Listas 7 e 8 Processamento Digital de Sinais-2022 1

EL36F - Processamento Digital de Sinais - Lista de Exercicios 7 Professor: Eduardo Alves Hodgson 2022-1 1. Considere o sinal Wn x(n] = 10 (5) u[n] — 2(2)" u[—n — 1] (a) Calcule a transformada z. (Como no slide 17, usem a tabela de par de transformadas do slide 39 da aula) (b) Esboce o plano z com com polos, zeros e a regiao de convergéncia. R: polos z; = 1/3 e z2 =2e zeros em 21 = 0 e z,; = 1,6111 = 58/36. (c) Analisando a RDC, a transformada de Fourier de x[n] converge? 2. Considere a expresso algébrica para transformada z de x[n] é 1-4, X(z) = ———__1.__.—_ (2) (1+ 4272)(1 + 3271 + 227?) (a) Esboce o diagrama de polos e zeros no plano z. R: Polos em z, = j/2, z2 = —j/2, 23 = —1/2, zq = —3/4. Zeros em z1 = 1/2, z2 = —1/2. (b) Apresente as possiveis regides de convergéncia de X(z). Indique se a transformada de Fourier converge ou nao nestas regioes. 3. Encontre a transformada Z inversa utilizando fracoes parciais de 1—4,-1 X(z) = ———__3—___ 2. ©) = Gy eng dey ll > 4. Calcule a transformada z inversa dos sinais e sistemas abaixo. (a) X(z) =10+327! +5277 4 3278 (b) H(z) =2/3+527-'+12? 5. Considere agora que o sinal X(z) do exercicio (2) agora é a expressao algébrica de um sistema LIT H(z): 1—1,-? H(z) = ———__+7—__.—— (2) (1+ 427?)(1 + 3271 + 3277) (a) Analisando apenas a expressao algébrica de H(z), este sistema é causal? Justifique. (b) Este sistema é estdvel? Justifique. (c) Esboce o diagrama de blocos a partir de H(z). 6. Seu colega estagidrio projetou os 4 sistemas abaixo. Cheque se eles sao causais e estaveis. (a) H(z) = 10+ 327145277 +3273 (b) H(z) =2/34+52°1+12? y—iz-1 _ 3 () Fe) = Gaya d) H(z) = 1322 (d) H(z) = Tet 1 7. Considere o sistema LTI causal onde a entrada z[n| e a saida y[n] estao relacionadas pelo diagrama de blocos abaixo x[n] —>( + rs + -—> yin] 2 CH) - 6}->@) 1 9 (a) Determine a equagao de diferengas que relaciona y[n| e x[n] utilizando o slide 56 da aula teérica. (b) Calcule a transformada z da equacao de diferengas do item (a) usando a tabela de transformada z do sinal 6[n — no]. Em seguida obtenha H(z). (c) Esboce o diagrama de polos e zeros no plano z. (d) Analisando H(z), este sistema é causal? Justifique. (e) Este sistema é estavel? Justifique. 8. Considere a resposta ao impulso h[n] abaixo: 1 n h[n] = 2 () ul[n] + d[n + 1] (a) Calcule a transformada z. (b) Esboce o plano z com com polos, zeros e a regiéo de convergéncia. R: polo z = 1/4 e zeros em z=—4/3. (c) Analisando a RDC, este sistema LIT é estavel? (d) Analisando a expressao algébrica de H(z), este sistema LIT é causal? 2 EL36F - Processamento Digital de Sinais - Lista de Exerc´ıcios 8 Professor: Eduardo Alves Hodgson 2022-1 1. Calcule a DFS das seguintes sequˆencias peri´odicas e confira seu resultado com o comando fft(x) do Matlab/Octave. A primeira amostra de cada vetor representa n = 0. Na letra (b), esboce o espectro de ˜X[k] de 0 a N e escreva as frequˆecias de 0 a 2π rad logo abaixo dos valores de k. (a) ˜x[n] = {3 2 1} (b) ˜x[n] = {1 0 − 1 0} 2. Calcule a DFS inversa da seguinte sequˆencia peri´odica e confira seu resultado com o comando ifft(x) do Matlab/Octave. A primeira amostra de cada vetor representa n = 0. (a) ˜X[k] = {1 0 1 0} 3. Obtenha os deslocamentos circulares abaixo dos seguintes sinais finitos. A primeira amostra de cada vetor representa n = 0. (a) x((n − 2))5 de x[n] = {5 4 3 2 1}: (b) x((n + 1))7 de x[n] = {5 4 3 2 1}: 4. Obtenha a convolu¸c˜ao circular de N = 3 entre x1[n] ⊚ N x2[n] abaixo. Conferir o resultado no Ma- tlab/Octave. A primeira amostra de cada vetor representa n = 0. (a) x1[n] = {4 3 2} ⊚ 3 x2[n] = {0 1} (b) x1[n] = {1 2 3} ⊚ 3 x2[n] = {1 1} 5. Qual o menor valor de N necess´ario para que a convolu¸c˜ao circular de x1[n] e x2[n] seja igual a convolu¸c˜ao linear, ou seja: x1[n] ⊚ N x2[n] = x1[n] ∗ x2[n]. A primeira amostra de cada vetor representa n = 0. Conferir resultado no Matlab. (a) x1[n] = {4 3 2 1 0} e x2[n] = {2 1} (b) x1[n] = {1 2 3} e x2[n] = {1 1 0 0 2 2} 6. Usando a propriedade do deslocamento circular na frequˆencia, obtenha Y [k] dado que: (a) X[k] = {1 1 0 0}, h[n] = W −n 4 e y[n] = x[n] · h[n]. A primeira amostra de X[k] representa k = 0. 1 7. Calcule a DFT do exerc´ıcio 1(b) utilizando o diagrama de fluxo da FFT com decima¸c˜ao no tempo de 4 pontos abaixo. Figura 1: Diagrama de fluxo da DFT de 4 pontos com opera¸c˜ao borboleta. 2