Slide Introdução a Transformada de Wavelet-2022 2

Processamento Digital de Sinais 8. Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet Referˆencias: • M. Misiti, Y. Misiti, G. Oppenheim, J.-M Poggi. Wavelet Toolbox: For Use with MATLAB. User’s Guide, v.1. Mathworks, 1996. • P. S. R. Diniz, E. A. B. Silva, S. L. Netto. Digital Signal Processing: System Analysis and Design. 2nd ed. Cambridge, 2010. • I. Daubechies. Ten Lectures on Wavelets. Pennsylvania: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1991. • M. Vetterli, C. Herley. Wavelets and filters banks: theory and design. IEEE Transactions on Signal Processing, v. 40, p. 2207-2232, 1992. • S. Mallat. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation. IEEE Pattern Anal. and Machine Intell., v. 11, n. 7, p. 674-693, 1989. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 1/68 Processamento Digital de Sinais Transformada de Fourier Decomposi¸c˜ao de um sinal em sen´oides de diferentes frequˆencias. Desvantagem: Ao se levar os sinais para dom´ınio da frequˆencia, perde-se a sua informa¸c˜ao temporal (n˜ao-estacionariedade / transit´orios). P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 2/68 Processamento Digital de Sinais Transformada de Fourier de Tempo Curto An´alise de uma se¸c˜ao do sinal por vez (janelamento). Proporciona informa¸c˜oes do tempo e da frequˆencia de um sinal, por´em com pouca precis˜ao, determinada pelo tamanho da janela. A janela ´e de tamanho fixo, portanto, sem modifica¸c˜ao da precis˜ao de tempo e frequˆencia. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 3/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet An´alise do sinal usando regi˜oes de tamanhos vari´aveis. Intervalos maiores para maior precis˜ao de baixas frequˆencias e menores aonde se quer mais informa¸c˜ao de alta frequˆencia. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 4/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Detectar aspectos dos sinais que s˜ao ignorados por outras ferramentas, como tendˆencias, pontos de quebra, descontinuidades e auto-similaridade. Al´em disso, por ser uma abordagem diferente, provˆe outras formas de filtragem e compress˜ao de sinais. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 5/68 Processamento Digital de Sinais Wavelet A wavelet ´e uma forma de onda com dura¸c˜ao finita com valor m´edio nulo. Ge- ralmente, irregulares e assim´etricas. A an´alise wavelet consiste em decompor um sinal em vers˜oes atrasadas e escalo- nadas da onda wavelet m˜ae. Essa an´alise pode ser usada em mais de uma dimens˜ao como, por exemplo, em imagens. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 6/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Continua Transformada Wavelet Continua A Transformada de Fourier de um sinal f(t) é dada pela soma, em todo tempo t, do sinal f(t) multiplicado por uma exponencial complexa: +00 : F(w)= / f(te%"" dt —Cco O resultado F'(w) é multiplicado por sendides de frequéncia w. f\ \ | \ | \ Fourier A /\ I \, | \, / \ \ 1 ~\ | ~\ | \ | \ N\ | \ f\ Wp Wi mm FV rl AAA . \ | \] \ f \ ] PV EVE Gy NAAKNAA \| \{ Transform \f \ L\) \i Vy PVT \ VV py awe VJ Vy / VY J) Vv ye VVVV VV Signal Constituent sinusoids of different frequencies De forma similar, a Transformada Wavelet Continua (CWT) é dada pela soma, em todo tempo ¢, do sinal f(t) multiplicado por versdes escaladas e deslocadas da fungao wavelet w(t): +00 C(escala,posigao) = / f (t)w(escala,posigao) dt —Cco O resultado sao coeficientes C’ que dependem da escala e posigao da fungao wavelet. \ f\ \ I \ Wavelet | \ im = —\ |(\\— py | 4 — WY | la | —\- we \ \ Transform ——/ |\-— =i \ \ —_\(\v-— Signal Constituent wavelets of different scales and positions Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Cont´ınua Escala: Comprimir ou expandir a fun¸c˜ao por um fator de escala a. Esse fator est´a relacionado com a frequˆencia do sinal. Deslocamento: Atrasar ou adiantar a fun¸c˜ao por um fator k, ou seja, f(t − k). P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 9/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Cont´ınua As etapas para se obter a CWT de um sinal s˜ao: 1 Compara-se a wavelet com um trecho do sinal; 2 Calcula-se o n´umero C que indica a correla¸c˜ao desse trecho com a wavelet; 3 Desloca-se a wavelet para a direita e repete os passos anteriores; 4 Escala-se a wavelet e repetem-se os passos anteriores. 5 Repetem-se os passos anteriores para todas as escalas. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 10/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Cont´ınua Por fim, tem-se os coeficientes para diferentes escalas e regi˜oes do sinal. Esses coeficientes s˜ao o resultado de uma regress˜ao do sinal original sobre as wavelets. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 11/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Cont´ınua As escalas mais altas correspondem `as wavelets mais esticadas. Quanto maior a wavelet, maior a por¸c˜ao do sinal coberta por ela e, portanto, maiores as carac- ter´ısticas sendo medidas. • Escala baixa → wavelet comprimida → detalhes com mudan¸ca r´apida → altas frequˆencias • Escala alta → wavelet esticada → detalhes com mudan¸ca lenta → baixas frequˆencias P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 12/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Cont´ınua A an´alise de um gr´afico em tempo-escala ´e interessante para diversos tipos de problemas, especialmente aqueles com natureza fractal. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 13/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Cont´ınua A CWT opera em tempo discreto, por´em ´e chamada de “cont´ınua” devido `a natureza das escalas, as quais podem variar desde o tamanho do sinal at´e o valor necess´ario para se analisar caracter´ısticas de alta frequˆencia desejadas. Al´em disso, o deslocamento das wavelets tamb´em ´e cont´ınuo, sendo variado sobre todo o dom´ınio do sinal analisado. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 14/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta Transformada Wavelet Discreta O princ´ıpio da Transformada Wavelet Discreta (DWT) ´e o mesmo da CWT, por´em utilizam-se somente alguns valores de escalas e deslocamentos, por isso a sua natureza discreta. Os valores de escala e deslocamento s˜ao potˆencias de 2 (dyadic). A obten¸c˜ao da DWT ´e baseada no conceito de codificador de sub-banda em dois canais (two-channel subband coder), dando origem a Transformada Wavelet R´apida (FWT), desenvolvida por S. Mallat em 1989. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 15/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta Aproxima¸c˜oes e Detalhes Na an´alise usando a DWT, decomp˜oe-se os sinais em duas partes: aproxima¸c˜oes e detalhes. A aproxima¸c˜ao ´e referente `as altas escalas, os componentes de baixa frequˆencia do sinal. O detalhe ´e referente `as baixas escalas, os componentes de alta frequˆencia do sinal. Esses sinais s˜ao obtidos usando-se um filtro passa-baixa e um passa-alta. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 16/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 17/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta DWT Multin´ıvel ´Arvore DWT P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 18/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 19/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta Reconstru¸c˜ao DWT Inverse discrete wavelet transform (IDWT) P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 20/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta Filtros Wavelet Os filtros de passa-baixa e passa-alta de decomposi¸c˜ao (L e H), juntos com os fil- tros associados de reconstru¸c˜ao (L’ e H’) formam um sistema de filtros espelhados de quadratura (quadrature mirror filters). Nessa configura¸c˜ao, o aliasing adicionado na decomposi¸c˜ao ´e cancelada na re- constru¸c˜ao. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 21/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 22/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 23/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 24/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta Defini¸c˜ao Matem´atica da DWT Os bancos de filtros s˜ao a base para a DWT, sendo Hk(z) e Gk(z) os filtros de an´alise e s´ıntese respectivamente. Quando o sinal original pode ser reconstru´ıdo, o banco de filtros ´e chamado de reconstru¸c˜ao perfeita. Nesse caso, os efeitos do aliasing se cancelam com a aplica¸c˜ao dos filtros. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 25/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta Exemplo de banco de filtros de reconstru¸c˜ao perfeita com entrada em rampa. Esse efeito ainda ´e v´alido mesmo quando os filtros n˜ao s˜ao ideais e resultem em bastante aliasing. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 26/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta Para obten¸c˜ao dos filtros, usa-se o projeto de banco CQF (Conjugate Quadrature Filters). O filtro passa-altas de an´alise ´e obtido como a resposta impulsiva do filtro passa- baixas com tempo invertido e sinais alternados, sendo N a ordem do filtro. H1(z) = −z−NH0(−z−1) Para os filtros de s´ıntese, para resultar em reconstru¸c˜ao perfeita, tem-se: G0(z) = z−NH0(z−1) G1(z) = −H0(−z) P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 27/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta Com base nos bancos de filtros, tem-se a decomposi¸c˜ao multin´ıvel em banda oitava (octave band). Se H0(z) possuir zeros suficientes em z = −1, a envolt´oria de h1[n] possui sempre o mesmo formato para todos os n´ıveis de decomposi¸c˜ao. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 28/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta Essa envolt´oria pode ser representada por expans˜oes e contra¸c˜oes de uma fun¸c˜ao wavelet ψ(t). A cada novo est´agio de decomposi¸c˜ao, h1[n] fica com o dobro da largura e a taxa de amostragem fica com metade do valor. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 29/68 Processamento Digital de Sinais Transformada Wavelet Discreta Quando a wavelet ´e expandida, sua largura de banda diminui. Como as bandas se cruzam, cobre-se todo o espectro de frequˆencias. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 30/68 Novamente, se Ho(z) possuir zeros suficientes em z = —1, as envoltérias dos filtros passa-baixas de andlise serao expansoes e contragoes de uma fungao escala ot). As relagoes entre os filtros e as fungdes wavelet de andlise e sintese, w(t) e w(t), e escala de andlise e sintese, d(t) e o(t), sao: oe — ho[n] = / b(t) V26(2t + n) dt —c0 / hy[n] = / b(t) V20(2t — n) dt ~c0 / woln) =f w(t}v26(2t-+ n) at ~c0 / nln) =f BV 26(2t —n) at —oco Quando ¢(t) = @(t) e v(t) = H(t), a DWT é caracterizada como ortogonal, senao, é biortogonal. As fungoes wavelet possuem trés caracteristicas: tém média nula; sao normaliza- das, ou seja, ||w(t)|| = 1; e sdo centradas na vizinhanga de t = 0. Para atender ao critério da normalizagao, tem-se: Ho(1) = Go(1) = v2 Ho(—1) = Go(-1) =0 Considerando a escala s e deslocamento u, a DWT de um sinal x(t) é dada por: (rus) =f ott) (—*) a= [ oour coat Cu.g = (x = a(t) — — = x US »Vu,ys _ Vs 5 _ U,s E o sinal x(t) pode ser decomposto como: CO CO a(t) = S> S> Cu,sVu,s(t) Uu=— OO 8s=—0O Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets Fam´ılias de Wavelets Existem diversas fam´ılias de wavelets, com qualidades que diferem conforme al- gumas caracter´ısticas: • Suporte das fun¸c˜oes φ(t), ¯φ(t), ψ(t) e ¯ψ(t), o qual est´a associado a velocidade de convergˆencia da fun¸c˜ao para zero e se relaciona com localiza¸c˜ao tempo- frequˆencia. • Simetria: interessante para processamento de imagens. • N´umero de momentos de ψ ou φ que decaem (vanishing moments): equi- valente a dizer que ´e o n´umero de derivadas da transformada de Fourier do filtro que s˜ao zero quando avaliadas em zero. Quanto maior o n´umero, menos coeficientes wavelet precisam ser usados para descrever fun¸c˜oes mais complexas. • Regularidade: interessante para obter maior suavidade de reconstru¸c˜ao de sinais. • Existˆencia da fun¸c˜ao φ. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 33/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets Fam´ılia Haar e Daubechies Os filtros da fam´ılia Daubechies s˜ao caracterizados por terem suporte compacto, o mais alto n´umero de momentos que decaem para um dada ordem. Os filtros escala s˜ao de fase m´ınima. Exemplo de filtro de comprimento 8 (db4). P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 34/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets O comprimento do filtro ´e 2N, sendo N a ordem. O n´umero de momentos que decaem ´e N. A maioria dos filtros Daubechies s˜ao n˜ao sim´etricos. A regularidade cresce com a ordem e a an´alise ´e ortogonal. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 35/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets A fam´ılia Haar ´e composta de somente um filtro, descont´ınuo e que lembra uma fun¸c˜ao degrau, sendo o mais simples e o primeiro a ser desenvolvido. O filtro Daubechies db1, ou seja, comprimento 2N = 2, ´e equivalente ao Haar. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 36/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets Exemplo 8.1 No MATLAB, obtenha informa¸c˜oes da fam´ılia Daubechies, apresente as fun¸c˜oes scaling e wavelet e os filtros de an´alise e s´ıntese para db10. Para isso, s˜ao usados os comandos: % Informa¸c~oes da fam´ılia Daubechies waveinfo(’db’) % Fun¸c~oes scaling e wavelet [phi, psi,xval] = wavefun(’db10’,20); subplot(211); plot(xval,phi); subplot(212); plot(xval,psi); % Filtros de an´alise e s´ıntese [LoD,HiD,LoR,HiR] = wfilters(’db10’); subplot(221); stem(LoD); subplot(222); stem(HiD); subplot(223); stem(LoR); subplot(224); stem(HiR); P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 37/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets Exemplo 8.1 Fun¸c˜oes scaling e wavelet 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.5 0 0.5 1 db10 Scaling Function 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 0 1 db10 Wavelet P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 38/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets Exemplo 8.1 Filtros de an´alise e s´ıntese 0 5 10 15 20 -0.5 0 0.5 1 Lowpass Analysis Filter 0 5 10 15 20 -1 -0.5 0 0.5 1 Highpass Analysis Filter 0 5 10 15 20 -0.5 0 0.5 1 Lowpass Synthesis Filter 0 5 10 15 20 -1 -0.5 0 0.5 1 Highpass Synthesis Filter P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 39/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets Fam´ılia Symlet Os filtros da fam´ılia Symlet s˜ao quase sim´etricos, suporte compacto, o mais alto n´umero de momentos que decaem para um dada ordem. Os filtros escala tˆem fase quase linear. Exemplo de filtro de comprimento 8 (sym4). P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 40/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets Fam´ılia Coiflet Os filtros da fam´ılia Coiflet possuem suporte compacto, o mais alto n´umero de momentos que decaem de φ e ψ para um dada ordem. Ex. filtro N = 6 (coif3). P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 41/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets Outras Fam´ılias Outras fam´ılias populares s˜ao: Biorthogonal, Morlet, Mexican Hat e Meyer. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 42/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets Resumo P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 43/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 44/68 Processamento Digital de Sinais Fam´ılias de Wavelets P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 45/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Aplica¸c˜oes A Wavelet Toolbox do Matlab apresenta diversas fun¸c˜oes para uso da DWT: P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 46/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 47/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes An´alise e S´ıntese com DWT Exemplo 8.2 Realizar a an´alise e s´ıntese de um sinal de consumo de energia el´etrica durante trˆes dias, o qual possui ru´ıdo devido ao mau funcionamento do equipamento de monitora¸c˜ao (Misiti et. al, 1996). 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 Tempo [amostras] Amplitude Realiza-se a decomposi¸c˜ao em aproxima¸c˜ao e detalhe usando db1 (Haar) e a s´ıntese de volta ao sinal original. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 48/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.2 (Continua¸c˜ao) load leleccum s = leleccum; ls = length(s); [cA1,cD1] = dwt(s,’db1’); A1 = upcoef(’a’,cA1,’db1’,1,ls); D1 = upcoef(’d’,cD1,’db1’,1,ls); A0 = idwt(cA1,cD1,’db1’,ls); 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 Aproximação A1 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 Detalhe D1 P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 49/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.3 Realizar a decomposi¸c˜ao multin´ıvel (3 n´ıveis) do sinal do exemplo anterior. load leleccum; s = leleccum; ls = length(s); [C,L] = wavedec(s,3,’db1’); cA3 = appcoef(C,L,’db1’,3); cD3 = detcoef(C,L,3); cD2 = detcoef(C,L,2); cD1 = detcoef(C,L,1); A3 = wrcoef(’a’,C,L,’db1’,3); D1 = wrcoef(’d’,C,L,’db1’,1); D2 = wrcoef(’d’,C,L,’db1’,2); D3 = wrcoef(’d’,C,L,’db1’,3); A0 = waverec(C,L,’db1’); % reconstru¸c~ao P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 50/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.3 (Continua¸c˜ao) 0 1000 2000 3000 4000 100 200 300 400 500 600 Approximation A3 0 1000 2000 3000 4000 −30 −20 −10 0 10 20 30 Detail D1 0 1000 2000 3000 4000 −30 −20 −10 0 10 20 30 Detail D2 0 1000 2000 3000 4000 −30 −20 −10 0 10 20 30 Detail D3 P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 51/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Remo¸c˜ao de Ru´ıdo Exemplo 8.4 Remover o ru´ıdo do sinal de consumo de energia el´etrica usando duas abordagens: (a) Sele¸c˜ao de componentes. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 52/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.4 (Continua¸c˜ao) (b) Limiares nos componentes. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 53/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.4 (Continua¸c˜ao) [thr,sorh,keepapp] = ddencmp(’den’,’wv’,s); clean = wdencmp(’gbl’,C,L,’db1’,3,thr,sorh,keepapp); 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 100 200 300 400 500 600 Original 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 100 200 300 400 500 600 De−noised P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 54/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.5 Analise o espectro de frequˆencias de um sinal composto por ´audio mais ru´ıdo senoidal e realize a decomposi¸c˜ao com DWT de 2 n´ıveis usando coif5. load audio Ts = 1/Fs; t = (0:length(y)-1)*Ts; figure; plot(t,y) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Tempo [s] -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Amplitude [V] P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 55/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.5 (Continua¸c˜ao) [X,f]=fft_m(y,fs,’onesided’,0); figure; plot(f/1000,X) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Frequência [kHz] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Magnitude P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 56/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.5 (Continua¸c˜ao) wlet = ’coif5’; L = 2; [C,L] = wavedec(y,L,wlet); figure; plot(C) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 índice ×104 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Amplitude Coeficientes Originais A2 D2 D1 P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 57/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.5 (Continua¸c˜ao) Cmod = wthcoef(’d’,C,L,[1 2]); figure; plot(Cmod) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 índice ×104 -10 -5 0 5 10 Amplitude Coeficientes limitados P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 58/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.5 (Continua¸c˜ao) yf = waverec(Cmod,L,wlet); Y=fft_m(y,fs,’onesided’,0); 0 2 4 6 8 10 12 Frequência [kHz] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Magnitude Filtragem com DWT Espectro original Espectro Filtrado P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 59/68 Processamento Digital de Sinais Aplica¸c˜oes Exemplo 8.5 (Continua¸c˜ao) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Frequência [kHz] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Magnitude Filtragem com DWT Espectro original Espectro Filtrado P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 60/68 Processamento Digital de Sinais Wavelet Packets 8.5. Wavelet Packets A decomposi¸c˜ao por wavelet packets (WPD) ´e similar `aquela usando DWT, por´em a WPD resulta em uma an´alise mais completa do sinal, pois decomp˜oe as aproxima¸c˜oes e os detalhes. Uma aplica¸c˜ao comum ´e a compress˜ao de sinais. P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 61/68 Processamento Digital de Sinais Wavelet Packets Fun¸c˜oes do Matlab P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 62/68 Processamento Digital de Sinais Wavelet Packets P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 63/68 Processamento Digital de Sinais Wavelet Packets Exemplo 8.6 Novamente analise o sinal composto por ´audio mais ru´ıdo senoidal e realize a WPD de 5 n´ıveis usando coif5. wlet = ’coif5’; L = 5; T = wpdec(y,L,wlet); [spec,times,freq] = wpspectrum(T,fs,’plot’); Tree Decomposition (0,0) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,7) (4,8) (4,9) (4,10) (4,11) (4,12) (4,13) (4,14) (4,15) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (5,7) (5,8) (5,9) (5,10)(5,11)(5,12)(5,13)(5,14)(5,15)(5,16)(5,17)(5,18)(5,19)(5,20)(5,21)(5,22)(5,23)(5,24)(5,25)(5,26)(5,27)(5,28)(5,29)(5,30)(5,31) P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 64/68 Processamento Digital de Sinais Wavelet Packets Exemplo 8.6 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 65/68 Processamento Digital de Sinais Wavelet Packets Exemplo 8.6 (Continua¸c˜ao) wp41 = wpcoef(T,41); wp41r = wprcoef(T,41); wp45r = wprcoef(T,45); 0 2 4 6 8 10 12 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Magnitude Espectro C41 Recontruído 0 2 4 6 8 10 12 Frequência [kHz] 0 0.02 0.04 0.06 Magnitude Espectro C45 Recontruído P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 66/68 Processamento Digital de Sinais Wavelet Packets Exemplo 8.6 (Continua¸c˜ao) c41=read(T,’data’,41); T = write(T,’data’,41,zeros(length(c41),1)); T = write(T,’data’,45,zeros(length(c41),1)); T = write(T,’data’,57,zeros(length(c41),1)); T = write(T,’data’,61,zeros(length(c41),1)); yf = wprec(T); 0 2 4 6 8 10 12 Frequência [kHz] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Magnitude Filtragem com WPD Espectro original Espectro Filtrado P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 67/68 Processamento Digital de Sinais Wavelet Packets Exemplo 8.6 (Continua¸c˜ao) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Frequência [kHz] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Magnitude Filtragem com DWT Espectro original Espectro Filtrado P. R. Scalassara Introdu¸c˜ao `a Transformada Wavelet. 68/68