Slide Forças Distribuídas Centróides Aula 14-2021 1

Câmpus Campo Mourão Aula 14 Prof. Dr. Wesley Szpak Revisão Forças distribuídas – Centroides de superficies compostas Aula dada Aula estudada HOJE! 2 16/04/2021 Prof. Dr. Wesley Szpak HOJE! UTFPR Programadores. Todos os dias. Porque? Porque? Porque? Ah, é por isso. 16/04/2021 3 Prof. Dr. Wesley Szpak Capítulo 5 Forças distribuídas: centroides e centros de gravidade 16/04/2021 4 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas 16/04/2021 5 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas 16/04/2021 6 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Cargas Distribuídas sobre Vigas Uma carga distribuída pode ser caracterizada por uma curva representando a carga w (em N/m) sustentada por unidade de comprimento. A 16/04/2021 7 Prof. Dr. Wesley Szpak      A dA wdx W L 0 unidade de comprimento. A carga total sustentada pela viga é igual à área sob a curva. Forças distribuídas Uma carga distribuída pode ser substituída por uma carga concentrada com intensidade igual à área sob a curva de carga e linha de ação passando pelo centroide dessa superfície. 16/04/2021 8 Prof. Dr. Wesley Szpak     xA xdA A OP xdW W OP L      0 Forças distribuídas Ex1. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 9 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas • A intensidade da carga concentrada é igual à área da 16/04/2021 10 Prof. Dr. Wesley Szpak • A intensidade da carga concentrada é igual à área da superfície sob a curva de carga. • A linha de ação da carga concentrada passa pelo centroide da superfície sob a curva. • Determinamos as reações de apoio somando os momentos em relação às extremidades da viga. Forças distribuídas Ex1. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 11 Prof. Dr. Wesley Szpak Quantas regiões??? Forças distribuídas Ex1. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 1 2 x1  ? 2  ? x 16/04/2021 12 Prof. Dr. Wesley Szpak ? ? 1 1   A x ? ? 2 2   A x Forças distribuídas Ex1. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 1 2 m x 1  3 m x 4 2  16/04/2021 13 Prof. Dr. Wesley Szpak kN A m x 9 3 1 1   kN A m x 9 4 2 2   Forças distribuídas Ex1. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 1 2 m x 1  3 m x 4 2  16/04/2021 14 Prof. Dr. Wesley Szpak kN A m x 9 3 1 1   kN A m x 9 4 2 2   kN W A m X 18 5,3    Forças distribuídas Ex1. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 15 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Ex1. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 16 Prof. Dr. Wesley Szpak       0 0 0 y A x F M F Forças distribuídas Ex1. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 17 Prof. Dr. Wesley Szpak kN R R R F kN R R M R F Ay By Ay y By By A Bx x 5,7 0 18 0 10 5, 0 6 5,3 18 0 0 0                       Forças distribuídas Ex1. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 18 Prof. Dr. Wesley Szpak    kNj R kN j R A B ˆ 5,7 ˆ 5, 10     Forças distribuídas Problema Resolvido 5.9 16/04/2021 19 Prof. Dr. Wesley Szpak m 5,3 X  F 18 0, kN Forças distribuídas 16/04/2021 20 Prof. Dr. Wesley Szpak      0 m 5,3 18 kN 6 m 0 :     y A B M y 10 5, kN B      0 6m 3,5 m 18 kN 6m 0:       y B A M kN 5,7 Ay  Forças distribuídas 16/04/2021 21 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Ex1. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 1 2 16/04/2021 22 Prof. Dr. Wesley Szpak kN W A m x 9 3 1 1 1    kN W A m x 9 4 2 2 2    Forças distribuídas 9kN 9kN 16/04/2021 23 Prof. Dr. Wesley Szpak 1 2 9kN 3m 9kN 4m Forças distribuídas Ex2. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 24 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Ex2. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 1 2 16/04/2021 25 Prof. Dr. Wesley Szpak ? ? 1 1   A x ? ? 2 2   A x Forças distribuídas Ex2. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 1 2 16/04/2021 26 Prof. Dr. Wesley Szpak kN A m x 5, 13 2 1 1   kN A m x 5, 13 5 2 2   Forças distribuídas Ex2. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 1 2 16/04/2021 27 Prof. Dr. Wesley Szpak kN W A m X 27 5,3    Forças distribuídas Ex2. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. m X 5,3  27 kN 16/04/2021 28 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Ex2. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. m X 5,3  27 kN 16/04/2021 29 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Ex2. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. m X 5,3  27 kN 16/04/2021 30 Prof. Dr. Wesley Szpak       0 0 0 y A x F M F Forças distribuídas Ex2. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. m X 5,3  27 kN 16/04/2021 31 Prof. Dr. Wesley Szpak kN R R R F kN R R M R F Ay By Ay y By By A Ax x 11,25 0 27 0 15,75 0 6 5,3 27 0 0 0                       Forças distribuídas Ex2. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 32 Prof. Dr. Wesley Szpak    kNj R kN j R A B ˆ ,25 11 ˆ ,75 15     Forças distribuídas 16/04/2021 33 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Ex2. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 34 Prof. Dr. Wesley Szpak kN W m x 5, 13 2 1 1   kN W m x 5, 13 5 2 2   Forças distribuídas Ex3. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 35 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Ex3. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 1 2 16/04/2021 36 Prof. Dr. Wesley Szpak ? ? 1 1   A x ? ? 2 2   A x Forças distribuídas Ex3. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 1 2 16/04/2021 37 Prof. Dr. Wesley Szpak kN A m x 4,5 3 1 1   kN A m x 2,2 5,1 2 2   Forças distribuídas Ex3. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 38 Prof. Dr. Wesley Szpak kN W m x 4,5 3 1 1   kN W m x 2,2 5,1 2 2   Forças distribuídas Ex3. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 5,4kN 3m 2,2kN 1,5m 16/04/2021 39 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Ex3. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 5,4kN 3m 2,2kN 1,5m 16/04/2021 40 Prof. Dr. Wesley Szpak       0 0 0 y A x F M F Forças distribuídas Ex3. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 5,4kN 3m 2,2kN 1,5m 16/04/2021 41 Prof. Dr. Wesley Szpak kN R R R F kN R R M R F Ay By Ay y By By A Ax x ,4 35 0 4,5 2,2 0 ,3 25 0 6 3 4,5 5,1 2,2 0 0 0                          Forças distribuídas Ex3. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 42 Prof. Dr. Wesley Szpak    kNj R kN j R A B ˆ 35 ,4 ˆ 25 ,3     Forças distribuídas Ex4. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 43 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Ex4. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 2 1 16/04/2021 44 Prof. Dr. Wesley Szpak ? ? 1 1   A x ? ? 2 2   A x Forças distribuídas Ex4. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 2 1 16/04/2021 45 Prof. Dr. Wesley Szpak N W A m x 30 2,0 1 1 1    N W A m x 100 55 ,0 2 2 2    Forças distribuídas Ex4. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 100N 0,55m 30N 0,2m 16/04/2021 46 Prof. Dr. Wesley Szpak       0 0 0 y A x F M F Forças distribuídas Ex4. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 100N 0,55m 30N 0,2m 16/04/2021 47 Prof. Dr. Wesley Szpak N R R F Nm M M M R F Ay Ay y A A A Ax x 30 0 30 100 100 0 34 0 ,0 95 100 ,0 55 100 30 2,0 0 0 0                           Forças distribuídas Ex4. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 16/04/2021 48 Prof. Dr. Wesley Szpak    N mk M N j R A A ˆ 34 ˆ 30       Forças distribuídas Determinação de Centroides por Integração O centroide de uma superfície definida através de equações algébricas é geralmente determinado através do calculo das integrais 16/04/2021 49 Prof. Dr. Wesley Szpak Se o elemento de área dA é escolhido como um pequeno retângulo com lados dx e dy, a determinação do centroide requer uma integração dupla em x e y. Forças distribuídas Resolver integrais!!!!!!!!!!! 16/04/2021 50 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Agora vamos resolver através do cálculo integral!!! 16/04/2021 51 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Prof. é agora que eu entro em desespero?! Calma... Ainda não!!! 16/04/2021 52 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas No entanto, em muitos casos é possível determinar as coordenadas do centroide de uma superfície efetuando-se uma integração simples. 16/04/2021 53 Prof. Dr. Wesley Szpak uma integração simples. A integração dupla para encontrar o momento de primeira ordem pode ser evitada definindo-se o elemento de área dA como um retângulo estreito ou um setor estreito. Forças distribuídas As coordenadas do centroide da superfície é obtida igualando-se o momento estático de toda a superfície em relação a cada eixo coordenado, à soma ou integral dos correspondentes momentos dos elementos de área. Denominando xel e yel como as coordenadas do elemento dA, escrevemos 16/04/2021 54 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas As coordenadas xel e yel do centroide do elemento de área devem ser expressas em função das coordenadas de um ponto localizado sobre a curva limite dessa superfície. O elemento de área dA deve também ser expresso em termos das coordenadas do ponto e suas derivadas. 16/04/2021 55 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas  ydx x x dA xA el     16/04/2021 56 Prof. Dr. Wesley Szpak  ydx y y dA yA el      2 Forças distribuídas    x dy a x a x dA xA el       2 16/04/2021 57 Prof. Dr. Wesley Szpak        x dy a y y dA A y x dy a el         2 Forças distribuídas             r d r x dA xA el 2 2 1 3 cos 2 16/04/2021 58 Prof. Dr. Wesley Szpak             r d r y dA yA el 2 2 1 3 sen 2 Forças distribuídas Ex5. Determine por integração direta a localização do centroide da superfície sob um arco parabólico. 16/04/2021 59 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas SOLUÇÃO: • Determinamos a constante k. • Calculamos a área total. 16/04/2021 60 Prof. Dr. Wesley Szpak • Calculamos a área total. • Utilizando um elemento diferencial vertical ou horizontal, encontramos os momentos de primeira ordem por integração simples. • Determinamos as coordenadas do centroide. Forças distribuídas Determinamos a constante k. 2 2 2 a b k k a b k x y     16/04/2021 61 Prof. Dr. Wesley Szpak 2 1 2 1 2 2 y b a x or a x b y a   Forças distribuídas Determinamos a área total. 2 2 a x dx b A y dx A dA A a       16/04/2021 62 Prof. Dr. Wesley Szpak 3 3 0 3 2 0 ab A x a b A a a        Forças distribuídas Utilizando um elemento diferencial vertical, encontramos os momentos de primeira ordem por integração simples. 4 4 2 4 2 0 2 2 a b x b dx x a b x xydx x dA Q a a el y                     16/04/2021 63 Prof. Dr. Wesley Szpak 10 5 2 2 1 2 4 4 2 0 5 4 2 0 2 2 2 0 2 ab x a b dx x a b y ydx y dA Q a a a el x                               Forças distribuídas Encontramos as coordenadas do centroide. 4 b a 3 ab x Q A x 2 y   a x 4 3  16/04/2021 64 Prof. Dr. Wesley Szpak 4 3 10 ab 3 ab y Q A y 2 x   b y 10  3 Forças distribuídas Bora fazer essa integração no OCTAVE?! 16/04/2021 65 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas No octave é preciso carregar o pacote simbólico e depois informar quem são as variáveis simbólicas >> pkg load symbolic >> syms x y a b c m k x0 xf 16/04/2021 66 Prof. Dr. Wesley Szpak A função no octave que realiza a integração é: int(y,x,x0,xf) f x x dx y 0 Forças distribuídas Ex5. Determine por integração direta a localização do centroide da superfície sob um arco parabólico. 16/04/2021 67 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas    y ydx Q x ydx Q ydx dA A y         2 a2 x b y  16/04/2021 68 Prof. Dr. Wesley Szpak   A Q y A Q x y ydx Q x y x     2 Forças distribuídas Encontramos as coordenadas do centroide. Qy xA  a x 4 3  16/04/2021 69 Prof. Dr. Wesley Szpak Qx yA  b y 10  3 Forças distribuídas Oh nononono!!! Resolver integral com OCTAVE... como ninguém me contou isso antes???!!! 16/04/2021 70 Prof. Dr. Wesley Szpak Forças distribuídas Ex6. Determine as reações de apoio na viga abaixo.   A Q x x ydx Q ydx A y      16/04/2021 71 Prof. Dr. Wesley Szpak A Q x y  Forças distribuídas Ex6. Determine as reações de apoio na viga abaixo. 3,5 kN 9,1429 m 16/04/2021 72 Prof. Dr. Wesley Szpak 9,1429 m Forças distribuídas Ex6. Determine as reações de apoio na viga abaixo.   A Q x x ydx Q ydx A y      16/04/2021 73 Prof. Dr. Wesley Szpak    kNj R kN j R A B ˆ 9,1 ˆ 6,1     A Q x y  Forças distribuídas Incrível, sensacional, maravilhoso, top do top!!! 16/04/2021 74 Prof. Dr. Wesley Szpak Tarefa de casa Questionário Cargas distribuídas sobre vigas www.moodle.utfpr.edu.br 16/04/2021 75 Prof. Dr. Wesley Szpak www.moodle.utfpr.edu.br Revisão Forças distribuídas sob vigas Aula dada Aula estudada HOJE! 76 16/04/2021 Prof. Dr. Wesley Szpak