10 Exercícios

Universidade Regional Integrada URI Disciplina de Mecânica dos Sólidos II Lista de Exercícios de Revisão 1 Determine a declividade nos ponto B e C da viga mostrada na Figura 1 com EI constante Resposta 𝜃𝐵 3𝑃𝐿2 8𝐸𝐼 𝜃𝐶 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼 Figura 1 2 Determine a declividade no ponto C da viga mostrada na Figura 2 com EI constante Resposta 𝜃𝐶 3𝑃𝐿2 64𝐸𝐼 Figura 2 3 Determine a deflexão dos pontos B e C da viga mostrada na Figura 3 com EI constante Resposta 𝑌𝐵 𝑀𝑜𝐿2 8𝐸𝐼 𝑌𝐶 𝑀𝑜𝐿2 2𝐸𝐼 Figura 3 4 Determine a declividade e a deflexão em D para a viga e o carregamento mostrados na Fig 1 sabendo que a rigidez à flexão da viga é EI 100 MNm2 Resposta 𝜃𝐷 5933𝑥103𝑟𝑎𝑑 𝑌𝐷 166𝑚𝑚 Figura 4 Universidade Regional Integrada URI Disciplina de Mecânica dos Sólidos II 5 Para a viga uniforme e o carregamento mostrado na Figura 2 determine a reação em cada apoio Resposta 𝑅𝐵 0688𝑊𝐿 𝑅𝐶 00413𝑊𝐿 𝑅𝐴 02707𝑊𝐿 Figura 5 6 Para a viga e o carregamento mostrados na Figura 3 determine a declividade e a deflexão no ponto B Resposta 𝜃𝐵 7𝑊𝐿3 48𝐸𝐼 𝑌𝐵 41𝑊𝐿4 384𝐸𝐼 Figura 6 7 Determine a deflexão no ponto C e a declividade no apoio A da viga mostrada na figura 4 considerando EI constante Resposta 𝜃𝐴 56𝑘𝑁𝑚2 𝐸𝐼 𝑌𝐶 139𝑘𝑁𝑚3 𝐸𝐼 Figura 7 8 Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento de seção transversal quadrada deve ser feita de madeira Considerando que E 13 GPa 𝜎adm 12 MPa e usando um coeficiente de segurança de 25 ao calcular a força crítica de Euler para a flambagem determine a dimensão da seção transversal se a coluna deve suportar com segurança uma força de 200 kN Resposta 𝑅 𝑎 130𝑚𝑚 Universidade Regional Integrada URI Disciplina de Mecânica dos Sólidos II 9 Um tudo de aço com 72m de comprimento e a seção transversal mostrada na Figura 2 deve ser usado como uma coluna presa por pinos na extremidade Determine a carga axial admissível máxima que a coluna pode suportar sem sofrer flambagem Considere E 200 GPa e 𝜎𝑒250 MPa Resposta 𝑃𝑐𝑟 2282 𝑘𝑁 𝜎𝑐𝑟 1002 𝑀𝑃𝑎 Figura 9 10 Uma força axial P é aplicada à barra quadrada BC de alumínio com 32 mm de lado Quando P 24kN a deflexão horizontal em c é de 4mm Para E 70GPa determine a a excentricidade da força b a tensão máxima na barra Resposta 𝑎 𝑒 1552𝑚𝑚 𝑏 𝜎𝑚á𝑥 478𝑀𝑃𝑎 Figura 10 1 Primeiro vamos determinar as reações no engaste em A 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 𝑃𝐿 0 𝑀𝐴 𝑃𝐿 Aplicando o somatório das forças em y 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 𝑃 0 𝐴𝑦 𝑃 Vamos determinar a equação para o momento fletor utilizando o método da função singular 𝑀𝑥 𝑃𝐿 𝑥 0 0 𝑃 𝑥 0 1 Aplicando o método da integração dupla 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝜃 𝑃𝐿 𝑥 0 1 𝑃 2 𝑥 0 2 𝐶1 Vamos aplicar a seguinte condição de contorno para determinar a constante de integração 𝑥 0 𝜃 0 Temos o seguinte 0 𝑃𝐿 0 0 1 𝑃 2 0 0 2 𝐶1 𝐶1 0 Portanto a equação da declividade será 𝐸𝐼𝜃 𝑃𝐿 𝑥 0 1 𝑃 2 𝑥 0 2 Vamos calcular a declividade no ponto B 𝐸𝐼𝜃𝐵 𝑃𝐿 𝐿 2 0 1 𝑃 2 𝐿 2 0 2 𝐸𝐼𝜃𝐵 𝑃𝐿2 2 𝑃𝐿2 8 𝐸𝐼𝜃𝐵 3𝑃𝐿2 8 𝜃𝐵 3𝑃𝐿2 8𝐸𝐼 Agora vamos calcular a declividade no ponto C 𝐸𝐼𝜃𝐶 𝑃𝐿 𝐿 0 1 𝑃 2 𝐿 0 2 𝐸𝐼𝜃𝐶 𝑃𝐿2 𝑃𝐿2 2 𝐸𝐼𝜃𝐶 𝑃𝐿2 2 𝜃𝐶 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼 2 Primeiro vamos determinar a reação vertical no apoio em A 𝑀𝐵 0 𝑃𝐿 2 𝐴𝑦𝐿 0 𝐴𝑦𝐿 𝑃𝐿 2 𝐴𝑦 𝑃 2 Agora vamos escrever a equação para o momento fletor 𝑀𝑥 𝑃 2 𝑥 0 1 𝑃 𝑥 𝐿 2 1 Aplicando a equação diferencial da linha elástica 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝜃 𝑃 4 𝑥 0 2 𝑃 2 𝑥 𝐿 2 2 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 𝑃 12 𝑥 0 3 𝑃 6 𝑥 𝐿 2 3 𝐶1𝑥 𝐶2 Para determinar as constantes de integração temos as seguintes condição de contorno 𝑥 0 𝑦 0 𝑥 𝐿 𝑦 0 Aplicando a primeira condição de contorno 0 𝑃 12 0 0 3 𝑃 6 0 𝐿 2 3 𝐶1 0 𝐶2 𝐶2 0 Aplicando a segunda condição de contorno 0 𝑃 12 𝐿 0 3 𝑃 6 𝐿 𝐿 2 3 𝐶1𝐿 0 𝑃𝐿3 12 𝑃𝐿3 48 𝐶1𝐿 0 𝑃𝐿3 16 𝐶1𝐿 𝐶1𝐿 𝑃𝐿3 16 𝐶1 𝑃𝐿2 16 Portanto a equação para a declividade ficará da seguinte forma 𝐸𝐼𝜃 𝑃 4 𝑥 0 2 𝑃 2 𝑥 𝐿 2 2 𝑃𝐿2 16 Calculando então a declividade do ponto C 𝐸𝐼𝜃𝐶 𝑃 4 3 4 𝐿 0 2 𝑃 2 3 4 𝐿 𝐿 2 2 𝑃𝐿2 16 𝐸𝐼𝜃𝐶 9𝑃𝐿2 64 𝑃𝐿2 32 𝑃𝐿2 16 𝐸𝐼𝜃𝐶 3𝑃𝐿2 64 𝜃𝐶 3𝑃𝐿2 64𝐸𝐼 3 Primeiro vamos determinar a reação no engaste em A 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 𝑀0 0 𝑀𝐴 𝑀0 Vamos determinar a equação para o momento fletor utilizando o método da função singular 𝑀𝑥 𝑀0 𝑥 0 0 Aplicando a equação diferencial da linha elástica 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝜃 𝑀0 𝑥 0 1 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 𝑀0 2 𝑥 0 2 𝐶1𝑥 𝐶2 Para determinar as constantes de integração temos as seguintes condição de contorno 𝑥 0 𝜃 0 𝑥 0 𝑦 0 Aplicando a primeira condição de contorno 0 𝑀0 0 0 1 𝐶1 𝐶1 0 Aplicando a segunda condição de contorno 0 𝑀0 2 0 0 2 𝐶2 𝐶2 0 Portanto a equação para a deflexão ficará da seguinte forma 𝐸𝐼𝑦 𝑀0 2 𝑥 0 2 Vamos calcular a deflexão no ponto B 𝐸𝐼𝑦𝐵 𝑀0 2 𝐿 2 0 2 𝐸𝐼𝑦𝐵 𝑀0𝐿2 8 𝑦𝐵 𝑀0𝐿2 8𝐸𝐼 Agora vamos calcular a deflexão em C 𝐸𝐼𝑦𝐶 𝑀0 2 𝐿 0 2 𝐸𝐼𝑦𝐶 𝑀0𝐿2 2 𝑦𝐶 𝑀0𝐿2 2𝐸𝐼 4 Primeiro vamos determinar a reação vertical no apoio em A 𝑀𝐵 0 8 20 4 6 150 8𝐴𝑦 0 640 900 8𝐴𝑦 8𝐴𝑦 1540 𝐴𝑦 1925 𝑘𝑁 Agora vamos escrever a equação para o momento fletor 𝑀𝑥 1925 𝑥 0 1 150 𝑥 2 1 10 𝑥 0 2 Aplicando a equação diferencial da linha elástica 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝜃 9625 𝑥 0 2 75 𝑥 2 2 10 3 𝑥 0 3 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 9625 3 𝑥 0 3 25 𝑥 2 3 5 6 𝑥 0 4 𝐶1𝑥 𝐶2 Para determinar as constantes de integração temos as seguintes condição de contorno 𝑥 0 𝑦 0 𝑥 8 𝑦 0 Aplicando a primeira condição de contorno 0 9625 3 0 0 3 25 0 2 3 5 6 0 0 4 𝐶1 0 𝐶2 𝐶2 0 Aplicando a segunda condição de contorno 0 9625 3 8 0 3 25 8 2 3 5 6 8 0 4 8𝐶1 0 49280 3 5400 20480 6 8𝐶1 8𝐶1 5400 20480 6 49280 3 8𝐶1 761333 𝐶1 95167 A equação da declividade ficará da seguinte forma 𝐸𝐼𝜃 9625 𝑥 0 2 75 𝑥 2 2 10 3 𝑥 0 3 95167 E a equação da deflexão será 𝐸𝐼𝑦 9625 3 𝑥 0 3 25 𝑥 2 3 5 6 𝑥 0 4 95167𝑥 Calculando a declividade no ponto D 𝐸𝐼𝜃𝐷 9625 2 0 2 75 2 2 2 10 3 2 0 3 95167 𝐸𝐼𝜃𝐷 385 80 3 95167 𝐸𝐼𝜃𝐷 59333 103 𝜃𝐷 59333 103 100 106 𝜃𝐷 5933 103 𝑟𝑎𝑑 Calculando a deflexão no ponto D 𝐸𝐼𝑦𝐷 9625 3 2 0 3 25 2 2 3 5 6 2 0 4 95167 2 𝐸𝐼𝑦𝐷 770 3 80 6 190333 𝐸𝐼𝑦𝐷 1660 103 𝑦𝐷 1660 103 100 106 𝑦𝐷 00166 𝑚 𝑦𝐷 166 𝑚𝑚 5 Primeiro vamos aplicar as equações de equilíbrio 𝑀𝐶 0 𝐿 3 𝑅𝐵 𝐿𝑅𝐴 𝑤𝐿2 2 0 𝐿𝑅𝐴 𝐿 3 𝑅𝐵 𝑤𝐿2 2 𝑅𝐴 1 3 𝑅𝐵 𝑤𝐿 2 Aplicando o somatório das forças em y 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑅𝐶 𝑤𝐿 0 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑅𝐶 𝑤𝐿 Vamos escrever a equação para o momento fletor 𝑀𝑥 𝑅𝐴 𝑥 0 1 𝑅𝐵 𝑥 2 3 𝐿 1 𝑤 2 𝑥 0 2 Aplicando a equação diferencial da linha elástica 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝜃 𝑅𝐴 2 𝑥 0 2 𝑅𝐵 2 𝑥 2 3 𝐿 2 𝑤 6 𝑥 0 3 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 𝑅𝐴 6 𝑥 0 3 𝑅𝐵 6 𝑥 2 3 𝐿 3 𝑤 24 𝑥 0 4 𝐶1𝑥 𝐶2 Para determinar as constantes de integração temos as seguintes condição de contorno 𝑥 0 𝑦 0 𝑥 2 3 𝐿 𝑦 0 𝑥 𝐿 𝑦 0 Aplicando a primeira condição de contorno 0 𝑅𝐴 6 0 0 3 𝑅𝐵 6 0 2 3 𝐿 3 𝑤 24 0 0 4 𝐶1 0 𝐶2 𝐶2 0 Aplicando a segunda condição de contorno 0 𝑅𝐴 6 2 3 𝐿 0 3 𝑅𝐵 6 2 3 𝐿 2 3 𝐿 3 𝑤 24 2 3 𝐿 0 4 2 3 𝐿𝐶1 0 4𝑅𝐴𝐿3 81 2𝑤𝐿4 243 2 3 𝐿𝐶1 2 3 𝐿𝐶1 2𝑤𝐿4 243 4𝑅𝐴𝐿3 81 𝐶1 𝑤𝐿3 81 2𝑅𝐴𝐿2 27 Portanto a equação da deflexão ficará da seguinte forma 𝐸𝐼𝑦 𝑅𝐴 6 𝑥 0 3 𝑅𝐵 6 𝑥 2 3 𝐿 3 𝑤 24 𝑥 0 4 𝑤𝐿3 81 2𝑅𝐴𝐿2 27 𝑥 Agora vamos aplicar a terceira condição de contorno na equação acima 0 𝑅𝐴 6 𝐿 0 3 𝑅𝐵 6 𝐿 2 3 𝐿 3 𝑤 24 𝐿 0 4 𝑤𝐿3 81 2𝑅𝐴𝐿2 27 𝐿 0 𝑅𝐴𝐿3 6 𝑅𝐵𝐿3 162 𝑤𝐿4 24 𝑤𝐿4 81 2𝑅𝐴𝐿3 27 0 5𝑅𝐴𝐿3 54 𝑅𝐵𝐿3 162 19𝑤𝐿4 648 Vamos isolar a reação em B na equação acima 𝑅𝐵𝐿3 162 19𝑤𝐿4 648 5𝑅𝐴𝐿3 54 𝑅𝐵 475𝑤𝐿 15𝑅𝐴 Substituindo na seguinte equação 𝑅𝐴 1 3 𝑅𝐵 𝑤𝐿 2 𝑅𝐴 1 3 475𝑤𝐿 15𝑅𝐴 𝑤𝐿 2 𝑅𝐴 475 3 𝑤𝐿 5𝑅𝐴 𝑤𝐿 2 4𝑅𝐴 𝑤𝐿 2 475𝑤𝐿 3 4𝑅𝐴 1083𝑤𝐿 𝑅𝐴 0271𝑤𝐿 Calculando agora a reação em B 𝑅𝐵 475𝑤𝐿 15 0271𝑤𝐿 𝑅𝐵 06875𝑤𝐿 E por fim calculando a reação em C 0271𝑤𝐿 06875𝑤𝐿 𝑅𝐶 𝑤𝐿 𝑅𝐶 𝑤𝐿 0271𝑤𝐿 06875𝑤𝐿 𝑅𝐶 0042𝑤𝐿 6 Primeiro vamos determinar as reações no engaste em A 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 𝑤𝐿 2 𝐿 2 𝐿 4 0 𝑀𝐴 3𝑤𝐿2 8 0 𝑀𝐴 3𝑤𝐿2 8 Aplicando o somatório das forças em y 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 𝑤𝐿 2 0 𝐴𝑦 𝑤𝐿 2 Vamos escrever a equação para o momento fletor 𝑀𝑥 𝑤𝐿 2 𝑥 0 1 3𝑤𝐿2 8 𝑥 0 0 𝑤 2 𝑥 𝐿 2 2 Aplicando a equação diferencia da linha elástica 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝜃 𝑤𝐿 4 𝑥 0 2 3𝑤𝐿2 8 𝑥 0 1 𝑤 6 𝑥 𝐿 2 3 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 𝑤𝐿 12 𝑥 0 3 3𝑤𝐿2 16 𝑥 0 2 𝑤 24 𝑥 𝐿 2 4 𝐶1𝑥 𝐶2 Para determinar as constantes de integração temos as seguintes condição de contorno 𝑥 0 𝜃 0 𝑥 0 𝑦 0 Aplicando a primeira condição de contorno 0 𝑤𝐿 4 0 0 2 3𝑤𝐿2 8 0 0 1 𝑤 6 0 𝐿 2 3 𝐶1 𝐶1 0 Aplicando a segunda condição de contorno 0 𝑤𝐿 12 0 0 3 3𝑤𝐿2 16 0 0 2 𝑤 24 0 𝐿 2 4 𝐶2 𝐶2 0 Portanto a equação da declividade ficará da seguinte forma 𝐸𝐼𝜃 𝑤𝐿 4 𝑥 0 2 3𝑤𝐿2 8 𝑥 0 1 𝑤 6 𝑥 𝐿 2 3 E a equação da deflexão 𝐸𝐼𝑦 𝑤𝐿 12 𝑥 0 3 3𝑤𝐿2 16 𝑥 0 2 𝑤 24 𝑥 𝐿 2 4 Vamos calcular a declividade no ponto B 𝐸𝐼𝜃𝐵 𝑤𝐿 4 𝐿 0 2 3𝑤𝐿2 8 𝐿 0 1 𝑤 6 𝐿 𝐿 2 3 𝐸𝐼𝜃𝐵 𝑤𝐿3 4 3𝑤𝐿3 8 𝑤𝐿3 48 𝐸𝐼𝜃𝐵 7𝑤𝐿3 48 𝜃𝐵 7𝑤𝐿3 48𝐸𝐼 Agora vamos calcular a deflexão no ponto B 𝐸𝐼𝑦𝐵 𝑤𝐿 12 𝐿 0 3 3𝑤𝐿2 16 𝐿 0 2 𝑤 24 𝐿 𝐿 2 4 𝐸𝐼𝑦𝐵 𝑤𝐿4 12 3𝑤𝐿4 16 𝑤𝐿4 384 𝐸𝐼𝑦𝐵 41𝑤𝐿4 384 𝑦𝐵 41𝑤𝐿4 384𝐸𝐼 7 Primeiro vamos determinar a reação vertical em A 𝑀𝐵 0 4 8 4 2 6 8𝐴𝑦 0 32 48 8𝐴𝑦 8𝐴𝑦 80 𝐴𝑦 10 𝑘𝑁 A equação para o momento fletor 𝑀𝑥 10 𝑥 0 1 1 𝑥 0 2 1 𝑥 4 2 8 𝑥 4 1 Aplicando a equação diferencia da linha elástica 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝜃 5 𝑥 0 2 1 3 𝑥 0 3 1 3 𝑥 4 3 4 𝑥 4 2 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 5 3 𝑥 0 3 1 12 𝑥 0 4 1 12 𝑥 4 4 4 3 𝑥 4 3 𝐶1𝑥 𝐶2 Para determinar as constantes de integração temos as seguintes condição de contorno 𝑥 0 𝑦 0 𝑥 8 𝑦 0 Aplicando a primeira condição de contorno 0 5 3 0 0 3 1 12 0 0 4 1 12 0 4 4 4 3 0 4 3 𝐶1 0 𝐶2 𝐶2 0 Aplicando a segunda condição de contorno 0 5 3 8 0 3 1 12 8 0 4 1 12 8 4 4 4 3 8 4 3 8𝐶1 0 2560 3 4096 12 256 12 256 3 8𝐶1 0 448 8𝐶1 8𝐶1 448 𝐶1 56 Portanto a equação da declividade fica da seguinte forma 𝐸𝐼𝜃 5 𝑥 0 2 1 3 𝑥 0 3 1 3 𝑥 4 3 4 𝑥 4 2 56 E a equação da deflexão 𝐸𝐼𝑦 5 3 𝑥 0 3 1 12 𝑥 0 4 1 12 𝑥 4 4 4 3 𝑥 4 3 56𝑥 Primeiro vamos calcular a declividade no ponto A 𝐸𝐼𝜃𝐴 5 0 0 2 1 3 0 0 3 1 3 0 4 3 4 0 4 2 56 𝐸𝐼𝜃𝐴 56 𝜃𝐴 56 𝐸𝐼 𝑘𝑁 𝑚2 Agora vamos calcular a deflexão no ponto C 𝐸𝐼𝑦𝐶 5 3 4 0 3 1 12 4 0 4 1 12 4 4 4 4 3 4 4 3 56 4 𝐸𝐼𝑦𝐶 320 3 256 12 224 𝐸𝐼𝑦𝐶 13867 𝑦𝐶 13867 𝐸𝐼 𝑘𝑁 𝑚2 8 Para determinar o valor da dimensão da coluna temos 𝜎𝑐𝑟 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑃𝑐𝑟 𝐴 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝐴 𝑃𝑐𝑟 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑎2 𝑃𝑐𝑟 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑎 𝑃𝑐𝑟 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑎 200 103 12 106 𝑎 01291 𝑚 𝑎 130 𝑚𝑚 9 Para calcular a carga crítica temos a seguinte expressão 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿𝑒2 𝑃𝑐𝑟 𝜋2 200 109 𝜋 4 00754 0074 722 𝑃𝑐𝑟 2282 𝑘𝑁 A tensão critica será dada por 𝜎𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 𝐴 𝜎𝑐𝑟 2282 103 𝜋 00752 0072 𝜎𝑐𝑟 1002 𝑀𝑃𝑎 10 a Para determinar a excentricidade da força temos a seguinte expressão 𝑣 𝑒 𝑆𝑒𝑐 𝑃 𝐸𝐼 𝐿 2 1 𝑒 𝑣 𝑆𝑒𝑐 𝑃 𝐸𝐼 𝐿 2 1 𝑒 0004 𝑆𝑒𝑐 12 24 103 70 109 00324 2 065 2 1 𝑒 0001552 𝑚 𝑒 1552 𝑚𝑚 b a tensão máxima na barra pode ser dada pela seguinte equação 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑃 𝐴 1 𝑒𝑐 𝑟2 𝑆𝑒𝑐 𝐿 2𝑟 𝑃 𝐸𝐴 Primeiro vamos calcular o raio de giração 𝑟 𝐼 𝐴 𝑟 00324 12 00322 924 103 Portanto teremos o seguinte 𝜎𝑚𝑎𝑥 24 103 00322 1 1552 103 0016 924 1032 𝑆𝑒𝑐 2 065 2 924 103 24 103 70 109 00322 𝜎𝑚𝑎𝑥 478 𝑀𝑃𝑎