Segunda Avaliação de Mecgeral2 Resolvida-2022 1

TRABALHO MECÂNICA GERAL Questão 1) nas questões de múltipla escolha abaixo, escolha a melhor alternativa: a) sobre o coeficiente de restituição e, pode-se afirmar que: Resposta correta: É uma grandeza adimensional que mede a relação entre as velocidades relativas de aproximação e de afastamento entre dois corpos durante uma colisão. Por exemplo, se “e” = 0,5, significa que a velocidade relativa de afastamento dos corpos após a colisão é 50% da velocidade relativa de aproximação antes da colisão. A equação do coeficiente de restituição ilustra a alternativa correta. b) Sobre os tipos de colisões podemos afirmar: Resposta: A rigor, as três alternativas estão erradas, pois: Entretanto, a terceira alternativa diz “nas colisões elásticas ocorre perda parcial de energia cinética do sistema e o coeficiente de restituição fica entre 0 e 1”. Se considerarmos que a colisão foi elástica, porém, não perfeitamente elástica a alternativa pode ser viável. A alternativa “Nas colisões inelásticas ocorre conservação de energia, enquanto nas colisões elásticas há conservação de quantidade de movimento.” A energia cinética é perdida em uma colisão inelástica, assim, a energia mecânica dos corpos não será conservada, porém, a alternativa não fala qual tipo de energia. c) Ainda sobre os tipos de impacto, podemos afirmar: Resposta correta: O impacto excêntrico ocorre quando a linha que liga os centros de massa dos dois corpos não coincide com a linha de impacto. Esse tipo de impacto geralmente ocorre quando um ou ambos os corpos são restringidos a girar em torno de um eixo fixo. d) Sobre os 3 métodos vistos para analisar a cinética do movimento: Resposta correta: No método do Impulso e Quantidade de Movimento, haverá conservação da quantidade de movimento quando as acelerações angulares dos objetos envolvidos forem nulas. O Princípio da Quantidade de Movimento: se a resultante das forças externas que atuam no sistema for nula, a quantidade de movimento é conservada, ou seja, em sistema isolado, a quantidade de movimento é constante. 2. O dinamômetro automotivo é capaz de simular as condições rodoviárias para uma aceleração de 0,4g para a caminhonete com massa total de 2.900 kg. Calcule o momento de inercia necessário do tambor do dinamômetro em relação ao seu centro O supondo que o tambor gira livremente durante a fase de aceleração do teste. Obtenha também o raio de giração da roda traseira para as mesmas condições. Utilize g = 9,8 m/s2 nos cálculos. b) Para corpos homogêneos, o raio de giração depende apenas de parâmetros geométricos. É uma forma prática de se especificar indiretamente o momento de inércia, de acordo com a forma do corpo. Entretanto, o problema pede o raio de giração em relação ao ponto “O” que está situado fora do eixo de rotação da roda. Então aplica-se o teorema dos eixos paralelos. a) Força que o sistema imprimiu nas rodas traseiras RF = m.a RF = (2900 kg) (0,4) (9,8) = 11.368 N Para a aceleração linear de (0,4 g) a aceleração angular do tambor deve ser: α = a / R α = (0,4 . 9,8) / 0,900 = 4,35 rad/s² O momento de inércia necessário ao tambor do dinamômetro em relação ao centro "O". I₀ = Σmo / α I₀ = RF . R / α I₀ = (11.368 . 0,900) / 4,35 = 2352 kg.m² Resposta Final b) Raio giroção da roda traseira (cilindro) em relação ao ponto "O" [desenho] 375 mm 900 mm (o centro) Teorema de Steiner I = 1/2 MB² + M d² centros I = M (R²/2 + d² centros) Raio de giroção (K) K = √(I / M) K = √(M(R²/2 + d² centros) / M) K = √(R²/2 + d² centros) K = √[(0,375 m)²/2 + (0,375 + 0,9)²] = 1,27 m 3. Os carros A e B colidem como mostrado. Desprezando o efeito do atrito, qual seria a velocidade angular de A e B imediatamente após o impacto se os carros formam um único corpo rígido como resultado da colisão? C e D são os centros de massa dos carros A e B, respectivamente. Ainda, utilize os seguintes dados: Massa do carro A é mA = 1.400 kg, seu raio de giração é kC = 0,9m e sua velocidade imediatamente antes do impacto é vA = 80 km/h. Já o carro B tem mB = 1.600 kg, seu raio de giração é k D = 1m, e sua velocidade imediatamente antes do impacto é vB = 70 km/h. Também utilize d = 0,5m e l = 4 m. Finalmente, suponha que, após a colisão, o centro de massa do conjunto coincide com o centro de massa do conjunto imediatamente antes do impacto. Quanto é o coeficiente de restituição “e” desta colisão? Explique sua resposta. Aplicando a conservação da quantidade de movimento para os eixos X e Y. Aplicando a conservação do momento angular a) Caros, a questão 3, letra A, possui alta complexidade. É difícil prever se os cálculos estão corretos. (inclusive deixei, no final do trabalho, uma questão resolvida com mesmo enunciado e dados diferentes para vocês estudarem e verificarem o nível de complexidade. Refiz várias vezes durante o dia e a madrugada.) → V⃗ C₂ = V⃗ D₂ + ω₂ × r⃗ 1O → (V⃗ Cx)2 = (V⃗ Dx)2 + d₁ ω₂ → (V⃗ Cy)2 = (V⃗ Dy)2 + l ω₂ (V⃗ Cx)z = (V⃗ Dx)2 + (0,5m)ω₂ (V⃗ Cy) = (V⃗ Dy)2 + (4m)ω₂ A quantidade de movimento inicial do sistema em (x). Θ₁ = -1400 kg80 km/h / 3,6 = -3111 kg.m/s Θ₂ = (1600 × 70 km/h) / 3,6 = 3111 kg.m/s quantidade de movimento inicial [é] zero. Substituindo em 1, 2 1) 0 = 1400.(V⃗ Cx)2 + (1600).(V⃗ Dx)2 2) 0 = 1400.(V⃗ Cy)2 + (1600).(V⃗ Dy)2 Substituindo os valores de massa e velocidade na equação (4) (momento angular) ICD.ω⃗ B1 + ICωc.ω⃗ A1 + mCD × mA.Vc1 = (ID + IC)ω + ICD × mA BC2 0,5 m * 1400 kg(-22,221)m²/s = (1600 + 1134).ω + 1400 × 0,5(V⃗ Cx)2 + 1400 × 4 × (V⃗ Cy)2 b) Quanto é o coeficiente de restituição “e” desta colisão? Explique sua resposta. Resposta: Como após a colisão os corpos se tornaram um só corpo, conclui-se que a colisão foi inelástica, sendo assim, o coeficiente de restituição será zero. e= 0 Abaixo uma questão com o mesmo enunciado, porém alguns dados diferentes que encontrei no livro de dinâmica para engenharia do Gary Gray, para vocês terem noção do grau de complexidade. Considere a equação para conservação do momento linear ao longo da direção vertical.\nm_A(v_{Ay})_1 + m_B(v_{By})_1 = m_A(v_{Ay})_2 + m_B(v_{By})_2\nAqui,\n\quad v_{Ay} é a velocidade do carro A na direção vertical e,\n\quad v_{By} é a velocidade do carro B na direção vertical.\nSubstitua 3130 lb por\n\quad W_A,\n3520 lb por\n\quad W_B,\n32.2 ft/s^2 por g,\n0 por\n\quad (v_{Ay})_1\ne 0 por (v_{By})_1.\n3130\n{32.2}0+\frac{3520}{32.2}(v_{Ay})_2=\frac{3130}{32.2}(v_{By})_2\n\therefore (2)\n3130(v_{Ay})_2 + 3520(v_{By})_2 = 0\n\nConsidere a equação para conservação do momento angular em torno do ponto D.\n\left[ I_D(\omega_B)_h + I_C(\omega_A)_h + \vec{r}_{C/D} \times m_Ar(\vec{v}_{\perp})_1 \right] \n= I_D(\omega_B)_2 + I_C(\omega_A)_2 + \vec{r}_{C/D} \times m_Ar(\vec{v}_{\perp})_2\n\left[ I_D(\omega_B)k + I_C(\omega_A)k + \vec{r}_{C/D} \times \frac{W_A}{g}(v_{\perp})_1 \right] \n\left. \right] = \left[ I_D(\omega_B)_2 + I_C(\omega_A)_2 + \vec{r}_{C/D} \times \frac{W_A}{g}(v_{\perp})_2 \right] \left[ I_D(\omega_B)2 + I_C(\omega_A)2 + \vec{r}_{C/D} \times \frac{W_A}{g}(v_{\perp})_2 \right] = I_D(\omega_B)_2 + I_C(\omega_A)_2 + \vec{r}_{C/D} \times \frac{W_A}{g}(v_{\perp})_2\nAqui, I é o momento de inércia de massa,\n\omega é a velocidade angular,\n\vec{r}_{C/D} é a posição de C em relação a D.\nCalcule a posição de C em relação a D.\n\vec{r}_{C/D} = l\hat{i} + (-d) \hat{j}\n\quad = l\hat{i} - d \hat{j}\nAqui, l é a distância horizontal entre o centroide dos carros e d é a distância vertical entre o centroide dos carros.\nSubstitua 144 in.\n\quad \frac{1 ft}{12 in.}\n\text{por } l\n\quad 19 in.\n\quad \frac{1 ft}{12 in.}\n\text{por } d.\n\vec{r}_{C/D} = 144\left. \frac{1}{12} \right| \hat{i} - 19\;\frac{1}{12}\hat{j}\n\quad = 12\hat{i} - 1.5833\hat{j} \; ft Represente a velocidade inicial em C na forma vetorial.\n\vec{v}_{\perp} = -v_{\perp}\hat{i}\nSubstituir\n-12 mph\n\quad \frac{5280 ft}{1 mile}\n\quad \frac{1 hr}{3600 sec}\n\quad \text{por } v_{\perp}\n\qquad \vec{v}_{\perp} = -12\left. \frac{5280}{1} \right/ \frac{1}{3600} \boxed{ ext{mph -> ft/s}}\n= 17.6\; ft/s\nRepresente a velocidade final em C na forma vetorial.\n\vec{v}_{\perp} = (v_{Ax})_2\hat{i} + (v_{Ay})_2\hat{j}\nCalcule o momento de inércia do carro A em relação a C usando a equação,\n\qquad I_C = m_Ak_C^2\n= \frac{W_A}{g}k_C^2\nAqui, k é o raio de giração.\nSubstitua 3130 lb por\n\quad W_A,\n32.2 ft/s^2 por g,\n34.5 in.\n\frac{1 ft}{12 in.}\n\text{por } k_C.\n\quad I_C = \cert{\frac{3130}{32.2}\left( \frac{34.5}{1} \right)^2\}^2/(gf_I)\\\n=803.46 lb\cdot ft\cdot s^2\nCalcule o momento de inércia do carro B em relação a D usando a equação,\n\qquad I_D = m_Bk_D^2\n= \frac{W_B}{g}k_C^2\nSubstitua 3520 lb por\n\quad W_B,\n32.2 ft/s^2 por ge,\n39.3 in.\n\frac{1 ft}{12 in.}\n\text{por } k_D.\n\quad I_D = \frac{3520}{32.2}\left( \frac{39.3}{1} \right)^2\)\\\n=1172.49 lb\cdot ft\cdot s^2\nA velocidade angular inicial dos carros A e B é zero.\n(\omega_A)_h = 0\n(\omega_B)_h = 0\nSeja a velocidade angular final dos carros A e B logo após o impacto. Substitua o valor conhecido na equação (3).\n\left[I_D(\omega_B)k + I_C(\omega_A)k + \vec{r}_{C/D} \times \frac{W_A}{g}(\vec{v}_{\perp})_1 \right]\n= I_D(\omega_B)_2 + I_C(\omega_A)_2 + \vec{r}_{C/D} \times \frac{W_A}{g}(\vec{v}_{\perp})_2\n0 + 0 + (12\hat{i} - 1.5833\hat{j})\times \frac{3130}{32.2}(-17.6\hat{i})\n= 1172.46(\omega)k + 803.46(\omega)k + (12\hat{i} - 1.5833\hat{j})\times \frac{3130}{32.2}(\vec{v}_{Ax})_2\hat{i} + (\vec{v}_{Ay})_2\hat{j}\n153.90(\vec{v}_{Ax})_2 \hat{k} * 1166.46(\vec{v}_{Ay})_2 \hat{k} + 1975.92\omega k = -2708.64k\nConsidere os coeficientes na equação,\n153.90(\vec{v}_{Ax})_2 + 1166.46(\vec{v}_{Ay})_2\hat{k} + 1975.92\omega k = -2708.64k\left \{\right.\n\quad\rightarrow\rodit(5)\nRepresente a velocidade final em C na forma vetorial usando a velocidade em D.\n\left.\right \{\vec{v}_{\perp})_2 \right \}= (\vec{v}_{Bx})_2 + (\omega_A)_2 \times \vec{r}_{C/D}\n\begin{array}{l}\left (\vec{v}_{Ax}\right)\hat{i} + (\vec{v}_{Ay})_2\hat{j} = \left( (\vec{v}_{Bx})_2\right)\hat{i} + (\vec{v}_{By})_2\hat{j} + \omega \left \times \vec{r}_{C/D} \right\)\ = \left((\vec{v}_B)_2 + 1.5833\omega \right)\hat{i} + ((\vec{v}_{Ak})_2 + 12\omega)\hat{j}\n\end{array}\nComparar\ \hat{i}\ coeficiente.\n(\vec{v}_{Ax})_2 = (\vec{v}_{Bx})_2 + 1.5833\omega\n\quad\left. \;\;\overline{(5)\!}\right.\n\vert(\vec{v}_{Ax})_2 - (\vec{v}_{Bx})_2 - 1.5833\omega = 0\nComparar\ \hat{j}\ coeficiente.\n(\vec{v}_{Ay})_2 = (\vec{v}_{By})_2 + 12\omega\n\left.\vert \right.\;\;\overline{(6)\!}\right|\n\nCalcule a velocidade angular dos carros após o impacto resolvendo as equações (1), (2), (4), (5) e (6). (v_{Ax})_2 = 3.0770 \ ft/s (v_{Ay})_2 = -2.1537 \ ft/s (v_{Bx})_2 = 3.6139 \ ft/s (v_{By})_2 = 1.9151 \ ft/s ω = -0.3391 \ rad/s Represente a velocidade angular dos carros A e B após o impacto na forma vetorial. (\bar{ω_A})_2 = ω\bar{k} Substitua \ −0.3391 \ rad/s por \ ω \ . (\bar{ω_A})_2 = −0.3391\bar{k}\ rad/s Portanto, a velocidade angular dos carros A e B após o impacto é \boxed{−0.3391\bar{k}\ rad/s}. Segunda Avalia¸c˜ao de Mecˆanica 2 Junho de 2022 Com a P2 conclu´ımos o conte´udo previsto para 2022/1. Assim, n˜ao teremos mais aulas s´ıncronas ap´os o feriado. Apenas quem ficar em remedia¸c˜ao ainda vai precisar atingir nota nas listas de exerc´ıcios at´e o fim do semestre. Boa prova! Grupo: 1. (4 pontos) Nas quest˜oes de m´ultipla escolha abaixo, escolha a melhor alternativa: (a) (1 ponto) Sobre o coeficiente de restitui¸c˜ao e, pode-se afirmar que: ⃝ ´E uma grandeza que mede o quanto de energia potencial ´e convertida em energia cin´etica em uma colis˜ao entre dois corpos. Por exemplo, se e = 0,5, significa que 50% da energia potencial foi convertida em energia cin´etica. ⃝ ´E uma grandeza adimensional que mede a rela¸c˜ao entre as velocidades relativas de aproxima¸c˜ao e de afastamento entre dois corpos durante uma colis˜ao. Por exemplo, se e = 0,5, significa que a velocidade relativa de afastamento dos corpos ap´os a colis˜ao ´e 50% da velocidade relativa de aproxima¸c˜ao antes da colis˜ao. ⃝ ´E uma grandeza com unidades de velocidade que mede a porcentagem do formato original de um corpo que se deformou durante uma colis˜ao. Por exemplo, se e = 0, 5, significa que 50% do formato original do corpo deformou-se ap´os uma colis˜ao. (b) (1 ponto) Sobre os tipos de colis˜oes podemos afirmar: ⃝ Nas colis˜oes inel´asticas ocorre conserva¸c˜ao de energia, enquanto nas co- lis˜oes el´asticas h´a conserva¸c˜ao de quantidade de movimento. ⃝ Nas colis˜oes inel´asticas o coeficiente de restitui¸c˜ao ´e igual a 1. ⃝ Nas colis˜oes el´asticas ocorre perda parcial de energia cin´etica do sistema e o coeficiente de restitui¸c˜ao fica entre 0 e 1. (c) (1 ponto) Ainda sobre os tipos de impacto, podemos afirmar: ⃝ O impacto ´e obl´ıquo quando as velocidades dos corpos imediatamente ap´os a colis˜ao n˜ao s˜ao paralelas `a linha de impacto. ⃝ O impacto ´e excˆentrico se os centros de massa dos corpos envolvidos n˜ao est˜ao sobre a linha de impacto. (d) (1 ponto) Sobre os 3 m´etodos vistos para analisar a cin´etica do movimento: ⃝ O m´etodo FMA ´e mais apropriado para situa¸c˜oes envolvendo movimento tridimensional. ⃝ No m´etodo de Trabalho e Energia, se apenas for¸cas conservativas realizam trabalho, a energia mecˆanica do sistema ´e conservada. ⃝ No m´etodo do Impulso e Quantidade de Movimento, haver´a conserva¸c˜ao da quantidade de movimento quando as acelera¸c˜oes angulares dos objetos envolvidos forem nulas. EA34H-IF4A e MG3XC-IG4A P2 13 a 15 de Junho 2. (3 pontos) O dinamˆometro automotivo ´e capaz de simular as condi¸c˜oes rodovi´arias para uma acelera¸c˜ao de 0,4g para a caminhonete com massa total de 2.900 kg. Calcule o momento de in´ercia necess´ario do tambor do dinamˆometro em rela¸c˜ao ao seu centro O supondo que o tambor gira livremente durante a fase de acelera¸c˜ao do teste. Obtenha tamb´em o raio de gira¸c˜ao da roda traseira para as mesmas condi¸c˜oes. Utilize g = 9,8 m/s2 nos c´alculos. P´agina 2 de 3 EA34H-IF4A e MG3XC-IG4A P2 13 a 15 de Junho 3. (3 pontos) Os carros A e B colidem como mostrado. Desprezando o efeito do atrito, qual seria a velocidade angular de A e B imediatamente ap´os o impacto se os carros formam um ´unico corpo r´ıgido como resultado da colis˜ao? C e D s˜ao os centros de massa dos carros A e B, respectivamente. Ainda, utilize os seguintes dados: Massa do carro A ´e mA = 1.400 kg, seu raio de gira¸c˜ao ´e kC = 0, 9 m e sua velocidade imediatamente antes do impacto ´e vA = 80 km/h. J´a o carro B tem mB = 1.600 kg, seu raio de gira¸c˜ao ´e kD = 1 m, e sua velocidade imediatamente antes do impacto ´e vB = 70 km/h. Tamb´em utilize d = 0,5 m e l = 4 m. Finalmente, suponha que, ap´os a colis˜ao, o centro de massa do conjunto coincide com o centro de massa do conjunto imediatamente antes do impacto. Quanto ´e o coeficiente de restitui¸c˜ao e desta colis˜ao? Explique sua resposta. P´agina 3 de 3