Método dos Elementos Finitos - Capítulo 2 - Luiz Fernando Martha puc-rio

* Funções de forma para continuidade C¹ C¹ -> continuidade entre os diversos elementos da função fundamental (deslocamento) e de sua primeira derivada. -> Funções de forma para deslocamento e rotação nodal. - Uma dimensão v(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ v = [1 x x² x³] {a} v(x) = [X] {a} x = 0 d₁ = v(0) ; d₂ = v'(0) = θ₁ x = l d₃ = v(l) ; d₄ = v'(l) = θ₂ { } {1 0 0 0} {a₀} {d} = [C] {a} {d₁} { } { } {d₂} {0 1 0 0} {a₁} => {a} = [C]⁻¹ {d} {d₃} { } {d₄} {1 L L² L³} {a₂} { } -> v(x) = [X] [C]⁻¹ {d} ou v(x) = [N] {d} [N] = [X] [C]⁻¹ - Duas dimensões É bem mais complexo. Será visto quando elementos finitos de placa forem abordados. * Generalização da determinação de [k] e {rₓ} (2D) Energia potencial total Π = U + ⅵₑ Π = ∫ ( ½ {ε₀}ᵀ [E] {ε₀} - {ε}ᵀ [E] {ε₀} )dv _ {ε₀}ᵀ [E] {v₀} ) dv - ∫ {u₀ₛ}ᵀ {Fᵤ} dv - ∫ {u₀ₛ}ᵀ {Fᵤ} ds - {d}ᵀ {P} _ s {u₀ₓ] = {u(x,y)} {v(x,y)} {ε} = {εₘ} {γₘₓ} [E] = [ Eₓ₍ Eɣ₍ 0 ] [ Eɣ₍ Eₓ₍ 0 ] [ 0 0 Eₓ₍₍ ] {ε₀} -> deformação iniciais {F} -> forças de volume {D} -> deslocamento nodais {v₀} -> tensões residuais {Φ} -> forças de superfície {P} -> forças externas nodais Metodologia do método dos elementos finitos Para cada elemento {uₘ} = [N] {d} [uₘ(x,y)] [vₘ(x,y)] [ε} = [D] {u} [B] = [D] [N] = [εₘ] [B] {d} Πᵢ = ∑ ( ) Π = ∑ⱼ {d}ᵢ ( ) dv elem {d}ᵀ {B} {E} dv ∬ ⎨ ⎬ ( ) V {d}ᵀ {B} {T} dv ∬ ⎧ ⎫ {F} V {d}ᵀ {N} - ∬⎨ ⎬ V ⎧ ⎫ ⎨ ⎬{u} - {Dᵀ}ᵒ {P} Πp = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{melem} \{d_i\}^T \int_{Ve} [B_i]^T [E_i] [B_i] dVe \{d_i\} + \sum_{i=1}^{melem} \{d_i\}^T \left(-\int_{Ve} [B_i]^T [E_i] \{e_0\} dVe + \int_{Ve} [B_i]^T \{f_v\} dVe - \int_{Ve} [N_i]^T \{f_e\} dVe - \int_{Se} [N_i]^T \{\phi\} dSe \right) - \{D\}^T \{Pp\} Π_P = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{melem} \{d_i\}^T [K_i] \{d_i\} - \sum_{i=1}^{melem} \{d_i^T \{r_e\}\} - \{D\}^T \{p\} [K] = \int_{Ve} [B]^T [E] [B] dVe {ve} = \int_{Ve} [B]^T [E] \{e_0\} dVe - \int_{Ve} [B]^T \{f_v0\} dVe + \int_{Ve} [N]^T \{f_e\} dVe + \int_{Se} [N]^T \{\phi\} dSe \{d_i\}_e = [A_i] . \{D\} [A_i]: \rightarrow \text{matriz de incidência cinemática do elemento} Π_P = \frac{1}{2} \{D\}^T [K] \{D\} - \{D\}^T \{R\} [K] = \sum_{i=1}^{melem} [A_i^T [K_i] [A_i] \{R\} = \{P\} + \sum_{i=1}^{melem} [A_i]^T \{r_e\i\} 55 δΠP = 0 \Rightarrow \frac{\partial Π_P}{\partial Dj} = 0 \rightarrow [K] \{D\} = \{R\} Uma vez introduzidas as condições de contorno e resolvido o sistema de equações, resta calcular as deformações e tensões em cada elemento: \{d_i\}c , [A_i], \{D\} \{e\} = [B_i] \{d_i\}c \{V\} = [E] \{e\} = -[E] \{e_0\} + \{f_v0\} \bullet Comentário O problema do método dos elementos finitos se resume na discretização do domínio em vários elementos e na determinação das funções de interpolação (ou de forma) em cada elemento de forma que garanta a convergência da solução obtida. 56 Resumo da determinação de forças equivalentes nodais para cargas de superfície. \{r_{si}\} = \int_{Se} [N]^T \{\phi\} dSe Forças equivalentes nodais são chamadas consistent por que elas são calculadas utilizando as mesmas funções de forma usadas para calcular a matriz de rigidez do elemento. Forças equivalentes nodais são estritamente equivalentes ao carregamento original distribuído. Elas produzem o mesmo trabalho, quando é dado um campo de deslocamento compatível com as funções de forma. - Carga concentrada - elemento linear C^ f(x) \rightarrow N4(ξ), N3(ξ) N3(ξf) = \frac{b}{a+b} N4(ξf) = \frac{a}{a+b} N1(ξf) = 0 N2(ξf) = 0 r_{e3} = P_3 N_3(ξf) = P_3 \frac{a}{a+b} r_{e4} = P_2 N_4(ξf) = P_2 \frac{a}{a+b} r_{e2} = P_4 N_4(ξf) = P_4 \frac{b}{a+b} r_{e1} = P_3 N_4(ξf) = P_3 \frac{b}{a+b} 57 - carga distribuida - elemento linear C° - carga distribuida - elemento quadrático C° {rf} = \int_{-L/2}^{L/2} [N]^T q dx = \begin{pmatrix} qL/6 \\\ 2qL/3 \\\ qL/6 \end{pmatrix} - Carga distribuida - elemento sólido quadrático C° P = 9A/3 Q = 9A/12 [N] = \begin{bmatrix} 2x^2/L^2 - x/L \\\ -4x^2/L^2 \\\ 2x^2/L^2 + x/L \end{bmatrix} u = [N] \begin{bmatrix} u_1 \\\ u_3 \\\ u_5 \end{bmatrix}