Lista Resolvida Mecgeral2-2023 1

3) O componente de alumínio de uma máquina tem um furo de seção quadrada centrado ao longo de seu comprimento. Determine (a) o valor de a para que o momento de inércia do componente em relação ao eixo AA9, que intercepta a superfície superior do furo, seja máximo, (b) os valores correspondentes do momento de inércia de massa e do raio de giração em relação ao eixo AA9. (A massa específica do alumínio é 2.770 kg/m3. (Livro Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica - Ferdinand Beer - exercício B21) Nicole Rufino | www.meuguru.net 1 Resolução - Mecânica Geral 2 Questão 1 O componente de alumínio de uma máquina tem um furo de seção quadrada centrado ao longo de seu comprimento. Determine (a) o valor de a para que o momento de inércia do componente em relação ao eixo AA’, que intercepta a superfície superior do furo, seja máximo, (b) os valores correspondentes do momento de inércia de massa e do raio de giração em relação ao eixo AA’. (A massa específica do alumínio é ) Passo 1 Fala aí galera! Bora lá. Para determinar o momento de inércia desse componente em relação ao eixo AA’ vamos fazer o seguinte, vamos separar nosso componente em duas partes. A parte 1 é a peça sólida em si e a parte 2 seria uma peça igual a do furo que temos no componente, então o momento de inércia total é: ( ) ( ) Só que para calcular os momentos de inércia da parte 1 e 2 teremos que usar o teorema dos eixos paralelos, já que o cálculo é em relação ao eixo AA’ e só sabemos com facilidade o momento de inércia dessas peças quando é em relação aos eixos coordenados que é fornecido pela figura 9.28 do livro. O teorema dos eixos paralelos nos diz o seguinte: ̅ Onde ̅ é o momento que já conhecemos, é a massa do objeto que estamos calculando e é a distância entre os dois eixos paralelos, vamos considerar o outro eixo sendo o que passa simetricamente pelo meio da componente. Segundo a figura 9.28, o momento de inércia para essas peças em relação ao eixo de simetria mencionado acima é dado por: ( ) Então vamos precisar da massa de cada peça, mas a massa de um objeto é dada por: Nicole Rufino | www.meuguru.net 2 Onde é a massa específica do material e o volume do objeto. O enunciado também quer o momento inércia do raio, que é dado por: ( ) Onde é massa total do componente, então para calcular esse momento teremos que saber o momento de inércia de massa primeiro. Passo 2 Vamos calcular as massas para os nossos objetos. ( ) E ( ) Vamos deixar e sem substituir os valores, para gente não ter de ficar carregando um monte de número chato e facilitar nossa vida nas contas. Passo 3 Agora vamos calcular o momento de inércia total, temos: ( ) ( ) [ ̅ ] [ ̅ ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] Logo, [ ] [ ] Substituindo e , temos: ( ) [ ] ( ) [ ] Nicole Rufino | www.meuguru.net 3 Assim, ( ) Pronto, temos o momento de inércia em relação AA’, mas não é só isso que o enunciado quer, vamos continuar a pensar no próximo passo. Passo 4 No item (a) o enunciado quer o valor de que faz o momento ser máximo, para isso vamos usar propriedades da derivada ao nosso favor. O que achamos no passo 3 é bem dizer uma função que depende de , então se derivarmos essa função e igualarmos à zero, iremos encontrar pontos críticos, depois só derivar a função mais uma vez e analisar o valor dela em relação a esses pontos e ver se é negativa (temos ponto de máximo) ou positiva (ponto de mínimo). Vamos lá. ( ) Para isso ser verdade é preciso que: ( ) Disso concluímos que: Ou √ Agora vamos derivar mais uma vez e analisar se a função é negativa ou positiva com esses valores de . ( ) ( ) Então para , temos: ( ) Nicole Rufino | www.meuguru.net 4 E para √ , temos: ( ) Logo o que faz ser máximo é: √ Sabendo que . √ Passo 5 No item (b), o enunciado quer o valor do momento de inércia de massa e de raio para esse valor de , vamos lá então, temos que: ( ) ( ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) ) Substituindo e , temos: ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) ) Assim, ( ) Passo 6 Agora o momento de inércia é dado por: ( ) Nicole Rufino | www.meuguru.net 5 Onde ( ( √ ) ) Então, temos que: ( ) Lembrando que √ ( ) Resposta (a) √ (b) ( ) e