Slide Projeto de Filtros Iir por Filtros Analógicos-2022 2

Processamento Digital de Sinais Projeto de Filtros IIR por Filtros Anal´ogicos Projeto de Filtros IIR por Filtros Anal´ogicos Convertem-se prot´otipos de filtros anal´ogicos para vers˜oes digitais. Ingle e Proakis, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 25/57 Processamento Digital de Sinais Projeto de Filtros IIR por Filtros Anal´ogicos Para filtros anal´ogicos, costuma-se usar especifica¸c˜oes de resposta de magnitude quadrada. Ingle e Proakis, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 26/57 As constantes ¢ e A sao chamados de parametros de ripple da banda de passagem e de atenuacgao da banda de rejeicao respectivamente. R, = —101o _! _, = V10%r/10 _ 4 p S10 l+e e= iQ)? | 1 A; /20 |Ha(JQp)"| = Tie at 2=Q% A, = —10 logy, 2 A=104/ 1 |Ha(JQs)"| = Ge at N= 2. I~ / _, = 2v% 1 + 04 1 + e2 1 —_ 01 69 1 146, 1+ 06, A 62 Processamento Digital de Sinais Projeto de Filtros IIR por Filtros Anal´ogicos Como se deseja encontrar um filtro causal e est´avel, este deve possuir somente polos no semiplano esquerdo do plano s. Assim, escolhem-se esses polos de |Ha(jΩ)|2. Al´em disso, escolhem-se os zeros tamb´em no semiplano esquerdo para que o sistema seja de fase m´ınima. Ingle e Proakis, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 28/57 Processamento Digital de Sinais Projeto de Filtros IIR por Filtros Anal´ogicos (i) Filtro Butterworth |Ha(jΩ)|2 = 1 1 + (Ω/ΩC)2N Ingle e Proakis, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 29/57 Caracteristicas dos filtros Butterworth: © |A.(jQ)|? = 1, para Q = 0. © |A,(§2)|? = 0,5, para = Q.. © |H.(jQ)|? 6 uma funcgao monoténica decrescente de 2. © |H.(jQ)|? 6 maximamente plana em 2 = 0. e H,(s)Ha(—s) possui 2N polos com médulo 2, e espagamento angular 7/N. ¢ Um polo sé cai no eixo real se N for impar. jo a» an R,p/10 A,/10 ’ y — | logro [ote = 1/04 — 1] / p -7\ 2594/2.) tg j 4 t \ i Q = en ‘Nye eh. c 2N/1QRp/10 — 1 ~2Le™ k=2N-1 N=3 Ingle e Proakis, 2012 (ii) Filtro Chebyshev tipo I cos(N cos~!(a)), |a| <1 T. — 9 — 1 w(x) { cosh(cosh~'(a)), |a| > 1 H,(jQ)? = ———~ aN = Tar aya,) Troi(«) = 24T), (x) — Ty-i(a), k>1 Q. = Xp To(a) =1leTi(#) =2 |HJQ)P |H,UQ)P Th NG N Odd 1 RG N Even A A 0 1 or Eo 0 1S eo a. Q, Ingle e Proakis, 2012 (iii) Filtro Chebyshev tipo II Nv [ tosio [9+ Ve? = 1] . 1 | lo, + (R= 1 | |Ha(jQ)? = ——— B10 [ee VEE 1+ [e?Th(Qe/2)] a= ./(A2 —1)/2?, O, = O5/Qp |Ha(j2)|? 1 1/A se i seit 9 Ingle e Proakis, 2012 (iv) Filtro Eliptico usa a fungao eliptica Jacobiana Uy. 2 y K(k)K (V1—#) 1 K(k, )K (V1 — k?) H,(4Q)|? = ———______ |Ha(I2)| 1+ 2202 (2/2.) k =Q)/Qs, ky = €/V/(A? — 1) Q. = OQ» Tv do Ka) = | —S— 0 V1—2x*sen?0 |H,G2)/ |Ha iQ) A A 1 ---FAN5 N Odd TAHT N Even 1 |WX4___ tbe ee 1+ i 1+¢4 | | | | | 4 | 1 Fr rere pres tT Leese n\n “ a * Q 0 Oo: 0 2. i” Ingle e Proakis, 2012 Processamento Digital de Sinais M´etodo da Invariˆancia ao Impulso M´etodo da Invariˆancia ao Impulso Usa-se um mapeamento do plano s para o plano z: H(z) = Ha(s)|s=m(z) O mapeamento m(z) deve ter as seguintes propriedades: • O eixo jΩ deve ser mapeado para o c´ırculo unit´ario. • Pontos do lado esquerdo do plano s devem ser mapeados para pontos dentro do c´ırculo unit´ario. • m(z) deve ser uma fun¸c˜ao racional de z de tal forma que fun¸c˜oes racionais Ha(s) sejam mapeadas para fun¸c˜oes racionais H(z). No m´etodo de invariˆancia ao impulso, a convers˜ao ´e feita pela amostragem da resposta impulsiva do filtro anal´ogico: h[n] = ha(nT) Assim, z = esT , portanto polos s = pk s˜ao mapeado em zk = epkT . P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 34/57 jQ , Im {2} - a5 === == -----43n/T o _Many-to-one Re {z} Transformation wo 22-2 -------4-a/T esTaz SS -30/T s-plane z-plane Ingle e Proakis, 2012 N N Rr Re Hals) => => Ai) =p —* 8 — Dk 1 — eprT z-1 k=1 k=1 Nesse mapeamento, ocorre aliasing da resposta de frequéncia, portanto é um método restrito a filtros analégicos com banda limitada. Processamento Digital de Sinais M´etodo da Invariˆancia ao Impulso Exemplo 7.7 Obtenha H(z) a partir de Ha(s) abaixo usando o m´etodo da invariˆancia ao impulso. Repita o exemplo usando a fun¸c˜ao imp invr.m. Ha(s) = s + 1 s2 + 5s + 6 Resposta: H(z) = 1 − 0, 8966z−1 1 − 1, 5595z−1 + 0, 6065z−2 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 36/57 Processamento Digital de Sinais M´etodo da Invariˆancia ao Impulso Exemplo 7.8 Projete um filtro IIR passa-baixa usando prot´otipo Butterworth pelo m´etodo da invariˆancia ao impulso com as seguintes especifica¸c˜oes: ωP = 0, 2π, ωS = 0, 3π, RP = 1 dB e AS = 15 dB P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 37/57 Processamento Digital de Sinais M´etodo da Invariˆancia ao Impulso Exemplo 7.8 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 38/57 Processamento Digital de Sinais M´etodo da Invariˆancia ao Impulso Exemplo 7.8 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 39/57 Processamento Digital de Sinais M´etodo da Invariˆancia ao Impulso Exemplo 7.9 Projete o mesmo filtro IIR anterior usando prot´otipo Chebyshev I. P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 40/57 Processamento Digital de Sinais M´etodo da Invariˆancia ao Impulso Exemplo 7.9 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 41/57 Processamento Digital de Sinais Método da Transformagao Bilinear ie — raves oT vane Método da Transformacao Bilinear Método baseado em um mapeamento definido por: 21—2z7! A(z) = Ha | => Tit+2z- Neste mapeamento, nao ocorre aliasing, porém a transformacao é nao-linear. ja Im {z} Unit Circle o _ One-to-one Re {z} Transformation 1+(sT/2) 1-(sT/2) = 7 s-plane z-plane Ingle e Proakis, 2012 A transformagao nao-linear é dada pela seguinte modificagao de frequéncia: OT w = 2tan~t {| — 2 Assim, deve-se pré-distorcer as especificagdes de frequéncia do filtro antes de se projetar o filtro analdgico, sendo: 2 Ww Q=—tan (=) T 2 E um método usado geralmente para filtros de selegao de frequéncia. Processamento Digital de Sinais M´etodo da Transforma¸c˜ao Bilinear Exemplo 7.10 Novamente, obtenha H(z) a partir de Ha(s) abaixo, por´em use o m´etodo da transforma¸c˜ao bilinear. Repita usando a fun¸c˜ao bilinear.m. Ha(s) = s + 1 s2 + 5s + 6 Resposta: H(z) = 0, 15 + 0, 1z−1 − 0, 05z−2 1 + 0, 2z−1 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 44/57 Processamento Digital de Sinais M´etodo da Transforma¸c˜ao Bilinear Exemplo 7.11 Projete o mesmo filtro IIR anterior usando prot´otipo Butterworth com trans- forma¸c˜ao bilinear. P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 45/57 Processamento Digital de Sinais M´etodo da Transforma¸c˜ao Bilinear Exemplo 7.11 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 46/57 Processamento Digital de Sinais M´etodo da Transforma¸c˜ao Bilinear Exemplo 7.12 Projete o mesmo filtro IIR anterior usando prot´otipo El´ıptico com transforma¸c˜ao bilinear. P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 47/57 Processamento Digital de Sinais M´etodo da Transforma¸c˜ao Bilinear Exemplo 7.12 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 48/57 Processamento Digital de Sinais Transforma¸c˜oes de Frequˆencia Transforma¸c˜oes de Frequˆencia Ingle e Proakis, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 49/57 Processamento Digital de Sinais Transforma¸c˜oes de Frequˆencia (i) Transforma¸c˜ao do filtro digital (abordagem 2) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 50/57 Processamento Digital de Sinais Transforma¸c˜oes de Frequˆencia Ingle e Proakis, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 51/57 Processamento Digital de Sinais Transforma¸c˜oes de Frequˆencia Exemplo 7.13 Projete um filtro IIR passa-alta usando prot´otipo Chebyshev I com as seguintes especifica¸c˜oes: ωP = 0, 6π, ωS = 0, 3π, RP = 1 dB e AS = 15 dB Para isso, usa-se a fun¸c˜ao zmapping. Projeta-se um filtro passa-baixa com as especifica¸c˜oes do exemplo anterior. P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 52/57 Processamento Digital de Sinais Transforma¸c˜oes de Frequˆencia Exemplo 7.13 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 53/57 Processamento Digital de Sinais Transforma¸c˜oes de Frequˆencia Exemplo 7.13 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 54/57 Processamento Digital de Sinais Transforma¸c˜oes de Frequˆencia (ii) Transforma¸c˜ao do filtro anal´ogico (abordagem 1) Esta abordagem baseia-se nas fun¸c˜oes do Toolbox de Processamento de Sinais do MATLAB e transforma¸c˜oes no plano s. Ingle e Proakis, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 55/57 Processamento Digital de Sinais Transforma¸c˜oes de Frequˆencia Exemplo 7.14 Projete um filtro IIR rejeita-faixa usando prot´otipo Chebyshev II com as especi- fica¸c˜oes abaixo. Para isso, usam-se as fun¸c˜oes cheb2ord e cheby2. ωP = 0, 25π e 0, 8π, ωS = 0, 4π e 0, 7π, RP = 1 dB e AS = 40 dB. P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 56/57 Processamento Digital de Sinais Transforma¸c˜oes de Frequˆencia Exemplo 7.14 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 57/57