Estatística Aplicada à Engenharia - Sumário e Análise Combinatória

ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA Roberto Carlos Lourenço 2 SUMÁRIO 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADES 3 2 PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 15 3 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 25 4 MEDIDAS 31 5 TESTE DE HIPÓTESE 47 6 FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS 55 3 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADES Neste bloco estudaremos a Análise Combinatória e Probabilidades Onde será possível compreender como realizar cálculo dos números de arranjos permutação combinação e fatorial Ainda nesse bloco vamos estudar Teoria das probabilidades probabilidade condicional e total conhecendo a definição dos conjuntos denominados como Espaço Amostral e Evento para assim compreender como calcular a probabilidade de um determinado Evento diante de um Espaço Amostral E para terminar conheceremos a definição da Distribuição de Probabilidades uma tabela muito importante que é utilizada na Estatística 11 Cálculo dos números de arranjo permutação combinação e fatorial Fatorial de um número Nesse infográfico vamos estudar Análise Combinatória sendo um tópico muito importante da Matemática e fundamental para desenvolver muitos problemas da Probabilidade e Estatística Para começar vamos entender como funciona o número fatorial Para um número natural qualquer n ϵ N temos n n n 1 n 2 n 3 1 1 1 Considerase 0 1 Exemplos 5 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 4 3 2 1 120 7 7 6 5 4 3 2 1 5040 4 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3 628 800 Podemos indicar n n n 1 12 12 11 10 7 7 6 Permutações simples e com elementos repetidos Quando temos n elementos de um determinado grupo e todos são utilizados onde ocorre uma troca de posicionamento trabalhamos com a permutação indicado por Pn n Exemplos 1 Quantos são os anagramas da palavra ANTIGO Importante Anagramas são diferentes posições das letras de uma palavra Resolução Para resolver esse problema trabalhamos com P6 6 720 6 120 56 6 6 P Isso ocorre pois são 6 letras distintas e cada letra pode mudar de posição gerando palavras com significado ou não Dessa forma podemos afirmar que existem 720 anagramas da palavra ANTIGO Como por exemplos ANTIOG ANTGIO GIOANT 2 Com os elementos do conjunto A 1 2 3 4 podemos formar quantos números de quatro algarismos distintos 5 Resolução M C D U 4 opções 3 opções 2 opções 1 opções Novamente para resolver trabalhamos com P4 4 24 1234 4 4 P 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321 Portanto existem 24 números Agora quando existem elementos repetidos trabalhamos com 2 1 2 1 k b nb b b b b n P k Onde n é a quantidade de elementos do conjunto e 1 2 kb b b indica quantas vezes um determinado elemento está se repetindo Exemplo 3 Apresente os anagramas da palavra ARARA AAARR AARAR ARAAR RAAAR RAARA RARAA RRAAA ARRAA AARRA ARARA Repare que o R repete 2 vezes e o A repete 3 vezes dessa forma temos 10 12 120 12312 12345 2 3 5 5 32 P 6 Arranjos simples Arranjos simples de n elementos tomados k a k onde n k são os agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com k dos n elementos dados Fórmula k n n A k n Exemplos 1 Um cofre possui um disco com 26 letras A combinação do cofre é formada por 3 letras distintas em uma certa ordem Se o dono esquecesse essa combinação qual o número máximo de tentativas que ele precisaria fazer para abrir o cofre Resolução Como nesse caso a senha é composta por 3 letras distintas que seguem uma ordem podemos resolver esse problema utilizando arranjos simples 15600 262524 23 26252423 23 26 3 26 26 26 3 A Portanto se o dono esquecesse a senha o número máximo de tentativas para conseguir abrir o cofre seria de 15 600 Combinações simples Combinações simples de n elementos tomados k a k onde n k são os subconjuntos com exatamente k elementos que se podem formar com os n elementos dados Fórmula k k n n C n k Exemplo 1 Num encontro internacional composto por 12 homens e 13 mulheres cada qual de um país diferente deve ser feita a escolha de uma comissão de 5 pessoas Determine o número de possíveis comissões se a comissão deve composta 7 a sem nenhuma restrição Resolução Como não existe nenhuma restrição podemos afirmar que a comissão pode ser composta por 5 mulheres e nenhum homem ou ainda 4 mulheres e 1 homem ou 3 mulheres e 2 homens e assim por diante Pensando assim temos 5 das 13 12 25 pessoas no total para escolher Como não pode ter uma repetição e não existe uma ordem na escolha trabalhamos com combinações simples 53130 5 232221 20 12345 252423222120 520 25 5 5 25 25 25 5 C Portanto existem 53 130 maneiras de formar uma comissão com as 25 pessoas b de 2 homens e 3 mulheres Resolução Nesse caso a comissão precisa ter 2 homens e 3 mulheres Sendo assim trabalhamos com combinações simples da seguinte forma Para escolher 2 homens Para escolher 3 mulheres 66 6 11 10 12 121110 210 12 2 212 12 2 12 C 286 2 11 13 10 123 13121110 310 13 3 13 C Agora multiplicamos os dois resultados para obter o total de possibilidades de comissões 66 286 18 876 8 Portanto existem 18 876 maneiras de formar uma comissão escolhendo 2 homens e 3 mulheres 12 Teoria das probabilidades probabilidade condicional e total Para conhecer a definição de probabilidades é necessário conhecer os conjuntos Espaço Amostral e Evento Espaço amostral Espaço amostral S conjunto de todos os resultados possíveis de experimento ou situação Exemplo Lance uma moeda três vezes e observe a sequência de caras K e coroas C que ocorre Apresente um espaço amostral para esse experimento S KKK KKC KCK CKK CCK CKC KCC CCC Evento Evento A subconjunto de S é qualquer conjunto de resultados possíveis relativamente ao experimento ou situação referidos no espaço amostral Exemplo Ao lançar três vezes uma moeda foi possível obter o espaço amostral S KKK KKC KCK CKK CCK CKC KCC CCC Para esse experimento qual é o evento onde ocorrem duas faces caras A KKC KCK CKK Definição de probabilidades Chamamos de probabilidade de um evento A com A contido em S o número real PA tal que 9 Onde nA é o número de elementos do evento A nS é o número de elementos do espaço amostral S Ou seja Probabilidade de um Evento A é o NÚMERO REAL resultante da RAZÃO divisão entre o número de elementos do evento nA e o número de elementos do espaço amostral nS Certeza e Impossibilidade pelo que vimos até agora podemos concluir que a probabilidade de um evento E qualquer é PE tal que 0 PE 1 Isso significa que a probabilidade só pode assumir valores de zero a 1 Eventos complementares Sabemos que um evento pode ocorrer ou não Sendo p a probabilidade de que ele ocorra sucesso e q a probabilidade de que ele não ocorra fracasso para um mesmo evento existe sempre a relação p q 1 p q 1 Probabilidade condicional Denotamos por AB o evento A condicionado ao fato de que o evento B já ocorreu e por PAB a probabilidade condicional de ocorrer A tendo ocorrido B 10 Exemplos 1 Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A obter cara obter a probabilidade de ocorrência do evento A a Espaço Amostral S K C b Número de elementos do espaço amostral nS 2 c Evento A K d Número de elementos do Evento A nA 1 e PA 2 1 n S n A 2 Considerando um baralho com 52 cartas sendo 13 cartas de cada um dos quatro naipes e o evento C obter um 3 Sorteiase uma carta ao acaso Qual a probabilidade de ocorrer o número 3 a nS 52 b nC 4 c 52 4 n S n C PC 3 Lançamos dois dados simultaneamente Qual a probabilidade de obtermos 2 no primeiro lançamento e 3 no segundo 11 4 No experimento do lançamento de dois dados se a soma dos pontos deu maior que 6 qual a probabilidade de que tenha ocorrido em ambos os dados um número par 1º momento temos Espaço Amostral S 1 1 1 2 1 3 6 6 2º momento temos A soma dos pontos deu maior que 6 gerando o evento A 1 6 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 3 4 4 4 5 4 6 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 3º momento temos Em ambos os dados um número par quando a soma dos pontos deu maior que 6 gerando o evento B 2 6 4 4 4 6 6 2 6 4 6 6 7 2 21 6 B A P Portanto a probabilidade de que tenha ocorrido em ambos os dados um número par se a soma dos pontos deu maior que 6 é igual a 7 2 13 Distribuição de probabilidades Definição Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores nx x x x 3 2 1 A cada valor correspondem pontos do espaço amostral Associamos então cada valor ix a probabilidade ip de ocorrência de tais pontos no espaço amostral Assim temos 1 3 2 1 n i p p p p p 12 Exemplo A tabela a seguir informa o número de acidentes diários em um estacionamento Com os dados da tabela desenvolva cada item a Em um dia qual a probabilidade de não ocorrer acidente 60 30 18 1 p b Em um dia qual a probabilidade de ocorrer um acidente 20 30 6 2 p c Em um dia qual a probabilidade de ocorrer dois acidentes 013 30 4 3 p d Em um dia qual a probabilidade de ocorrer três acidentes 0 07 30 2 4 p 13 Com os resultados obtidos podemos formar a Distribuição de Probabilidade A função probabilidade é definida por ix P X f x A função probabilidade determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X Para o lançamento de um dado a variável X definida por valor da face do dado pode ser indicado por 1 2 3 4 5 6 Formando a tabela 14 Conclusão Neste bloco estudamos Análise Combinatória e Probabilidades passando pelos tópicos envolvendo o cálculo dos números de arranjos permutação combinação e fatorial Teoria das probabilidades probabilidade condicional e total definições do Espaço Amostral Evento a probabilidade de um determinado Evento diante de um Espaço Amostral e Distribuição de Probabilidades REFERÊNCIAS CRESPO A A Estatística fácil São Paulo Saraiva 2009 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2009 V único DOWNING D CLARK J Estatística aplicada São Paulo Saraiva 2011 LEVIN J FOX J A FORDE D R Estatística para ciências humanas São Paulo Pearson 2014 SMOLE K C S Matemática São Paulo Saraiva 1999 v 1 DINIZ M I Matemática Ensino Médio São Paulo Saraiva 2003 v 1 15 2 PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA Neste bloco vamos iniciar os tópicos indicados por diversos autores como princípios básicos de estatística começando com as regras de arredondamento de dados passando pela caracterização de População e Amostra Vamos seguir nossos estudos falando sobre tipos de variáveis e representação de dados amostrais e concluímos com Distribuição de Frequências 21 Arredondamento de dados e caracterização de População e Amostra Nesse tópico vamos compreender as regras para realizar o arredondamento de dados e a caracterização de população e amostra De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE temos i Quando o primeiro algarismo a ser retirado é 0 1 2 3 ou 4 não altera o último algarismo a permanecer Exemplos Aproximação de uma casa decimal 7374 737 Aproximação de duas casas decimais 34913453 3491 ii Quando o primeiro algarismo a ser retirado é 6 7 8 ou 9 aumenta uma unidade o algarismo a permanecer 16 Exemplos Aproximação de uma casa decimal 723823 724 250712 251 359951 360 iii Quando o primeiro algarismo a ser retirado é 5 temos duas soluções 1º Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero aumentase uma unidade ao algarismo que permanecer Exemplos Aproximação de uma casa decimal 71352 714 2565001 257 2º Se ao 5 o número que se seguir for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar Exemplos Aproximação de uma casa decimal 2475 248 2465 246 17 Porcentagem População e amostra População é o conjunto de todos os elementos envolvidos no fenômeno a ser estudado Amostra é o conjunto de elementos retirados da população para a realização do estudo Exemplos 1 Queremos obter informações sobre os alunos da escola Educação de Qualidade População é o conjunto de todos os alunos matriculados na escola Educação de Qualidade Amostra é o conjunto dos alunos que serão entrevistados 18 2 Em uma escola existem 300 alunos matriculados sendo 60 do 1º ano 50 do 2º ano 40 do 3º ano 80 do 4º ano e 70 do 5º ano Obtenha uma amostra de 60 alunos preenchendo a tabela a seguir O resultado é a tabela 22 Tipos de variáveis e representação de dados amostrais Nesse tópico vamos estudar os tipos de variáveis sendo importante entender que variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno Variável qualitativa quando seus valores são expressos por atributos como cor de pele gênero hábito de fumar grau de instrução etc Na variável qualitativa nominal não existe ordenação em seus possíveis resultados Exemplos sexo hábito de fumar turma nacionalidade cor da pele etc Na variável qualitativa ordinal existe certa ordem em seus possíveis resultados 19 Exemplos grau de instrução tamanho P M G GG classe social etc Variáveis quantitativas seus valores são números e resultantes de uma contagem ou mensuração como idade salário distância de um local até outro local número de filhos número de pessoas por família etc Na variável quantitativa discreta seus possíveis valores formam um conjunto finito de números que resultam frequentemente de uma contagem Exemplos número de alunos de uma escola número de torcedores em uma partida de futebol número de moradores de um condomínio etc Na variável quantitativa contínua seus possíveis valores formam um intervalo de números reais que resultam de uma mensuração Exemplos peso altura valor de um produto distância entre dois corpos etc Representação de dados amostrais Em pesquisas realizadas normalmente trabalhamos com amostra de uma população isso ocorre por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou temporal onde reduz o estudo de uma determinada população para uma parte da mesma Amostragem Os métodos de escolha da amostra devem garantir a representatividade do grupo Desse modo podemos recorrer a diferentes formas de amostragem amostragem aleatória simples amostragem sistemática e amostragem estratificada proporcional Amostragem aleatória simples Esse tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico Exemplo Para uma pesquisa sobre rendar familiar de um grupo composto por 500 pessoas vamos escolher uma amostra com no mínimo 50 pessoas sendo 10 de 500 selecionadas através de amostragem aleatória simples onde em primeiro lugar é necessário elaborar uma lista com todas as pessoas do grupo numeradas de 1 a 500 20 para em seguida serem submetidos a um sorteio Ao mesmo tempo utilizamos bolas ou cartões numerados de 1 a 500 241 001 137 421 094 Ao sortear os 50 números distintos podemos selecionar essas pessoas para participarem da pesquisa Amostragem sistemática Quando os elementos da população já se acham ordenados como prontuários médicos de um hospital os prédios de uma rua as linhas de produção etc Nestes casos a escolha dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador Exemplo Para uma pesquisa sobre rendar familiar de um grupo composto por 500 pessoas vamos escolher uma amostra com no mínimo 50 pessoas sendo 10 de 500 selecionadas através de amostragem sistemática onde em primeiro lugar é necessário elaborar uma lista com todas as pessoas do grupo numeradas de 1 a 500 para em seguida serem submetidos a um sorteio da seguinte maneira Sorteamos um número de 1 a 10 ao acaso Supondo que o número sorteado seja 7 ele será o primeiro elemento da amostra e os demais serão determinados em intervalos de dez unidades Formando essa relação de pessoas 007 017 027 037 497 Amostragem estratificada proporcional Em muitos casos uma pesquisa estuda uma população que possui subpopulações pois a mesma se divide em grupos denominados como estratos Dessa forma quando empregamos a amostragem estratificada proporcional que além de considerar a existência dos estratos obtém os elementos da amostra proporcional ao número de elementos dos mesmos 21 Exemplo Precisa realizar uma pesquisa da estatura de 90 alunos de uma escola Desses 54 são meninas e 36 são meninos Com o objetivo de entrevistar 10 dos alunos temos uma amostragem estratificada proporcional formada da seguinte maneira 1º Passo Sexo População 10 Amostra F 54 01 54 54 5 M 36 01 36 36 4 Total 90 01 90 9 9 2º Passo Ao numerar cada aluno de 01 a 90 onde de 01 a 54 são as meninas e de 55 a 90 os meninos 3º Passo Realizamos o sorteio dos números para escolher as 5 meninas e os 4 meninos 13 41 25 37 52 61 55 72 85 23 Distribuição de frequências Nesse tópico vamos compreender e realizar a organização dos dados realizando a distribuição de frequências Denominamos frequência o número de elementos que fica relacionado a um determinado valor da variável A tabela que apresenta os dados organizados utilizando as frequências é chamada de distribuição de frequências 23 Resolução Conclusão Neste bloco estudamos os princípios básicos de estatística conhecendo as regras de arredondamento de dados População e Amostra os tipos de variáveis representação de dados amostrais e concluímos com Distribuição de Frequências 24 REFERÊNCIAS CRESPO A A Estatística fácil São Paulo Saraiva 2009 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2009 V único DOWNING D CLARK J Estatística aplicada São Paulo Saraiva 2011 LEVIN J FOX J A FORDE D R Estatística para ciências humanas São Paulo Pearson 2014 SMOLE K C S Matemática São Paulo Saraiva 1999 v 1 DINIZ M I Matemática Ensino Médio São Paulo Saraiva 2003 v 1 25 3 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS Neste bloco estudaremos uma ferramenta muito importante da Estatística onde os dados coletados em determinada pesquisa são representados por meio de gráficos Por isso vamos conhecer os tipos de gráficos passando pelo Histograma e Polígono de Frequência e concluímos esse bloco com o Digrama de Ramoefolhas 31 Tipos de gráficos Nesse momento será possível entender que o gráfico estatístico é uma ferramenta que apresenta os dados estatísticos colaborando para uma melhor compreensão do fenômeno em estudo 32 Histograma e polígono de frequência Nesse tópico vamos desenvolver e compreender os dados representados em histograma e polígono de frequência Histograma Por definição temos que o histograma é um tipo de gráfico formado por retângulos justapostos onde cada base fica localizada sobre o eixo horizontal e dessa forma seus pontos médios coincidem com os pontos médios dos intervalos de classe 26 Exemplos 1 Veja um exemplo de histograma 2 Apresente um histograma utilizando os dados da tabela a seguir Resolução 27 Polígono de frequência O polígono de frequência é um gráfico em linhas sendo as frequências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe Veja um exemplo Exemplo Apresente o polígono de frequência para os dados da tabela a seguir Resolução 28 33 Diagrama de Ramoefolhas Por definição temos que um diagrama de ramoefolhas é um gráfico de frequências construído para pontos amostrais de dois ou três algarismos onde utilizamos o último algarismo como um contador para a classe de frequência correspondente aos algarismos iniciais Em geral os gráficos ramoefolhas são traçados com o ramo algarismos iniciais disposto verticalmente e os últimos algarismos que formam as folhas dispostos horizontalmente É normal identificar o comprimento de cada folha informando à esquerda do ramo Exemplo 3 3 147 5 4 35679 2 6 28 1 8 5 Exemplo 1 Um professor aplicou uma atividade para 25 alunos Os valores a seguir são as notas dos alunos 24 79 98 47 45 27 48 59 58 62 61 73 92 49 55 57 61 69 65 91 74 64 63 28 77 Apresente um diagrama de Ramoefolhas para representar as notas desses alunos 29 Resolução 1º Passo Identifique o primeiro algarismo de cada número gerando o ramo 2 4 5 6 7 9 2º Passo Identifique o segundo algarismo de cada número gerando as folhas 2 478 4 8795 5 7985 6 1149352 7 4937 9 821 30 3º Passo Informamos a frequência de cada linha concluindo a construção do Diagrama de Ramoefolhas para os dados apresentados 3 2 478 4 4 8795 4 5 7985 7 6 1149352 4 7 4937 3 9 821 Conclusão Neste bloco estudamos os tipos de gráficos uma ferramenta muito importante na Estatística conhecemos o Histograma e Polígono de Frequência e concluímos esse bloco com o Digrama de Ramoefolhas REFERÊNCIAS CRESPO A A Estatística fácil São Paulo Saraiva 2009 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2009 V único DOWNING D CLARK J Estatística aplicada São Paulo Saraiva 2011 LEVIN J FOX J A FORDE D R Estatística para ciências humanas São Paulo Pearson 2014 SMOLE K C S Matemática São Paulo Saraiva 1999 v 1 DINIZ M I Matemática Ensino Médio São Paulo Saraiva 2003 v 1 31 4 MEDIDAS Neste bloco estudaremos os métodos para calcular a média aritmética simples a mediana a moda e os quatis que são as medidas de posição Dando sequência aos nossos estudos vamos conhecer as medidas de dispersão ferramenta fundamental na Estatística sendo assim o cálculo de Amplitude Total Variância Desvio padrão Coeficiente de Variação e intervalos interquartil estarão complementando nossos estudos 41 Medidas de posição média mediana moda e quartil Média Aritmética Simples ou Média x Para dados não agrupados é a soma dos valores da variável dividida pelo total de observações Exemplo Após realização de uma pesquisa sobre qual quantia em reais cada pessoa estava disposta a pagar em um lanche de rua foram coletados os valores 9 13 6 12 e 5 Qual é a média referente os valores coletados 32 Para dados agrupados Mediana md Para dados não agrupados é o valor da variável que ocupa a posição central dos dados ordenados Exemplo Calcular a mediana dos valores 9 12 8 6 14 11 5 Primeiro coloque os números em ordem seja crescente ou decrescente 5 6 8 9 11 12 14 Segundo se o número de elementos é ímpar temos como mediana o único elemento central md 9 Outro caso Calcular a mediana dos valores 9 12 8 6 14 11 Primeiro coloque os números em ordem seja crescente ou decrescente 6 8 9 11 12 14 33 Depois calculamos a média dos dois valores centrais por se tratar de quantidade par de elementos Para dados agrupados Exemplo 34 Moda mo Para dados não agrupados é o valor da variável mais frequente da distribuição Exemplo 1 Determine a moda para o seguinte conjunto de dados 65 87 49 58 65 60 80 65 90 mo 65 por aparecer 3 vezes 35 2 Determine a moda para o seguinte conjunto de dados 65 80 87 49 58 65 80 65 90 80 mo 65 por aparecer 3 vezes mo 80 por aparecer 3 vezes Temos duas modas sendo uma distribuição bimodal Para dados agrupados Exemplo 36 Os quartis Temos como definição que os quartis são os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais Existem três quartis Primeiro quartil Q1 valor situado de tal modo na série que 25 dos dados são menores que ele e 75 restantes são maiores Segundo quartil Q2 coincide com a mediana Terceiro quartil Q3 valor situado de tal modo na série que 75 dos dados são menores que ele e 25 restantes são maiores Para determinar cada quartil trabalhamos da seguinte maneira 38 42 Medidas de dispersão amplitude variância e desvio padrão As medidas de dispersão servem para quantificar a variabilidade dos valores da variável isto é a dispersão dos dados ou a forma como os valores de cada conjunto se espalha ao redor das medidas de tendência central Exemplo Valores de duas carteiras de ações na Bolsa de Valores A média em ambas carteiras x R 150 Mediana da carteira A md R 150 Mediana da carteira B md R 151 39 Observando os dados pelo gráfico a seguir é possível identificar uma maior oscilação da carteira A comparando com a carteira B mostrando que um investidor mais conservador iria optar pela carteira B por apresentar uma menor oscilação de valores dentro do período apresentado Além do gráfico podemos utilizar a Medida de Dispersão para estudar a variabilidade entre os valores Amplitude total R Diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados Variância σ² ou S² É um estudo sobre os desvios em torno da média aritmética determinando a média dos quadrados dos desvios ² ² populacional n x x s i Σ 1 ² ² amostral n x x s i Σ 40 Propriedades 1 Somando ou subtraindo um valor constante k a todos os valores de uma variável o desvio padrão não altera 2 Multiplicando todos os valores de uma variável por uma constante k não nula o desvio padrão fica multiplicado por essa constante k 41 Exemplo Calcule a amplitude total variância desvio padrão e coeficiente de variação para a variável Idade da tabela a seguir Acrescentamos uma nova coluna para colaborar Amplitude total 43 43 Medidas de dispersão intervalo interquartil e coeficiente de variação Na estatística trabalhamos com dados que por sua vez precisam de interpretações onde conhecer a medida de posição média aritmética mediana ou moda não é o suficiente para uma análise mais ampla Dessa forma chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou a menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade Nesse tópico vamos estudar o intervalo interquartil e o coeficiente de variação Intervalo interquartil Outra ferramenta útil para calcular uma medida de variabilidade é conhecida como variação interquartil ou intervalo interquartil IQR do inglês interquartile range onde podemos afirmar que quanto maior a IQR maior a distribuição ou a variabilidade A IQR é obtida por meio do cálculo IQR Q3 Q1 É a diferença entre o primeiro e o terceiro quartis Por definição temos que a variação de interquartil inclui 50 de valores do meio na distribuição quando estes são organizados em ordem crescente ou decrescente Isso acontece pois 44 Primeiro quartil Q1 valor situado de tal modo na série que 25 dos dados são menores que ele e 75 restantes são maiores Segundo quartil Q2 coincide com a mediana Terceiro quartil Q3 valor situado de tal modo na série que 75 dos dados são menores que ele e 25 restantes são maiores Exemplo Considere as 20 notas a seguir obtidas em uma prova de Gestão de Negócios 1º Passo Encontramos Q1 e Q3 Posição de Q3 075 20 1 1575 Posição de Q1 025 20 1 525 63 5 2 65 62 1 Q 84 5 2 85 84 3 Q 45 2º Passo Calculamos IQR IQR Q3 Q1 IQR 845 635 21 Portanto a variação interquartil é igual a 21 Coeficiente de variação O Coeficiente de Variação é um cálculo que colabora no estudo de medida de dispersão sendo indicado como CV x 100 CV s Onde s é o desvio padrão e x representa a média aritmética dos valores Exemplo Tomemos os resultados das medidas das estaturas das massas de um mesmo grupo de indivíduos média Desvio padrão Estaturas em cm 175 50 Massas em kg 68 20 Verifique qual variável apresenta maior grau de dispersão Resolução 2 86 175100 5 CVE Coeficiente de variação para a variável Estatura em cm 2 94 68100 2 CVM Coeficiente de variação para a variável Massa em kg 46 Portanto podemos afirmar que para esse grupo de indivíduos as massas apresentam maior grau de dispersão que as estaturas Conclusão Neste bloco estudamos a média aritmética simples a mediana a moda e os quatis que são as medidas de posição que são chamadas de medidas de posição E completamos nossos estudos desse bloco conhecendo as medidas de dispersão que são Amplitude Total Variância Desvio padrão Coeficiente de Variação e intervalos interquartil REFERÊNCIAS CRESPO A A Estatística Fácil São Paulo Saraiva 2009 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2009 V único DOWNING D CLARK J Estatística aplicada São Paulo Saraiva 2011 LEVIN J FOX J A FORDE D R Estatística para ciências humanas São Paulo Pearson 2014 SMOLE K C S Matemática São Paulo Saraiva 1999 v 1 DINIZ M I Matemática Ensino Médio São Paulo Saraiva 2003 v 1 47 5 TESTE DE HIPÓTESE Neste bloco estudaremos o Teste de Hipótese conhecendo a Aplicação de Teste de Hipótese após definições da Hipótese Nula e Hipótese Alternativa passando pelas possibilidades para teste de hipóteses e complementando com os Erros do Tipo 1 e Tipo 2 Ainda nesse bloco teremos a oportunidade de estudar a Significância e poder do Teste de hipótese e concluímos esse momento com o Intervalo de confiança para média populacional 51 Aplicação de Teste de Hipótese A Hipótese Nula H0 e a Hipótese Alternativa Ha Nesse momento teremos a oportunidade de estudar o teste de hipóteses sendo um conteúdo teórico mas fundamental para realizar um estudo profundo e detalhado com os dados coletados em uma determinada pesquisa Podemos pensar que ao trabalhar com duas amostras extraídas da mesma população onde a média M1 da amostra A ser diferente da média M2 referente amostra B será que esta diferença é consequência da casualidade na escolha da amostra ou será que esta diferença representa a diferença entre os dois grupos pesquisados Dessa forma ocorrem duas hipóteses Hipótese Nula H0 Não há diferença entre as médias Considerando a diferença apresentada como um erro amostral Onde M1 M2 Hipótese Alternativa Ha Existe uma diferença entre as médias Implicando em os grupos A e B serem diferentes mediante algum fator ou até mesmo por serem amostras de populações diferentes Onde M1 M2 48 Possibilidades para teste de hipóteses Uma hipótese estatística que contém uma afirmação indicada pelos sinais igual maior ou igual ou menor ou igual é denominada Hipótese Nula H0 Se para toda afirmação existe um complemento temos que para uma Hipótese Nula existe uma Hipótese Alternativa Ha ou H1 em outras palavras para a Hipótese Nula ser falsa a Hipótese Alternativa precisa ser verdadeira ou para H0 ser verdadeira logo Ha é falsa Em Ha temos os sinais diferente maior ou menor Esquema para estudar as hipóteses onde µ representa a média populacional e k é um número real k H k H a µ µ 0 Teste bilateral k H k H a µ µ 0 Teste unilateral 49 k H k H a µ µ 0 Teste unilateral k H k H a µ µ 0 Teste unilateral k H k H a µ µ 0 Teste unilateral 50 Erros do Tipo 1 e Tipo 2 Estudando as duas hipóteses H0 e Ha concluímos que podemos acertar de duas maneiras seja aceitando a hipótese quando ela é verdadeira ou rejeitandoa quando ela é falsa Por outro lado temos duas possibilidades de estarmos errados rejeitando a hipótese quando ela é verdadeira ou aceitandoa quando ela é falsa No primeiro caso temos o Erro Tipo 1 e no segundo caso temos o Erro Tipo 2 Observe a tabela 52 Significância e poder do Teste de hipótese A leitura indicada aborda uma explicação sobre níveis de significância e o poder do Teste de Hipótese sendo uma ferramenta da estatística para verificar o resultado da diferença de uma população real e um erro amostral 53 Intervalo de confiança para média populacional Nesse tópico o objetivo será compreender e desenvolver os cálculos para determinar o intervalo de confiança para média populacional 51 A média populacional A média populacional μ é á média aritmética determinada pelos dados envolvendo toda a POPULAÇÃO da pesquisa Em muitos casos isso é impossível de ter a plena certeza sendo assim trabalhamos com 30 n n s t x n s t x µ Usar tabela de distribuição t 30 n n s z x n s z x µ Usar tabela de distribuição normal Exemplos 1 Em uma determinada fábrica o tempo médio por operário para realizar uma tarefa estava em 92 minutos Após treinamentos específicos foi constatada uma diminuição nesse tempo e a prova disso foi um novo estudo com 81 funcionários O novo tempo médio foi de 84 minutos e o desvio padrão foi de 9 minutos Considerando um nível de confiança de 95 podemos declarar que os resultados trazem evidências estatísticas da melhora desejada Resolução 52 Para determinar o valor de z seguimos esse passo a passo 53 2 O instituto de pesquisa Power informou que o preço médio do produto A na cidade X é de R 1450 Com o objetivo de verificar a informação outro instituto selecionou uma amostra de 8 estabelecimentos da cidade X constatando os valores a seguir R 1580 R 1620 R 1540 R 1610 R 1460 R 1510 R 1540 e R 1540 Trabalhando com 95 de confiança use as evidências estatísticas para determinar se a afirmação do Instituto Power está correta Resolução 54 Conclusão Neste bloco estudamos o Teste de Hipótese passando pela Aplicação de Teste de Hipótese as definições da Hipótese Nula e Hipótese Alternativa possibilidades para teste de hipóteses os Erros do Tipo 1 e Tipo 2 a Significância e poder do Teste de Hipótese e concluímos com o Intervalo de confiança para média populacional REFERÊNCIAS CRESPO A A Estatística fácil São Paulo Saraiva 2009 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2009 v único DOWNING D CLARK J Estatística aplicada São Paulo Saraiva 2011 LEVIN J FOX J A FORDE D R Estatística para ciências humanas São Paulo Pearson 2014 SMOLE K C S Matemática São Paulo Saraiva 1999 v 1 SMOLE K C S DINIZ M I Matemática Ensino Médio São Paulo Saraiva 2003 v 1 55 6 FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS Neste último bloco estudaremos a comparação entre duas médias realizando uma análise de variância coeficiente de correlação de Pearson compreendendo a correlação entre duas variáveis ainda a Regressão Linear e concluímos com a aplicação das funções estatísticas do MS Excel 61 Comparação entre duas médias e análise de variância Nesse momento teremos a oportunidade de estudar a comparação entre duas médias e análise de variância mais uma ferramenta estatística para comparar os dados apresentados em uma determinada pesquisa 62 Coeficiente de correlação de Pearson Correlação Na estatística existe a necessidade de comparar dados de variáveis que possuem unidades diferentes como peso e altura uso do cigarro e incidência de câncer e nesses casos sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa utilizamos a correlação como um instrumento adequado para calcular e realizar a comparação entre as variáveis Portanto quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística podemos afirmar que existe uma correlação entre elas 56 Diagrama de Dispersão Nesse momento vamos analisar um exemplo de diagrama de dispersão A tabela a seguir apresenta notas de 10 alunos de uma turma formada por 78 alunos Considerando as notas de Física como ix e as notas de Cálculo como iy geramos os pares ordenados dados por ix iy e dessa forma temos o diagrama de dispersão 57 Correlação linear Uma correlação pode ser i linear positiva isso ocorre quando os pontos do diagrama de dispersão têm como imagem uma reta ascendente como uma função linear crescente ii linear negativa isso ocorre quando os pontos do diagrama de dispersão têm como imagem uma reta descedente como uma função linear decrescente 58 iii não linear isso ocorre quando os pontos do diagrama de dispersão têm como imagem uma curva Coeficiente de correlação de Pearson O coeficiente de correlação de Pearson r é uma ferramenta da Estatística para calcular o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis indicando o sentido dessa correlação como positiva ou negativa A fórmula para calcular o coeficiente de correlação de Pearson é 2 2 2 2 i i i i i i i i y y n x x n y x x y n r onde n é o número de observações Para ser possível descrever uma relação por meio do coeficiente de correlação de Pearson é fundamental que a mesma se aproxime de uma função linear Dessa forma podemos afirmar que i o valor de r pertence ao intervalo 1 1 ii sendo r 1 há uma correlação perfeita e positiva entre as variáveis iii sendo r 1 há uma correlação perfeita e negativa entre as variáveis iv sendo r 0 isso indica que não há correlação entre as variáveis ou a relação entre as variáveis não é linear v se 60 30 r há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis 59 vi se 30 0 r há uma correlação é muito fraca onde será impossível apresentar uma conclusão sobre a relação entre as variáveis em estudo 63 Regressão linear Regressão linear O trabalho com Regressão Linear tem como objetivo desenvolver um estudo sobre a relação de duas variáveis partindo de n observações das mesmas Esse tópico na Estatística é chamado de análise de regressão onde construímos por aproximação uma linha reta gerando um determinado patrão ou conjunto de pontos que indicam uma relação entre as duas variáveis em estudo Dessa forma sejam duas variáveis X variável independente e Y variável dependente entre as quais exista uma correlação acentuada e mesmo que não perfeita mas sendo uma correlação retilínea de modo que é possível ajustar uma reta sendo uma imagem para a função dada por Y a X b Onde 2 2 i i i i i i x x n y x x y n a e a x y b n é o número de observações x é a média de ix e y é a média de iy E para construir a reta após determinar a função Y a X b basta determinar dois pontos distintos pois dois pontos distintos determinam uma única reta pelo axioma da Geometria Euclidiana 60 Exemplo A tabela a seguir apresenta notas de 10 alunos de uma turma formada por 78 alunos Apresente a função que determina a Regressão Linear para as notas dos alunos da tabela Resolução 1º Passo adicionamos duas colunas na tabela anterior 61 2º Passo calculamos as médias 56 10 x 65 56 10 y 65 3º Passo determinamos o valor de a 0 8632 585 505 4225 4810 4225 4730 65² 10481 6565 473 10 2 2 a a x x n y x x y n a i i i i i i 4º Passo determinamos o valor de b 0 8892 56 0 8632 56 b a x y b Para facilitar a construção do gráfico podemos arredondar os valores de a e b a 086 e b 089 5º Passo determinamos a função Y a X b Onde Yˆ assume o papel de estimativa para a verdadeira equação da regressão linear temos 0 89 0 86 ˆ X Y 62 6º Passo determinamos os dois pontos distintos atribuindo dois valores para X 7 Passo construímos a reta que representa a Regressão Linear no diagrama de dispersão das variáveis Portanto a Regressão Linear gerada é uma reta que está entre os pontos do diagrama de dispersão 64 Aplicação das funções estatísticas do MS Excel Na Estatística existem inúmeras funções matemáticas que denominamos como Funções Estatísticas Exemplos Medidas de Posição média mediana e moda Medidas de Dispersão amplitude variância desvio padrão coeficiente de variação e Intervalo de confiança Nesse momento vamos utilizar o MS Excel para determinar algumas dessas funções utilizando suas respectivas fórmulas Microsoft Office Excel é um editor de planilhas produzido pela Microsoft Trabalhando com esse office podemos realizar inúmeras tarefas envolvendo cálculos construção de tabelas e gráficos 63 Função média aritmética Função mediana Função moda 64 Agora sem precisar fazer um passo a passo é possível calcular e determinar essas e outras funções utilizando a ferramenta Análise de Dados do MS Excel Em seguida 65 E concluímos com a tabela que apresenta o resumo das funções Portanto podemos afirmar que o MS Excel é uma ferramenta muito importante para desenvolver inúmeras tarefas da Estatística mas não podemos nos esquecer da necessidade de dominar e compreender os métodos estudados sem o uso desse programa 66 Conclusão Neste bloco estudamos a comparação entre duas médias a análise de variância coeficiente de correlação de Pearson a correlação entre duas variáveis a Regressão Linear e concluímos com a aplicação das funções estatísticas do MS Excel REFERÊNCIAS CRESPO A A Estatística Fácil São Paulo Saraiva 2009 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2009 v único DOWNING D CLARK J Estatística Aplicada São Paulo Saraiva 2011 LEVIN J FOX J A FORDE D R Estatística para ciências humanas São Paulo Pearson 2014 SMOLE K C S Matemática São Paulo Saraiva 1999 v 1 DINIZ M I Matemática Ensino Médio São Paulo Saraiva 2003 v 1