Classes Laterais S3 H Determinação e Descrição de Subgrupos

Classes Laterais 8 Determine S3 H onde H f e f 1 2 3 2 3 1 9 Considere o produto direto Z4 x Z3 i Descreva o subgrupo H 2 1 ii Determine todas as classes laterais à esquerda de H e calcule Z4 x Z3 H 10 Um grupo de ordem 280 pode ter elemento de ordem 11 11 Determine todos os subgrupos do grupo diedral D6 12 Determine todos os subgrupos de Z43 13 Mostre que se H e K são subgrupos de um grupo finito G tais que mdcH K 1 então H K e 14 Suponha que G seja um grupo com um subgrupo H tal que H 6 G H 4 e G 50 Quais são as possibilidades para G 15 Suponha que G seja um grupo com um subgrupo H tal que G 45 H 10 e G H 3 Determine G H e G H Subgrupos normais e grupos quocientes 16 Encontre em D8 subgrupos H e K tais que H é normal em K K é normal em D8 mas H não é normal em D8 17 Mostre que se H e K são subgrupos normais de um grupo multiplicativo G então H K é também um subgrupo normal de G 18 Construa a tábua do grupo quociente GN onde a G Z x Z e N 4Z x 2Z b G Z4 x Z3 e N 2 1 19 Mostre que se G é um grupo abeliano e N é um subgrupo normal de G então o grupo quociente GN é também abeliano 1 Construa a tabela de Cayley do produto direto Z2 x D6 2 Construa os seguintes subgrupos i 2 em Q iii 3 em Z7 ii 2 em R 3 Seja G um grupo Mostre que se a é um elemento de G tal que a e então oa 2 se e somente se a a¹ 4 Seja G um grupo multiplicativo e sejam a e b elementos de G Mostre que a Se a e b comutam então bⁿa abⁿ para todo inteiro n 1 b Se a e b comutam então abᵏ aᵏbᵏ para todo k 1 5 Dê um exemplo de um grupo e de elementos a e b de ordem finita tais que oab é finita mdcoa ob 1 mas oab oaob 6 Verifique que no grupo GL₂ℝ o grupo multiplicativo das matrizes 2 x 2 inversíveis com entradas reais os elementos a 0 1 1 0 e b 0 1 1 1 têm ordem finita mas a ordem de ab é infinita 7 Seja G um grupo Dados a g G mostre que i se a tem ordem finita n então oa¹ n ii se a tem ordem infinita então a¹ tem ordem infinita Classes Laterais 8 Determine S3 H onde H f e f 1 2 3 2 3 1 9 Considere o produto direto Z4 x Z3 i Descreva o subgrupo H 2 1 ii Determine todas as classes laterais à esquerda de H e calcule Z4 x Z3 H 10 Um grupo de ordem 280 pode ter elemento de ordem 11 11 Determine todos os subgrupos do grupo diedral D6 12 Determine todos os subgrupos de Z43 13 Mostre que se H e K são subgrupos de um grupo finito G tais que mdcH K 1 então H K e 14 Suponha que G seja um grupo com um subgrupo H tal que H 6 G H 4 e G 50 Quais são as possibilidades para G 15 Suponha que G seja um grupo com um subgrupo H tal que G 45 H 10 e G H 3 Determine G H e G H Subgrupos normais e grupos quocientes 16 Encontre em D8 subgrupos H e K tais que H é normal em K K é normal em D8 mas H não é normal em D8 17 Mostre que se H e K são subgrupos normais de um grupo multiplicativo G então H K é também um subgrupo normal de G 18 Construa a tábua do grupo quociente GN onde a G Z x Z e N 4Z x 2Z b G Z4 x Z3 e N 2 1 19 Mostre que se G é um grupo abeliano e N é um subgrupo normal de G então o grupo quociente GN é também abeliano