Trabalho de Álgebra 2

ÁLGEBRA II 1 ANÉS E SUBANÉIS Demonstre que o conjunto Z2 a b2 a b Z com as operações usuais de adição e multiplicação é um domínio de integridade Em seguida verifique se o subconjunto B a b2 a b Z a é par é um subanel de Z2 Estruture sua resposta de forma clara e organizada com justificativas completas para cada passo Utilize exemplos e demonstrações teóricas para embasar seus argumentos 2 IDEIAS E QUOCIENTES Detalhes Explique o conceito de ideal maximal em um anel comutativo com unidade e sua relação com corpos Em sua resposta elabore sobre a definição formal forneça um exemplo concreto de um ideal maximal e demonstre porque o quociente do anel por um ideal maximal é um corpo Estruture sua resposta com clareza organizandoa em introdução desenvolvimento e conclusão Utilize justificativas matemáticas rigorosas para sustentar seus argumentos 3 HOMORFISMO DE ANÉIS Detalhes Explique o conceito de ideal maximal em um anel comutativo com unidade e sua relação com corpos Em sua resposta elabore sobre a definição formal forneça um exemplo concreto de um ideal maximal e demonstre porque o quociente do anel por um ideal maximal é um corpo Estruture sua resposta com clareza organizandoa em introdução desenvolvimento e conclusão Utilize justificativas matemáticas rigorosas para sustentar seus argumentos 4 O CORPO DE FRAÇÕES DE UM DOMÍNIO Descreva a construção do corpo de frações de um domínio de integridade e sua relevância dentro da teoria dos anéis Em seu texto explique como os elementos do corpo de frações são formados e demonstre porque essa construção é necessária para obter um corpo a partir de um domínio de integridade Apresente exemplos concretos como a construção do corpo dos números racionais a partir dos inteiros e discuta como essa ideia pode ser generalizada para outros domínios Estruture sua resposta com introdução desenvolvimento e conclusão utilizando linguagem matemática precisa e bem fundamentada Será adotada a notação Z 2ab 2abZ com as operações de R Recordase que um domínio de integridade é um anel comutativo com identidade e sem divisores de zero Primeiro mostrase que Z 2 é subanel de R Observase que 0002 Z 2 e 1102Z 2 Verificase o fechamento por adição dados xab2 e ycd2 com abc dZ calculase x yac bd 2 onde acZ e bdZ logo x yZ 2 Verificase a existência de inverso aditivo pois ab2ab 2Z 2 Verificase o fechamento por multiplicação usando a distributividade em R ab2cd 2acad 2bc 2bd 2 2ac2bd adbc 2 Como ac2bdZ e adbc Z concluise que o produto pertence a Z 2 As propriedades associativa e comutativa de e e as distributivas valem porque são herdadas de R Portanto Z 2 é um anel comutativo que contém a identidade 1 Mostrase agora que não há divisores de zero em Z 2 Tomase x y Z 2 com x y0 em Z 2 A mesma igualdade vale em R e R não possui divisores de zero Concluise que x0 ou y0 Portanto Z 2 é um anel com identidade e sem divisores de zero isto é um domínio de integridade Comentase uma alternativa útil que também evidencia a ausência de divisores de zero Definese o normativo N Z 2Z por N ab2a 22b 2 Verificase que N x y N x N y Se x y0 então 0N x y N x N y em Z Como Z não possui divisores de zero obtémse N x 0 ou N y 0 A igualdade a 22b 20 implica ab0 porque 2 não é quadrado em Q Concluise novamente que um dos fatores é nulo Exibese um exemplo ilustrativo de operação interna Para x322 e y12 calculase x y432e x y3221234 3121275 2 ambos em Z 2 como esperado Em seguida analisase o subconjunto Bab 2a bZ apar Z 2 Verificase que 0002 B porque 0 é par Verificase o fechamento por subtração Dados xa1b12B e ya2b22B com a1 e a2 pares calculase xya1a2b1b22 Como a diferença de pares é par e b1b2Z obtémse xy B Verificase o fechamento por multiplicação Para xa1b12B e ya2b22B temse x ya1a22b1b2a1b2a2b12 Observase que a1a2 é par por ser produto de pares e que 2b1b2 é par por definição Logo a parte inteira a1a22b1b2 é par e a parte de 2 é um inteiro Concluise que x yB Concluise pelo critério de subanel que B é subanel de Z 2 porque é não vazio está fechado por subtração e por multiplicação e herda as demais leis de anel de Z 2 Observase contudo que 1102B porque 1 não é par Portanto se a definição adotada exigir que subanéis contenham a mesma identidade do anel maior então B é um subanel sem unidade e não é subanel unitário Se a definição não exigir unidade compartilhada a verificação feita é suficiente para afirmar que B é de fato um subanel Introdução Considerase um anel comutativo com unidade R Um subconjunto I R é um ideal quando vale que I é subgrupo aditivo de R e para todo r R e x I temse r x I Um ideal próprio é aquele com I R Dizse que um ideal próprio M é maximal quando não existe ideal J satisfazendo M J R O quociente de R por um ideal I é o conjunto R IaI a R com operações aI bI ab I aI bI abI A multiplicação está bem definida porque se aa I e bb I então aba b aa b a bb I usando que I é ideal Desenvolvimento Estabelecese o teorema central que relaciona ideais maximais e corpos em anéis comutativos com unidade Afirmase que se M é maximal em R então RM é corpo Tomase uma classe não nula a M R M o que significa a M Considerase o ideal JM amr am M r R Como a M não pode ocorrer JM A maximalidade de M obriga JR Logo existem m M e r R com mr a1 Passando ao quociente obtémse rM aM r aM1mM 1 M Concluise que rM é o inverso multiplicativo de a M Como toda classe não nula é inversível RM é corpo Afirmase agora o recíproco se RM é corpo então M é maximal Seja J um ideal de R com M J R Pelo teorema da correspondência os ideais de RM são exatamente os quocientes JM com J ideal contendo M Como RM é corpo possui apenas dois ideais 0 e RM Portanto J M 0 ou JMRM No primeiro caso concluise JM No segundo caso concluise JR Não existem ideais estritamente intermediários logo M é maximal Fornecemse exemplos concretos Exemplo em Z Todo ideal de Z é da forma nZ Seja p primo No quociente Z pZ uma classe a0 satisfaz gcd a p 1 Pelo lema de Bézout existem uv Z tais que uav p1 Reduzindo módulo p obtémse ua1 logo toda classe não nula é inversível e Z pZ é corpo Concluise que pZ é maximal Observase que se n é composto então Z nZ não é corpo pois há divisores de zero por exemplo em Z 6Z temse 230 Exemplo em anel de polinômios Considerase RR x e o ideal Mxa com aR Definese a avaliação eva R x R f x f a A aplicação é sobrejetiva pois eva c c para todo c R O núcleo é ker evaxa Pelo primeiro teorema do isomorfismo R x xaR Como R é corpo deduzse que xa é maximal Exemplo por polinômio irredutível Em Fx com F corpo se px é irredutível então px é maximal De fato Fxpx é corpo porque cada classe não nula admite inverso via algoritmo de Euclides polinomial o que retoma o teorema provado Conclusão Em um anel comutativo com unidade a noção de ideal maximal captura precisamente os ideais próprios que não podem ser estritamente aumentados O quociente por um ideal maximal produz um corpo e reciprocamente sempre que um quociente RM for corpo o ideal M é maximal O caso de Z pZ com p primo e o caso de R x xa ilustram concretamente o resultado e mostram como a aritmética modular e a avaliação de polinômios realizam quocientes que são corpos Introdução Considerase R um domínio de integridade isto é um anel comutativo com unidade onde não existem divisores de zero Pretendese construir um corpo K que contenha uma cópia de R e no qual todo elemento não nulo seja inversível generalizando a passagem de Z para Q A construção correta é o corpo de frações de R Essa construção é necessária porque em R em geral elementos não nulos podem não possuir inverso multiplicativo e um corpo é precisamente um anel onde todo elemento não nulo admite inverso Desenvolvimento Descrevese o conjunto de pares ordenados RR 0 as a Rs Rs0 Definese a relação a sbt atb s Mostrase que é uma relação de equivalência A reflexividade vem de a sa s A simetria é clara pela igualdade comutada Para a transitividade suponhase a sbt e bt cu isto é atb s e buc t Multiplicando a primeira por u e a segunda por s obtém se at ub suebu sc t s Igualando os segundos membros e usando a comutatividade concluise at uc s t Como t 0 e R é domínio cancelase t e obtémse auc s isto é a sc s Logo é transitiva Definese o conjunto quociente R R R 0 e escrevese a classe de as sob a forma as A soma e o produto são dados por a s b t atb s s t a s b t ab s t Mostrase que tais operações estão bem definidas Suponhase a sa s e b tb t Assim a s a s e bt b t Para a soma comparase a s b t atb s s t e a s b t a t b s s t Multiplicase cruzado e usase as igualdades dadas at b s s t at s t bs s t a s t t b t s s a t b s st Como st e s t são não nulos em um domínio a equivalência desejada decorre Para o produto usase diretamente a s b t ab st a b s t a s b t pois ab s t as bt a sb ta b s t Logo as operações são bem definidas Identificase 0FracR0 1 e 1Frac R 1 1 O inverso aditivo de as é as pois a s a s asa s ss 0 ss 0 1 Para a0 o inverso multiplicativo de as é sa pois a s s aa s sa1 1 Concluise que Frac R é corpo Todas as leis de anel seguem das de R via as fórmulas anteriores Constróise a imersão canônica i RFrac R dada por iaa1 A aplicação é homomorfismo de anéis pois i ab ab 1 a 1 b 1 i ab ab 1 a 1 b 1 A injetividade decorre do fato de que ia01 implica a101 isto é a101 e portanto a0 Assim R identificase com o subanel i R FracR Apresentase a propriedade universal que caracteriza o corpo de frações Seja K um corpo e uR o K um homomorfismo injetivo Definese uFrac RK u a s u au s 1 A definição faz sentido porque u é injetivo e s0 implica u s 0 logo u s 1 existe em K Verificase que u é bem definida usando o mesmo argumento de cruzamento de produtos agora em K Verificase que u é homomorfismo e que uiu A unicidade decorre do fato de que toda classe as deve ser enviada a u a u s 1 para compatibilizar com u Concluise que Frac R é a menos de isomorfismo único o menor corpo que contém R Justificase por que a hipótese de domínio é essencial A definição das operações usa denominadores st Se R tiver divisores de zero é possível que s0 e t 0 mas st0 tornando inválida a construção Além disso a transitividade da relação sim usa a cancelabilidade de fatores não nulos o que falha quando há divisores de zero Portanto não há uma construção análoga que produza um corpo a partir de um anel com divisores de zero sem antes fatorar esses problemas Apresentamse exemplos concretos Exemplo clássico Tomando RZ obtémse Frac Z Q De fato toda classe pode ser representada como a s com aZ e sZ 0 que é exatamente a noção usual de número racional As operações acima coincidem com as operações usuais de frações O mergulho i Z Q é a a 1 Exemplo algébrico com extensão quadrática Tomando RZ 2 ab2abZ o corpo de frações é Frac Z 2 ab2 n abnZn0rs 2r sQ Q 2 A igualdade à direita verificase porque ab 2 n a nb n 2 tem coeficientes racionais e reciprocamente dado r sQ escolhemse denominadores comuns para escrevêlos como an e bn Exemplo funcional Para um corpo F tomando RFx obtémse Frac F x F x o corpo das funções racionais cujos elementos são frações pxqx com pqF x e q0 As operações são as usuais de frações de polinômios Discussão da generalização por localizações A construção do corpo de frações é um caso particular da localização S 1 R em um subconjunto multiplicativo S R que não contém 0 Escolhendo SR 0 quando R é domínio forçase que todos os elementos não nulos de R tornemse inversíveis em S 1 R A propriedade universal anterior afirma que S 1 R é final entre anéis que recebem R e onde todos os elementos de S ficam inversíveis Quando SR 0 e R é domínio essa localização é precisamente o corpo de frações Conclusão O corpo de frações Frac R de um domínio de integridade R é construído como o quociente das duplas as com s0 pela relação atb s com operações a s b t atb s s t a s b t ab s t o que produz um corpo onde R mergulha via a a 1 A hipótese de domínio garante a boa definição e a cancelabilidade necessária A construção é universal e mínima no sentido de que qualquer homomorfismo injetivo de R para um corpo estendese de maneira única a um homomorfismo do corpo de frações Os exemplos Frac Z QFrac Z 2Q 2 e Frac F x F x ilustram como a ideia se aplica a contextos aritméticos algébricos e funcionais evidenciando a relevância do corpo de frações na teoria de anéis Será adotada a notação 𝑍2 𝑎 𝑏2 𝑎 𝑏 𝑍 com as operações de 𝑅 Recordase que um domínio de integridade é um anel comutativo com identidade e sem divisores de zero Primeiro mostrase que 𝑍2 é subanel de 𝑅 Observase que 0 0 02 𝑍2 e 1 1 02 𝑍2 Verificase o fechamento por adição dados 𝑥 𝑎 𝑏2 e 𝑦 𝑐 𝑑2 com 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑍 calculase 𝑥 𝑦 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑2 onde 𝑎 𝑐 𝑍 e 𝑏 𝑑 𝑍 logo 𝑥 𝑦 𝑍2 Verificase a existência de inverso aditivo pois 𝑎 𝑏2 𝑎 𝑏2 𝑍2 Verificase o fechamento por multiplicação usando a distributividade em 𝑅 𝑎 𝑏2 𝑐 𝑑2 𝑎𝑐 𝑎𝑑2 𝑏𝑐2 𝑏𝑑2 2 𝑎𝑐 2𝑏𝑑 𝑎𝑑 𝑏𝑐2 Como 𝑎𝑐 2𝑏𝑑 𝑍 e 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑍 concluise que o produto pertence a 𝑍2 As propriedades associativa e comutativa de e e as distributivas valem porque são herdadas de 𝑅 Portanto 𝑍2 é um anel comutativo que contém a identidade 1 Mostrase agora que não há divisores de zero em 𝑍2 Tomase 𝑥 𝑦 𝑍2 com 𝑥 𝑦 0 em 𝑍2 A mesma igualdade vale em 𝑅 e 𝑅 não possui divisores de zero Concluise que 𝑥 0 ou 𝑦 0 Portanto 𝑍2 é um anel com identidade e sem divisores de zero isto é um domínio de integridade Comentase uma alternativa útil que também evidencia a ausência de divisores de zero Definese o normativo 𝑁 𝑍2 𝑍 por 𝑁𝑎 𝑏2 𝑎2 2𝑏2 Verificase que 𝑁𝑥 𝑦 𝑁𝑥 𝑁𝑦 Se 𝑥 𝑦 0 então 0 𝑁𝑥 𝑦 𝑁𝑥 𝑁𝑦 em 𝑍 Como 𝑍 não possui divisores de zero obtémse 𝑁𝑥 0 ou 𝑁𝑦 0 A igualdade 𝑎2 2𝑏2 0 implica 𝑎 𝑏 0 porque 2 não é quadrado em 𝑄 Concluise novamente que um dos fatores é nulo Exibese um exemplo ilustrativo de operação interna Para 𝑥 3 22 e 𝑦 1 2 calcula se 𝑥 𝑦 4 32 e 𝑥 𝑦 3 22 1 2 3 4 3 1 2 12 7 52 ambos em 𝑍2 como esperado Em seguida analisase o subconjunto 𝐵 𝑎 𝑏2 𝑎 𝑏 𝑍 𝑎 par 𝑍2 Verificase que 0 0 02 𝐵 porque 0 é par Verificase o fechamento por subtração Dados 𝑥 𝑎1 𝑏12 𝐵 e 𝑦 𝑎2 𝑏22 𝐵 com 𝑎1 e 𝑎2 pares calculase 𝑥 𝑦 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏22 Como a diferença de pares é par e 𝑏1 𝑏2 𝑍 obtémse 𝑥 𝑦 𝐵 Verificase o fechamento por multiplicação Para 𝑥 𝑎1 𝑏12 𝐵 e 𝑦 𝑎2 𝑏22 𝐵 temse 𝑥 𝑦 𝑎1𝑎2 2𝑏1𝑏2 𝑎1𝑏2 𝑎2𝑏12 Observase que 𝑎1𝑎2 é par por ser produto de pares e que 2𝑏1𝑏2 é par por definição Logo a parte inteira 𝑎1𝑎2 2𝑏1𝑏2 é par e a parte de 2 é um inteiro Concluise que 𝑥 𝑦 𝐵 Concluise pelo critério de subanel que B é subanel de 𝑍2 porque é não vazio está fechado por subtração e por multiplicação e herda as demais leis de anel de 𝑍2 Observase contudo que 1 1 02 𝐵 porque 1 não é par Portanto se a definição adotada exigir que subanéis contenham a mesma identidade do anel maior então B é um subanel sem unidade e não é subanel unitário Se a definição não exigir unidade compartilhada a verificação feita é suficiente para afirmar que B é de fato um subanel Introdução Considerase um anel comutativo com unidade R Um subconjunto 𝐼 𝑅 é um ideal quando vale que I é subgrupo aditivo de R e para todo 𝑟 𝑅 e 𝑥 𝐼 temse 𝑟 𝑥 𝐼 Um ideal próprio é aquele com 𝐼 𝑅 Dizse que um ideal próprio M é maximal quando não existe ideal J satisfazendo 𝑀 𝐽 𝑅 O quociente de R por um ideal I é o conjunto 𝑅𝐼 𝑎 𝐼 𝑎 𝑅 com operações 𝑎 𝐼 𝑏 𝐼 𝑎 𝑏 𝐼 𝑎 𝐼 𝑏 𝐼 𝑎𝑏 𝐼 A multiplicação está bem definida porque se 𝑎 𝑎 𝐼 e 𝑏 𝑏 𝐼 então 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝐼 usando que I é ideal Desenvolvimento Estabelecese o teorema central que relaciona ideais maximais e corpos em anéis comutativos com unidade Afirmase que se M é maximal em R então RM é corpo Tomase uma classe não nula 𝑎 𝑀 𝑅𝑀 o que significa 𝑎 𝑀 Considerase o ideal 𝐽 𝑀 𝑎 𝑚 𝑟 𝑎 𝑚 𝑀 𝑟 𝑅 Como 𝑎 𝑀 não pode ocorrer 𝐽 𝑀 A maximalidade de M obriga 𝐽 𝑅 Logo existem 𝑚 𝑀 e 𝑟 𝑅 com 𝑚 𝑟 𝑎 1 Passando ao quociente obtémse 𝑟 𝑀 𝑎 𝑀 𝑟 𝑎 𝑀 1 𝑚 𝑀 1 𝑀 Concluise que 𝑟 𝑀 é o inverso multiplicativo de 𝑎 𝑀 Como toda classe não nula é inversível RM é corpo Afirmase agora o recíproco se RM é corpo então M é maximal Seja J um ideal de R com 𝑀 𝐽 𝑅 Pelo teorema da correspondência os ideais de RM são exatamente os quocientes JM com J ideal contendo M Como RM é corpo possui apenas dois ideais 0 e RM Portanto 𝐽𝑀 0 ou JMRM No primeiro caso concluise JM No segundo caso concluise JR Não existem ideais estritamente intermediários logo M é maximal Fornecemse exemplos concretos Exemplo em 𝑍 Todo ideal de 𝑍 é da forma 𝑛𝑍 Seja p primo No quociente 𝑍𝑝𝑍 uma classe 𝑎 0 satisfaz gcd𝑎 𝑝 1 Pelo lema de Bézout existem 𝑢 𝑣 𝑍 tais que 𝑢 𝑎 𝑣 𝑝 1 Reduzindo módulo p obtémse 𝑢 𝑎 1 logo toda classe não nula é inversível e 𝑍𝑝𝑍 é corpo Concluise que 𝑝𝑍 é maximal Observase que se n é composto então 𝑍𝑛𝑍 não é corpo pois há divisores de zero por exemplo em 𝑍6𝑍 temse 2 3 0 Exemplo em anel de polinômios Considerase 𝑅 𝑅𝑥 e o ideal 𝑀 𝑥 𝑎 com 𝑎 𝑅 Definese a avaliação ev𝑎 𝑅𝑥 𝑅 𝑓𝑥 𝑓𝑎 A aplicação é sobrejetiva pois ev𝑎𝑐 𝑐 para todo 𝑐 𝑅 O núcleo é kerev𝑎 𝑥 𝑎 Pelo primeiro teorema do isomorfismo 𝑅𝑥𝑥 𝑎 𝑅 Como 𝑅 é corpo deduzse que 𝑥 𝑎 é maximal Exemplo por polinômio irredutível Em Fx com F corpo se px é irredutível então px é maximal De fato Fxpx é corpo porque cada classe não nula admite inverso via algoritmo de Euclides polinomial o que retoma o teorema provado Conclusão Em um anel comutativo com unidade a noção de ideal maximal captura precisamente os ideais próprios que não podem ser estritamente aumentados O quociente por um ideal maximal produz um corpo e reciprocamente sempre que um quociente RM for corpo o ideal M é maximal O caso de 𝑍𝑝𝑍 com p primo e o caso de 𝑅𝑥𝑥 𝑎 ilustram concretamente o resultado e mostram como a aritmética modular e a avaliação de polinômios realizam quocientes que são corpos Introdução Considerase R um domínio de integridade isto é um anel comutativo com unidade onde não existem divisores de zero Pretendese construir um corpo K que contenha uma cópia de R e no qual todo elemento não nulo seja inversível generalizando a passagem de 𝑍 para 𝑄 A construção correta é o corpo de frações de R Essa construção é necessária porque em R em geral elementos não nulos podem não possuir inverso multiplicativo e um corpo é precisamente um anel onde todo elemento não nulo admite inverso Desenvolvimento Descrevese o conjunto de pares ordenados 𝑅 𝑅 0 𝑎 𝑠 𝑎 𝑅 𝑠 𝑅 𝑠 0 Definese a relação 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 𝑎 𝑡 𝑏 𝑠 Mostrase que é uma relação de equivalência A reflexividade vem de 𝑎 𝑠 𝑎 𝑠 A simetria é clara pela igualdade comutada Para a transitividade suponhase 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 e 𝑏 𝑡 𝑐 𝑢 isto é 𝑎 𝑡 𝑏 𝑠 e 𝑏 𝑢 𝑐 𝑡 Multiplicando a primeira por u e a segunda por s obtémse 𝑎 𝑡 𝑢 𝑏 𝑠 𝑢 e 𝑏 𝑢 𝑠 𝑐 𝑡 𝑠 Igualando os segundos membros e usando a comutatividade concluise 𝑎 𝑡 𝑢 𝑐 𝑠 𝑡 Como 𝑡 0 e R é domínio cancelase t e obtémse 𝑎 𝑢 𝑐 𝑠 isto é 𝑎 𝑠 𝑐 𝑠 Logo é transitiva Definese o conjunto quociente 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑅 𝑅 𝑅 0 e escrevese a classe de as sob a forma as A soma e o produto são dados por 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 𝑎 𝑡 𝑏 𝑠 𝑠 𝑡 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 Mostrase que tais operações estão bem definidas Suponhase 𝑎𝑠 𝑎𝑠 e 𝑏𝑡 𝑏𝑡 Assim 𝑎 𝑠 𝑎 𝑠 e 𝑏 𝑡 𝑏 𝑡 Para a soma comparase 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 𝑎 𝑡 𝑏 𝑠 𝑠 𝑡 e 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 𝑎 𝑡 𝑏 𝑠 𝑠 𝑡 Multiplicase cruzado e usase as igualdades dadas 𝑎 𝑡 𝑏 𝑠 𝑠 𝑡 𝑎 𝑡 𝑠 𝑡 𝑏 𝑠 𝑠 𝑡 𝑎 𝑠 𝑡 𝑡 𝑏 𝑡 𝑠 𝑠 𝑎 𝑡 𝑏 𝑠 𝑠 𝑡 Como 𝑠 𝑡 e 𝑠 𝑡 são não nulos em um domínio a equivalência desejada decorre Para o produto usase diretamente 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 pois 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 Logo as operações são bem definidas Identificase 0Frac𝑅 01 e 1Frac𝑅 11 O inverso aditivo de as é 𝑎𝑠 pois 𝑎 𝑠 𝑎 𝑠 𝑎 𝑠 𝑎 𝑠 𝑠 𝑠 0 𝑠 𝑠 0 1 Para 𝑎 0 o inverso multiplicativo de as é sa pois 𝑎 𝑠 𝑠 𝑎 𝑎 𝑠 𝑠 𝑎 1 1 Concluise que Frac𝑅 é corpo Todas as leis de anel seguem das de R via as fórmulas anteriores Constróise a imersão canônica 𝑖 𝑅 Frac𝑅 dada por 𝑖𝑎 𝑎1 A aplicação é homomorfismo de anéis pois 𝑖𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 1 𝑎 1 𝑏 1 𝑖𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 1 𝑎 1 𝑏 1 A injetividade decorre do fato de que ia01 implica a101 isto é 𝑎 1 0 1 e portanto a0 Assim R identificase com o subanel 𝑖𝑅 Frac𝑅 Apresentase a propriedade universal que caracteriza o corpo de frações Seja K um corpo e uR o K um homomorfismo injetivo Definese 𝑢Frac𝑅 𝐾 𝑢 𝑎 𝑠 𝑢𝑎 𝑢𝑠1 A definição faz sentido porque u é injetivo e 𝑠 0 implica 𝑢𝑠 0 logo 𝑢𝑠1 existe em K Verificase que 𝑢 é bem definida usando o mesmo argumento de cruzamento de produtos agora em K Verificase que 𝑢 é homomorfismo e que 𝑢 𝑖 𝑢 A unicidade decorre do fato de que toda classe as deve ser enviada a 𝑢𝑎 𝑢𝑠1 para compatibilizar com u Concluise que Frac𝑅 é a menos de isomorfismo único o menor corpo que contém R Justificase por que a hipótese de domínio é essencial A definição das operações usa denominadores 𝑠 𝑡 Se R tiver divisores de zero é possível que 𝑠 0 e 𝑡 0 mas 𝑠 𝑡 0 tornando inválida a construção Além disso a transitividade da relação sim usa a cancelabilidade de fatores não nulos o que falha quando há divisores de zero Portanto não há uma construção análoga que produza um corpo a partir de um anel com divisores de zero sem antes fatorar esses problemas Apresentamse exemplos concretos Exemplo clássico Tomando 𝑅 𝑍 obtémse Frac𝑍 𝑄 De fato toda classe pode ser representada como 𝑎 𝑠 com 𝑎 𝑍 e 𝑠 𝑍 0 que é exatamente a noção usual de número racional As operações acima coincidem com as operações usuais de frações O mergulho 𝑖 𝑍 𝑄 é 𝑎 𝑎1 Exemplo algébrico com extensão quadrática Tomando 𝑅 𝑍2 𝑎 𝑏2 𝑎 𝑏 𝑍 o corpo de frações é Frac𝑍2 𝑎 𝑏2 𝑛 𝑎 𝑏 𝑛 𝑍 𝑛 0 𝑟 𝑠2 𝑟 𝑠 𝑄 𝑄2 A igualdade à direita verificase porque 𝑎𝑏2 𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛2 tem coeficientes racionais e reciprocamente dado 𝑟 𝑠 𝑄 escolhemse denominadores comuns para escrevêlos como an e bn Exemplo funcional Para um corpo F tomando RFx obtémse Frac𝐹𝑥 𝐹𝑥 o corpo das funções racionais cujos elementos são frações pxqx com 𝑝 𝑞 𝐹𝑥 e 𝑞 0 As operações são as usuais de frações de polinômios Discussão da generalização por localizações A construção do corpo de frações é um caso particular da localização 𝑆1𝑅 em um subconjunto multiplicativo 𝑆 𝑅 que não contém 0 Escolhendo 𝑆 𝑅 0 quando R é domínio forçase que todos os elementos não nulos de R tornemse inversíveis em 𝑆1𝑅 A propriedade universal anterior afirma que 𝑆1𝑅 é final entre anéis que recebem R e onde todos os elementos de S ficam inversíveis Quando 𝑆 𝑅 0 e R é domínio essa localização é precisamente o corpo de frações Conclusão O corpo de frações Frac𝑅 de um domínio de integridade R é construído como o quociente das duplas as com 𝑠 0 pela relação 𝑎 𝑡 𝑏 𝑠 com operações 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 𝑎 𝑡 𝑏 𝑠 𝑠 𝑡 𝑎 𝑠 𝑏 𝑡 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 o que produz um corpo onde R mergulha via 𝑎 𝑎1 A hipótese de domínio garante a boa definição e a cancelabilidade necessária A construção é universal e mínima no sentido de que qualquer homomorfismo injetivo de R para um corpo estendese de maneira única a um homomorfismo do corpo de frações Os exemplos Frac𝑍 𝑄Frac𝑍2 𝑄2 e Frac𝐹𝑥 𝐹𝑥 ilustram como a ideia se aplica a contextos aritméticos algébricos e funcionais evidenciando a relevância do corpo de frações na teoria de anéis