 b2 b1 a2 e c1 d2 d1 c2 assim 3 a1 d1 b1 c1 b2 d2 a1 d1 b2 d2 b1 c1 b2 d2 a1 b2 d1 d2 b1 b2 c1 d2 b1 d1 a2 d2 b2 c2 já para o produto é uma verificação muito semelhante E conhecido que se R Z então K Q aqui também é possível mostrar que R Z 5 K Q 5 logo um elemento de K é da forma com ab Z 5 ab a1 b1 5 c1 d1 5 a1 b1 5 c1 d1 5 c12 5 d12 a1 c1 5 b1 d1 c12 5 d12 5 b1 c1 a1 d1 c12 5 d12 É muito semelhante as operações nos números complexos até porque C R 1 Agora considere o seguinte ideal I 2 1 5 que é primo só chamar a definição além disso temos que Z5 é um domínio de Dedekind ou seja o ideal I é maximal também E portanto Z52 1 5 é um corpo 4 Agora considere a aplicação quociente π Z5 Z52 15 x πx x 2 15 A aplicação quociente é sempre um homomorfismo quando sai de um anel e vai para um corpo O núcleo é dado por Ker π x Z5 πx 2 15 ou seja são os valores x 2 15 Ker π 2 15 Vale notar que π é uma aplicação sobrejetora assim pelo teorema do isomorfismo para anéis temos Z52 15 Imπ Por fim uma aplicação interessante do anel Z5 é como um contraexemplo ou afirmação que todo anel comutativo com unidade é um domínio de fatoração única pois note que 46 Z5 46 135135 Z5 Z5 46 2 23 ⑤