Slide e Lista de Exercícios Resolvida-2021 1

19,76 3,26 0,23 5,10 2,60 2,32 0 Vreal (KN) 1,495 0 4,903 4,05 Nreal (KN) Thank You 1ª Questão: - Determinação geométrica: b = 5 n = 0 c = 1 2x hiperestático bn = 2n +3c = 3 - Escolha dos incógnitos hiperestáticos: Momentos filtros atuantes em A e B. - Superposição de efeitos: 3º Método: Causas Físicas Simultâneas (Resolver os problemas conjuntamente) Vantagens: - Tempo de processamento reduzido Desvantagens: - Só pode ser utilizado considerando as mesmas constantes hiperestáticas Lista de Exercícios – Processo dos Esforços CV36E – TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 17 de março de 2021 1ª Questão: Para a viga da figura pede-se determinar o diagrama de momento fletor e cortante. Dados: E = 21000 kN/cm2 I = 20000 cm4 2ª Questão: Resolver o pórtico da figura abaixo considerando separadamente as seguintes causas físicas: a) Carregamento aplicado. b) Recalque vertical de 3 cm para baixo no apoio D. c) Aquecimento uniforme de t = 60oC. Dados:  = 10-5 (oC)-1 I = 10000 cm4 E = 21000 kN/cm2 3ª Questão: Determine o diagrama de momento fletor para o pórtico abaixo. Dados: A = 10 cm2 I = 10000 cm4 E = 20000 kN/cm2 10 kN 10 kN 1 m 10 kN 2 m 2 m A B C 2 m 1,5 m 3 m A 3 m B C I 2I A 1 m 1 m 4 m 15 kN/m 2I I 2 m D E 3 m 10 kN/m 2 m I D E 2I 20 kN/m A B C 4ª Questão: Resolver a viga contínua pelo Processo dos Esforços adotando como incógnitas hiperestáticas os momentos fletores nos apoios B e C. Traçar os diagramas de força cortante e momento fletor. Dado: E = cte. 5ª Questão: Determinar o diagrama de momento fletor, esforço normal e cortante pelo Processo dos Esforços. Adotar como incógnita hiperestática o esforço axial no tirante. Dados: E = 21000 kN/cm2 I = 5000 cm4 A = 2 cm2 6ª Questão: Determinar os esforços normais nas barras da treliça. Dado: E = 20000 kN/cm2. Obs: Os números entre parênteses indicam a área da seção transversal das barras. Adotar como incógnita hiperestática o esforço normal na barra 1-3. 7ª Questão: Determinar o diagrama de momento fletor, esforços normal e cortante para o pórtico abaixo considerando as cargas aplicadas e a variação de temperatura (simultâneas). Resolver pelo processo dos esforços adotando como incógnita hiperestática o momento fletor em B. Dados: E = 21000 kN/cm2, I = 5000 cm4, hchapa = 50 cm, α = 10-5 oC-5. 8ª Questão: Determinar o diagrama de momento fletor, esforço normal e cortante para o pórtico abaixo considerando os recalques de apoio indicados empregando o processo dos esforços. Dados: E = 20000 kN/cm2 e I = 5000 cm4 . d12 = d21 = [\begin{array}{c}3 \\ 6 \end{array} . 1 . 1] \frac{1}{EI} + \left[ \begin{array}{c} 0 \end{array} \right] \frac{1}{2EI} EId12 = EId21 = 0,50 d22 = [\frac{1}{3} . 1 . 1] \frac{1}{EI} + [\frac{4}{3} . 1 . 1] \frac{1}{2EI} EId22 = 16,7 d20 = d10 + [\frac{1}{3} . 1 . 30] \frac{1}{2EI} EId20 = 10,00 + 20,00 = 30,00 - Cálculo das incógnitas hiperestáticas \begin{array}{ccc}0 = 10,00 + F1 . 7,00 + F2 . 0,50 \\ 0 = 30,00 + F1 . 0,50 + F2 . 16,7 \end{array} F1 = -1,776 kN.m F2 = -7,647 kN.m 1) Determinação geométrica: b: 5 c: 1 2x hiperestática n = 0 bn2: 2n + 3c: 3 Solução pelo processo das Forças: Incógnitas hiperestáticas: esforço nos apoios móveis: \left\{\begin{array}{c}F1 \\ F2\end{array}\right\} Superposição de Efeitos: \begin{array}{c} 10 \\ 10 \\ 15 \text{ kN/m (real)}\end{array} \begin{array}{c} delta_{F1} \\ deltas_{F2} \end{array} \begin{array}{c}10 \\ 10 \\ 110 \\ 60 \end{array} + 15 \text{ kN/m} \begin{array}{c}F1 \\\ um \end{array} \begin{array}{cc}M0 \text{ (kNm)} & \begin{array}{c}30 \\ 250 \\ 140 \\ 80 \\ 20 \end{array} \end{array} \begin{array}{c} (um) & (dois) \end{array} \begin{array}{c}M2 \end{array} Esvacoabilidade de Deslocamentos: \begin{array}{c}d11:0 = d10 + F1 d11 + F2 d12 \\ d22:0 = d20 + F1 d21 + F2 d22 \end{array} Cálculo de Sigi pelo PTV: S_ij = \int_{ut} \frac{M_i M_j}{EI} dv d10 = \frac{1}{EI} \left[\frac{1}{6}\right] [380(2.3 + 2) + 250(3 + 22) \frac{1}{6} [250(2 + 4) + 480 (2 + 2.1) \frac{1}{6} [2.180 + 120 + 120] \rightarrow EId10 = 733,67 + 327,33 = 80 \rightarrow EId10 = 1140 d20 = \frac{1}{EI} \left[\frac{1}{6}\right] \left[320(2.4) + 250(2.6) \frac{1}{6} [250(2.6 + 5) + 480 (6 + 5) + \frac{1}{6} [180(2.5 + 4) + 120(5 + 24) \frac{1}{2EI} [4\left(1/3+2\right)\] \rightarrow EId20 = 1289,67 + 1188,33 = 680 + 240 \rightarrow EId20 = 4000 d11 = \frac{1}{EI} = 3 \left(\frac{1}{3}\right) d22 = \frac{1}{EI} - 3 \frac{1}{FI} 4\(7 + 2.\right)] \rightarrow EId22 = 103,67 d12 = d21 = \frac{1}{FI}\frac{1}{6}(3.2 + 2.4) Cálculo das incógnitas hiperestáticas: 0 = 1440 + 9F1 + 27F2 \rightarrow F1 = -126,67 - 3F2 0 = 4000 + 27F1 + 103,67F2 \rightarrow 4000 = 29( -126.67 - 3F2) Diagrama de momento "real": M_real = M_0 + F1.M1 + F2.M2 \rightarrow M_real = M_0 - 49,93 \text{M1} - 25,58 \text{M2} F1 = -49,93 kN F2 = -25,58 kN Diagrama de cortante real: 1,15 10 10 \triangle 37,68 - 5.55 = 5,51 C) Aquecimento uniforme de Δt=60°C: - Incógnita hiperestática: Momento fletor em B - Superposição de efeitos: F1 (r) (o) (1) Fi Δl Δt ⇒ Δl Δt Δt Δl Δt - Equação de compatibilidade de deslocamentos: d11 = d10 + Fi.d11 = 0 −d10 = F1 - Diagrama de momentos e normais: Caso (1) q1 q1 1 0.25 0.25 0.75 q1 q1 q 0.15 0.25 1 1.5 M1 N1 0.15 1 - Calculo dos deslocamentos pelo PTV: d10 = ∫Mdy/E + ∫Ndu = ∫ndu com du = L.α.Δt d10 = −0,75.10^−5.60.5 + 1.10^−5.60.3 = 0,00735 d11 = 3.10^−4 (do problema 'a') F1 = −d10/d11 = −0.00735/0.000301 = −4,48 - Diagrama de momento fletor real, cortante real e normal real: 4,48 4,48 3,36 M1(κNm) 6,72 4,48 0 V(κN) 1,12 1,12 N(κN) 0 0 0 4,48 0 3,36 0 0 0 0,62 1,12 1,12 q 0,90 3ª Questão: 20 kN/m O I I 2T tirante l5m 3m 2T 3m - Determinação geométrica: b = 7 c = 2 n = 0 1x hiperestática b_n = 2n + 3c = 6 - Escolha dos incógnitos hiperestáticos: Força no tirante. - Superposição de efeitos: 20 20 ≡ + F1 - (r) 20 Fi F1 (o) (1) - Equações de compatibilidade de deslocamentos: d11 = d10 + Fi.d11 = 0 F1 = -d10/d11 Problema zero ∑Fv=0 ⇒ Va + 30 - Vb = 0 Va = -35 ∑FH=0 ⇒ Ha=Hb=75 ∑Fv=0 ⇒ Ve=60+Vb ⇒ Ve=55 ∑FH=0 ⇒ He=75 EMa=0 ⇒ Vb.15 + Hb.2 - 30.0.75 = 0 EMe=0 ⇒ Vb.3 - Hb.5 + 60.75 = 0 -3 Vb - 4 Hb + 45 = 0 3 Vb - 5 Hb + 90 = 0 -9 Hb + 135 = 0 Hb=15 Vb=22.5 - 30 Vb=-7.5 Problema um ∑ME=0 ⇒ Hb.5 - Vb.3 - 1.9 = 0 ∑MA=0 ⇒ Hb.2 + Vb.1.5 = 0 (x2) 9 Hb - 3 = 0 Hb=0.33 0.33.2 + Vb.1.5 = 0 Vb=-0.44 ∑Fv=0 ⇒ Ve=Vb = -0.94 ∑FH=0 ⇒ He+1=Hb He=-0.67 Ha=0.33-1=-0.67 ∑Fv=0 ⇒ Va=Vb = -0.94 ∑FH=0 ⇒ Ha+1=Hb 0.67 0.94 1 1.35 2.01 (se utilizar mais casas decimais, os resultados ficarao identicos ao do FTOOL) δ10 - = 1/(2EI) * 3/3 * 2.45 - 1/(2EI) * 2/6 [2(2.45+75) + 1.35(45+2.75)] -1/EI * 3/3 * 7.5 * 1.75 + 1/EI * 3/3 * 1.35 * 22.5 EI δ10 = -450 - 98.925 - 101.25 + 30.375 = -274.75 EId11=+1/2EI*3/3*2.2-1/2EI*2/6[2(2.2+1.35)+1.35(2+2.175)] +1/EI*3/3*1.35+45.7*1.1*1.0001m² EId11=2 + 2.94 + 7.82 + 0.45 = 7.11 Calculo das incognitas hiperestaticas: F1 = 274.75/7.11 = 30.2 Diagrama do momento fletor real; Mreal = M0 + 30.2 Mh 20kN/m 10kN 20kN 10kN 2m + 4m + 3m + 3m + 1m + 3m + 1m Resolver a viga continua pelo Processo dos Esforcos adotando como incognitas hiperestaticas os momentos flectores nos apoios B e C. Tracar os diagramas de forca cortante e momento fletor. Dados E=cte. Determinacao geometrica: bn = 2n + 3c = 2.0 + 3.1 = 3 be = 5 A estrutura e 2x hiperestatica Escolha dos incognitas hiperestaticas; Momentos flectores atuantes em B e C. Superposicao de efeitos: (Real) (Real Resultante) 20 kN/m 10 kN 20 kN 10 kN 2I 2I 2I I I 2 m 4 m 3 m 3 m 1 m 3 m 1 m (0) + F1 [ 1 ] + F2 [ 1 ] - Equações de Compatibilidade de Deslocamentos (Rotação): Σr = 0 = do + F1.d11 + F2.d12 Σr = 0 = d20 + F1.d21 + F2.d22 - Diagramas de momentos fletores : Caso 0 40 15 10 40 40 90 10 12,5 2 2 2 3 3 1 3 1 ΣMc = 0 = -20.1 + Dy.4 - 10.5 = 0 (0) Dy = 20 + 50 = 17,5 kN ΣFy = 0 = Cy + Dy = 20 - 10 = 0 Cy = 20 x kN = 12,5 Caso 1 0 1 0,5 2 m 4 m 3 m 3 m 1 m Caso 2 1 0 1 1 m 4 m 1 m Cy 4 Dj (0) ΣM1 = 0 = -Cy.4.1 -1 = 0 = Dy =+ ¼ Y = ¾ Cy = -1 ¼ 20 kN/m 2I 2I 2I I I F1 F2 (0) 40 10 40 90 12,5 10 15 (1) 0 1 1/2 0 (2) 0 1/2 1 3/4 0 - Calculo dos deslocamentos pelo PTV 1. 𝛿_jk = ∫_xE Mj ⋅ Mk / EI ⋅ ds 𝛿_11 = ∫ 1/2EI 4 4 + 1/EI ⋅ 6 6 𝛿_11 = 1/2EI ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 1/3 + 1/2EI ⋅ 6 ⋅ 1/3 = (4/3 + 6) ⋅ 1/2EI EI𝛿_11 = 5/3 𝛿_12 = 𝛿_21 = 1/2EI ⋅ 6 => EI𝛿_12 = EI𝛿_21 = 1/2 𝛿_22 = 1/2EI ⋅ 6 6 + 1/EI ⋅ 1 4 4 𝛿_22 = 1/2EI ⋅ 6 ⋅ 1/3 + 1/EI ⋅ 4 ⋅ 1/3 = 1/EI [1 + 4/3] EI𝛿_22 = 3 + 1/3 = 7/3 => EI𝛿_22 = 7/3 𝛿_10 = 1/2EI ⋅ [ 40 4 + 4 1 + + 40 1/2EI ⋅ [ 15 6 + ⋅ 1 6/90 6 𝛿_10 = 1/2EI ⋅ [-4/6 ⋅ 40 ⋅ 1 + 4/3 ⋅ 40 ⋅ 1 + 6/4 ⋅ 15 ⋅ 1 + 6/3 ⋅ 90 ⋅ 1] = 1/2EI ⋅ (229.167) EI𝛿_10 = 114.5833 𝛿_20 = 1/2EI ⋅ [ 6 6 + ⋅ 1 15 90 1/EI ⋅ [ 1 125 . 3/4 + 1/EI ⋅ -10 3 3 30 𝛿_20 = 1/2EI ⋅ [6/4 ⋅ 15 ⋅ 1 + 6/3 ⋅ 90 ⋅ 1] + 1/EI ⋅ [1/6 ⋅ 125 (1 + 2.3)/4] + 1/EI [3/6 ⋅ 3/4 (2 - 125 - 70) 𝛿_20 = 1/2EI [202,5] + 1/EI [5,2083] + 1/EI [5,625] EI𝛿_20 = 112,083 ... EI𝛿_10 = 114,5833 EI𝛿_20 = 112,083 EI𝛿_11 = 5/3 EI𝛿_22 = 7/3 EI𝛿_12 = EI𝛿_21 = 1/2 0 = 114,583 + F_1 ⋅ 5/3 + F_2 ⋅ 1/2 0 = 112,083 + F_1 ⋅ 7/2 + F_2 ⋅ 7/2 F_1 = [114,583 - F_2/2] ⋅ 3/5 0 = 112,083 + 1/2 ⋅ 3/5 ⋅ (-114,583 - F_2/2) + 7/3 ⋅ F_2 0 = 112,089 - 34,375 - 3/20 ⋅ F_2 + 7/3 ⋅ F_2 -77,708 = 2,133 F_2 F_2 = -35,591 F_1 = (-114,583 + 35591/2) ⋅ 1/5 F_1 = -58,072 kNm MR = Mo - 58,072.M4 - 35,591M2 Ponto 1: MA = 40 kNm Ponto 2: MR = 0 - 58,072.1 = -58,072 kNm Ponto 3: MA = 90+15 - 58,072.5 - 35,591.2 = 5,168 kNm Ponto 4: MR = 35,591 kNm Ponto 5: MA = 12,5 - 35,591.7 = -14,193 kNm Ponto 6: MR = -10 kNm 40 561 35,6 492 10,0 35,5 40 4,5 445 61,7 1,7 13 274 6,13 74 10 MR VR 5a Questao: 50 kN 3m 4m 8m I I I A I I 30 kN Determinacao Geometrica: bn = 2n + 3c = 2.0 + 3.2 = 6 be = 2 + 2 + 2 + 1 = 7 : 1 x hiperstática Escolha dos incógnitas hiperestáticas: Esforço axial no tirante. Superposição de efeitos: 50kN (real) 30kN 50kN F1 30kN (real resultante) Adotando h = 20 cm 5000.72 = b 7,5 cm E = 21000 kN/cm2 A = 2 cm2 I = 5000 cm4 h I bh L L1 L2 L = √2 A = 2 cm2 L = 1,414m 50kN 30kN (CASO 0) + F1 1 (CASO 1) - Equilibrio e diagramas do estado: Para o caso 0. 8m 50kN Cy Cx 8m 30kN 3m 4m Chapa I Chapa II Ay Az C2 Cy Cx Ex Ey θ Para o chapa I: ΣMA=0 = -50.8 + Cy.8 - Cx.7 8Cy - 7Cx - 400=0 eq1 ΣFy=0 = -50 + Ay + Cy=0 Ay + Cy=50 eq2 ΣFx=0 = Ax + Cx=0 eq3 Para o chapa II: ΣME=0 = -30.4 + Cy.8 + Cx.7=0 8Cy + 7Cx -120=0 eq4 ΣFy=0 = Ey - Cy=0 Ey=Cy eq5 ΣFx=0 = Ex + 30 - Cx=0 Ex - Cx=30 eq6 Somando eq1 e eq4: 16 Cy - 520=0 => Cy = 32,5 kN Substituindo em eq2: Ay + 32,5 = 50 => Ay = 17,5 kN Substituindo em eq5: Ey = 32,5 kN Usando Cy em eq1: 8. 32,5 - 7 Cx - 400 = 0 Cx = -20 kN Usando Cx em eq3: Ax = 20 kN Usando Cx em eq6: Ex = 30 + Cx = = 30 - 20 Ex = -50 kN [Diagram showing forces] 50 32,5 20 20 32,5 50 30 30 200 kNm 80 kNm (MO) Para o caso 1: [Diagram of structure with dimensions] Para o chapa I: ΣMC=0 = 1.3 - Ax.7 = 0 => Ax = 3/7 ΣFx=0 = Ax + Cx + 1 = 0 => Cx = 4/7 Idem para o chapa II: [Diagram with forces labeled 12/7, M1] (1) (Θ) (N1) - Equações de compatibilidade de deslocamentos: △r = d10 + F1.d11 F1 = -d10/d11 - Calculo dos deslocamentos: Δ10 = 1/EI [-4/3 + 12,80/7 - 8,54. 12,80/3 - 8,54. 12,200/7 - 200 + 4. 12/7 - 200] EId10 = -2007 Δ11 = 1/EI [2.(4/3 + 12/7 + 12/7) + 2.(8,54. 12/3 + 12/7) + 16. 1.(I/I)] Δ11 = 1/EI .24,576 + 16.1 (I/A) + 1/EI . 16. 5000cm^4 + 1/cm^2 10000cm^2 EI d11 = 24,576 + 4 = 28,576 - Calculo das constantes hiperestaticas: F1 = 2007/ 28,576 = 70,234 - Diagramas do estado: Mr = Mo + 70,234M1 404 θ θ (Mr) (KNm) 796 DCL 50 132,5 20 20 (0) 50 132,5 30 1 47 1 3/7 3/7 DCL 17,5 60,13 32,5 30 70,234 70,234 3/7 2/7 199 10,1 17,5 8 m 8 m 32,5 Vr 40,4 9,32 8,54m 9,32 40,4 7,73 8,54m 7,96 70,1 1  m 199 199 4  m 10,1 10,1 Vr +θ θ 4,7 4,7 9,3 93 199 199 93 C 60,13 32,5 60,13^2 + 32,5^2 = 68,35 kN D C 9,32 68,35 N = \sqrt{68,35^2 - 9,32^2} = 67,71 kN D C 60,13 17,5 60,13^2 + 17,5^2 = 62,625 kN D C 4,73 N = \sqrt{62,625^2 - 4,73^2} N = 62,45 kN -62,45 -67,71 -17,5 -32,5 +70,2 N_A