Trabalho de Álgebra

Trabalho de Álgebra II Explique o conceito de homomorfismo de anéis e sua importância na estrutura algébrica dos anéis Em seu texto trate das propriedades fundamentais dos homomorfismos como preservação da adição e multiplicação e discuta o papel do núcleo e da imagem na caracterização desses mapeamentos Além disso forneça exemplos concretos de homomorfismos entre anéis conhecidos e analise sua injectividade e sobrejectividade Estruture sua resposta com introdução desenvolvimento e conclusão garantindo clareza na argumentação e uso correto da terminologia matemática Descrição da atividade Elabore um texto analíticodemonstrativo que integre os conceitos estudados ao longo do curso de Álgebra II Para isso siga as etapas abaixo garantindo clareza rigor matemático e aplicação prática dos tópicos Utilize exemplos demonstrações e referências teóricas para embasar sua resposta Etapas a serem desenvolvidas 1 Contextualização e definição de um anel Escolha um anel não trivial por exemplo ℤ2 ℤi kx ou outro de sua preferência que seja um domínio de integridade Descreva suas propriedades comutatividade existência de unidade presença de divisores de zero Justifique por qual razão tratase de um domínio de integridade 2 Construção do corpo de frações Construa seu corpo de frações Defina a relação de equivalência para os pares ordenados e demonstre que as operações de adição e multiplicação estão bem definidas Dê exemplos de elementos no corpo de frações e mostre como simplificálos exemplo racionalização no caso de ℤ2 3 Análise de ideais e anéis quociente Identifique um ideal próprio no anel original exemplo ideal principal gerado por um elemento Mostre se esse ideal é maximal ou não Construa o anel quociente correspondente e verifique se ele é um corpo use o Teorema 3 da Aula 2 4 Homomorfismos e conexões entre estruturas Defina um homomorfismo de anéis exemplo projeção canônica π A AJ Determine o núcleo do homomorfismo e relacioneo com o ideal analisado na etapa anterior Aplique o Teorema do Isomorfismo para mostrar a relação entre ANf e Imf 5 Aplicação prática ou contextualização histórica Escolha uma aplicação real ou um problema matemático que utilize as estruturas estudadas ilustrar operações exemplo classes em um anel quociente Resumindo Esperase um texto analítico bem estruturado que demonstre compreensão profunda da álgebra abstrata usando exemplos específicos para unir teoria e prática com rigor matemático e clareza explicativa exemplo criptografia com corpos finitos teoria de códigos com anéis quociente ou resolução de equações diofantinas Explique brevemente como os conceitos do curso são essenciais para resolver o problema No estudo da álgebra abstrata há lá apresentação de algumas estruturas que possuem algumas propriedades mais interessantes do que simplesmente conjuntos Em geral se vê em primeiro lugar o conceito de grupos e posteriormente a sua generalização mais natural os anéis Um anel é uma tripla R onde R é um conjunto não vazio e os símbolos e denotam operações binárias em R que satisfazem o seguinte I R é um grupo abeliano II é uma operação associativa em R e também satisfaz a propriedade distributiva com respeito a Se abc R então ca b ca cb a bc ac bc Um exemplo interessante de anel é adjuntar o número complexo 5 aos inteiros ou seja R ℤ5 a b5 ab ℤ é um exercício bem simples mostrar que satisfaz as propriedades do anel vamos nos ocupar com outras propriedades Temos que ℤ5 é um anel comutativo com unidade pois se a b5 c d5 ℤ5 então 1 05 1 1a b5 a b5 1 é unidade e a b5c d5 ac 5bd ad bc5 c d5a b5 ac 5bd ad bc5 e comutativo Vamos verificar que ℤ5 é um domínio de integridade tome a b5 ℤ50 e c d5 ℤ5 como a b5 0 a 0 ou b 0 Suponha que a 0 E considere o seguinte 0 a b5c d5 ac 5bd ad bc5 isto é ac 5bd 0 ad bc 0 d 0 c 5b d bca1 a1 assim d bca1 b5 bda1a1 5 b 2 d a1 2 d 1 5 b 2 a1 2 0 d 0 c 0 c d5 0 Logo ℤ5 é um domínio de integridade com esta informação agora podemos construir o corpo de frações de ℤ5 Defina S ab ab ℤ5 com b 0 e defina a relação em S dada por ab cd se ad bc não é difícil de verificar que é uma relação de equivalência Dendo por K o conjunto de classes de equivalência de S assim estamos prontos para definir as operações em K se ab cd K então ab cd ad bc bd abcd ac bd essas operações estão bem definidas vamos verificar para Sejam a1b1 a2b2 e c1d1 c2d2 R queremos mostrar que a1d1 b1c1 b1d1 a2d2 b2c2 b2d2 ou equivalentemente a1d1 b1c1 b2d2 b1d1 a2d2 b2c2 Sabemos que por R a2b2 0 e c1d2 d1c2 assim a1d1 b1c1 b2d2 a1d1b2d2 b1c1b2d2 a1b2d1d2 b1b2c1d2 b1d1 a2d2 b2c2 Já para o produto é uma verificação muito semelhante É conhecido que se RZ então KQ aqui também é possível mostrar que RZ5 KQ5 Logo um elemento de K é da forma com ab Z5 ab a1 b15c1 d15 a1 b15c1 d15c12 5d12 a1c1 5b1d1c12 5d12 5b1c1 a1d1c12 5d12 É muito semelhante as operações nos números complexos até porque CR1 Agora considere o seguinte ideal I 2 1 5 que é primo só deixar a definição e além disso temos que Z5 é um domínio de Dedekind ou seja o ideal I é maximal também e portanto Z52 1 5 é um corpo Agora considere a aplicação quociente 1π Z5 Z52 1 5 x πx x 2 1 5 a aplicação quociente é sempre um homomorfismo quando sai de um anel e vai para um corpo O núcleo é dado por Ker π x Z5 πx 2 1 5 ou seja são os valores x 2 1 5 Ker π 21 5 Vale notar aqui que π é uma aplicação sobrejetora assim pelo teorema do isomorfismo para anéis temos Z521 5 Imπ Por fim é uma aplicação interessante do anel Z5 e é como um contra exemplo da afirmação que todo anel comutativo com unidade é um domínio de fatoração única pois note que 46 Z5 e 46 2 23 46 1 351 35