Slide Técnicas de Projeto de Filtros Digitais-2022 2

Processamento Digital de Sinais 7. Técnicas de Projeto de Filtros Digitais O processo de projetar um filtro consiste em trés etapas: (i) Especificagaéo das propriedades desejadas do sistema. (ii) Aproximagao das propriedades usando um sistema de tempo discreto causal. (iii) Implementacao do sistema. ] A resposta de frequéncia de um filtro passa-baixa ideal com fase linear é: e I¥, lw] <w Jwy ’ > We Hale™) { 0, we < lwl| <a A resposta impulsiva é: sin|(n — a)w ha{n| — [( ) c] m(n — a) Processamento Digital de Sinais Esse filtro n˜ao ´e realiz´avel, assim, relaxam-se suas especifica¸c˜oes: Ingle e Proakis, 2012 Rp = −20 log10 1 − δ1 1 + δ1 As = −20 log10 δ2 1 + δ1 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 2/57 Processamento Digital de Sinais Projeto de Filtros FIR Projeto de Filtros FIR A resposta de frequéncia de um filtro FIR causal de ordem N é: N H(e!*) = S~ h[nje**" n=0 A vantagem desse tipo de filtro esté em ser sempre estavel, mesmo apds a quan- tizacao dos coeficientes, e que se pode obter fase linear generalizada facilmente. Um filtro FIR de fase linear do tipo I de comprimento N + 1 possui resposta impulsiva simétrica em torno de N/2 com N par. A resposta de frequéncia H(e3”) e a resposta de amplitude H,.(e?”) sao dadas por: N/2 oN N N N H(e?”) =e 9? 2 k k 0] =h | — k] = 2h |— —k|], k=1,..., = (ole) =< eH Saft costs), afo] =n |, alk] = 30 [Fe] k= Dan k=0 N/2 H(el*) = eI”? H,(e”), sendo H,(e”) = )~ alk] cos(kw) k=0 A resposta de amplitude é uma funcao que pode ter valores negativos e a resposta de fase associada é uma funcao linear continua. Processamento Digital de Sinais Projeto de Filtros FIR Exemplo 7.1 Encontre a localiza¸c˜ao dos zeros e a resposta de amplitude do filtro com resposta impulsiva dada abaixo. h[n] = {−4, 1, −1, −2, 5, 6, 5, −2, −1, 1, −4} Para isso, utilize a fun¸c˜ao Hr Type1 do MATLAB/Octave. P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 4/57 Processamento Digital de Sinais Projeto de Filtros FIR Exemplo 7.1 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 5/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela Projeto por Janela Considera-se a resposta impulsiva como uma vers˜ao janelada da resposta ideal: h[n] = hd[n]w[n] sendo w[n] n˜ao-nula no intervalo [0, N] e sim´etrica em rela¸c˜ao ao seu ponto m´edio: w[n] = w[N − n] Assim, tem-se: H(ejω) = 1 2π Hd(ejω) ∗ W(ejω) ou seja, o janelamento resulta em uma vers˜ao suavizada da resposta ideal. P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 6/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela Ingle e Proakis, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 7/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela As janelas mais comuns em projetos de filtros FIR s˜ao: Hayes, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 8/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela O tipo de janela ´e selecionada conforme a largura do l´obulo principal de W(ejω) e a amplitude do l´obulo secund´ario. Ingle e Proakis, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 9/57 Um outro tipo é a janela de Kaiser dada por: 9711/2 Ip 4 8 [1 — (n/a — 1)?] win} = ———_____-~_/ o<n<n Io(8) oS 9 k 2 ~ : _ (x/2) Funcao de Bessel de lo. tipo Ip(x) =1+ a : — kl modificada de ordem zero Parameter Side Lobe Transition Width Stopband Attenuation B (dB) (Af) (iB) 20 -19 Ls —29 3.0 -24 20 | ~37 40 -30 26 | -45 5.0 -37 32 -S4 a | As — 7.95 60 ~44 38 -63 Filter length M = 2.285Aw +4 70 51 45 —72 80 59 51 | 81 0.1102(A, — 8.7), A, > 50 90 67 57 | 90 Parameter 8 = 4 9 5g49 (A, —21)°* 10.0 -4 64 ~99 + 0.07886(A, — 21), 21 < A, < 50 Hayes, 2012 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela Exemplo 7.2 Projete um filtro FIR passa-baixa com as seguintes especifica¸c˜oes: ωP = 0, 2π, ωS = 0, 3π, RP = 0, 25 dB e AS = 50 dB wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi; tr width = ws − wp M = ceil(6.6*pi/tr width) + 1 wc = (ws+wp)/2 hd = ideal lp(wc,M); w ham = (hamming(M))'; h = hd .* w ham; [db,mag,pha,grd,w] = freqz m(h,[1]); ∆ w = 2*pi/1000; Rp = −(min(db(1:1:wp/∆ w+1))) As = −round(max(db(ws/∆ w+1:1:501))) n=[0:1:M−1]; subplot(2,2,1); stem(n,hd); subplot(2,2,2); stem(n,w ham); subplot(2,2,3); stem(n,h); subplot(2,2,4); plot(w/pi,db); M = N + 1 = 67 ω = 0, 25π rad h = hd · w ham ∆ω = 1000(freqz m) Rp = 0, 0394 As = 52 dB P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 11/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela Exemplo 7.2 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 12/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela Exemplo 7.3 Repita o exemplo anterior usando uma janela de Kaiser. wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi; tr width = ws − wp As = 50; M = ceil((As−7.95)/(14.36*tr width/(2*pi))+1) + 1 n=[0:1:M−1]; beta = 0.1102*(As−8.7) wc = (ws+wp)/2; hd = ideal lp(wc,M); w kai = (kaiser(M,beta))'; h = hd .* w kai; [db,mag,pha,grd,w] = freqz m(h,[1]); ∆ w = 2*pi/1000; As = −round(max(db(ws/∆ w+1:1:501))) n=[0:1:M−1]; figure subplot(2,2,1); stem(n,hd); subplot(2,2,2); stem(n,w kai); subplot(2,2,3); stem(n,h); subplot(2,2,4); plot(w/pi,db); M = N + 1 = 61 β = 4, 5513 As = 52 dB P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 13/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela Exemplo 7.3 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 14/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela Exemplo 7.4 Projete um filtro passa-faixa com as seguintes especifica¸c˜oes: Ingle e Proakis, 2012 Pode-se usar a combina¸c˜ao de dois filtros. Usa-se a janela de Blackman. Ingle e Proakis, 2012 P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 15/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela Exemplo 7.4 (Continua¸c˜ao) ws1 = 0.2*pi; wp1 = 0.35*pi; wp2 = 0.65*pi; ws2 = 0.8*pi; As = 60; tr width = min((wp1−ws1),(ws2−wp2)) M = ceil(11*pi/tr width) + 1 wc1 = (ws1+wp1)/2; wc2 = (wp2+ws2)/2; hd = ideal lp(wc2,M) − ideal lp(wc1,M); w bla = (blackman(M))'; h = hd .* w bla; [db,mag,pha,grd,w] = freqz m(h,[1]); ∆ w = 2*pi/1000; Rp = −min(db(wp1/∆ w+1:1:wp2/∆ w)) As = −round(max(db(ws2/∆ w+1:1:501))) n=[0:1:M−1]; figure subplot(2,2,1); stem(n,hd); subplot(2,2,2); stem(n,w bla); subplot(2,2,3); stem(n,h); subplot(2,2,4); plot(w/pi,db); % Usando o toolbox de DSP h=fir1(74,[wc1 wc2]/pi,'bandpass',w bla); fvtool(h) M = N + 1 = 75 ωc1 = 0, 275π ωc2 = 0, 725π Rp = 0, 03 As = 75 dB P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 16/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Janela Exemplo 7.4 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 17/57 Processamento Digital de Sinais Projeto por Amostragem de Frequéncia Projeto por Amostragem de Frequéncia A resposta de frequéncia desejada é amostrada uniformemente com N pontos entre 0 e 27. H(k) = Ha(e??™*/"), k =0,1,...,N—-1 CO h{n}= So haln+kN], O<n<N-1 k=—oo H(k) it 1 (Art 1 1 ! ! ! ' ! i k 1 1 a Transition Band Hayes, 2012 Processamento Digital de Sinais Projeto por Amostragem de Frequˆencia Dado o filtro ideal Hd(ejω), escolha o comprimento M e amostre essa resposta em M frequˆencias equidistantes entre 0 e 2π. A resposta do filtro digital H(ejω) ´e a interpola¸c˜ao dessas amostras. Ingle e Proakis, 2012 Os erros de aproxima¸c˜ao s˜ao maiores nas bordas das bandas e menores no meio destas. Assim, tem-se: h[n] = IDFT {H(k)} P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 19/57 Qrtk\ , H(k) = H, (=) ei ZH(k) H,(0) k=0 27k Ne = )= 2Qn(M —k sendo #1, (2"*) fn (2 k=1,..,M—1 M Quanto a fase, para filtros FIR tipo I e II, tem-se: M-1 27k M-1 “la (Cr): k=0,....| 95 | ZH(k) = M-—1\ 2 M-1 + | —— TM —k), k = | ———]|,...,M-1 2 M 2 E para filtros FIR tipo HI e IV, tem-se: M-1 Qrk M-1 (5) - (5) (Cr): k= 0,...5| SO ZHA(k) = 1 M—-1\ 20 M-1 - (+5) —— ]—(M-k), k= | ——],...,M-1 6) (et) Baran aS Projete um filtro FIR passa-baixa por amostragem de frequéncia sendo: Wp = 0,27,ws = 0,37, Rp = 0,25 dB e Ag = 50 dB Inicialmente, escolhe-se M = 20, resultando em um filtro FIR tipo I, sendo: 20-1 H,.(k) = [1,1,1, 0,...,0,1, 1] a= — =9,5 — 2 15 zeros 20 —9, 555% = —0, 957k, 0<k<9 ZH(k) = 30 +9, 555 (20 —k) =+40,957(20—k), 10<k<19 M = 20; alpha = (M-1)/2; 1 = 0:M-1; wl = (2*pi/M) «1; | Hrs = [1,1,1,zeros(1,15),1,1]; kl = 0:floor((M-1)/2); k2 = floor((M-1) /2)+1:M-1; | angH = [-alphas(2*pi)/M*k1l, alphax (2*pi) /M* (M-k2) J]; | H = Hrs.x*exp(j*angH) ; h = real (ifft(H,M)); J Processamento Digital de Sinais Projeto por Amostragem de Frequˆencia Exemplo 7.5 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 22/57 Exemplo 7.6 Repita o exemplo anterior usando duas amostras na banda de transigao, T; = 0,5925 e Ty = 0, 1099. Hr(k) = 1 TD, 0, ee SYS 7 uns 43 zeros 6 uns M = 60; alpha = (M-1)/2; 1 = O:M-1; wl = (2x*pi/M) *1; Hrs = [ones(1,7),0.5925,0.11, zeros (1,43) ,0.11,0.5925, ones (1,6) ]; kl = 0:floor((M-1)/2); k2 = floor((M-1) /2)+1:M-1; angH = [-alphas(2*pi)/M*k1l, alphax (2*pi) /M* (M-k2) J]; H = Hrs.«exp(jx*xangH) ; h = real (ifft (H,M)); [db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(h,1); [Hr,ww,a,L] = hr_type2 (h); Processamento Digital de Sinais Projeto por Amostragem de Frequˆencia Exemplo 7.6 (Continua¸c˜ao) P. R. Scalassara T´ecnicas de Projeto de Filtros Digitais. 24/57