Medidas de Posição e de Ordenamento em Estatística Básica

08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 120 Medidas de Posição e de Ordenamento Estatística Básica Adaptação Bioestatística Adaptação Probabilidade e Estatística Adaptação 1 Introdução Depois de trabalharmos a apresentação dos dados em forma de tabelas e gráficos chegou a hora de nos aprofundarmos em nossas análises Queremos apresentar valores que sejam representativos de toda a série e utilizamos medidas resumo para as variáveis quantitativas Como dito anteriormente por serem limitadas só podemos trabalhar proporções e contagens para as variáveis qualitativas As medidas resumo que serão apresentadas são as medidas de tendência central ou de posição as medidas de ordenamento e as medidas de variabilidade Podemos calcular essas medidas do banco de dados original ou na ausência dele podemos utilizar os dados tabelados para chegarmos a uma boa aproximação das medidas resumo Fique atento pois para cada tipo de variável quantitativa existe uma forma apropriada de desenvolver os cálculos das medidas resumo pelas tabelas Sabia que você pode calcular medidas de posição de forma online Consulte httpsminiwebtoolcombrmeanmedianmodecalculator 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 220 Medidas de resumo 2 Medidas de posição ou de tendência central As medidas de tendência central ou de posição são assim descritas por tenderem a se situar no centro da distribuição de valores VIEIRA 2008 e por definirem um ponto dentro dessa distribuição em que há um determinado posicionamento Por exemplo ao calcular sua média semestral há um indicativo de que você se situou no ponto X 7 por exemplo dentro da faixa de variação adotada 0 a 10 por exemplo As medidas de posição mais utilizadas no processo descritivo são média aritmética mediana e moda TOLEDO OVALLE 2011 A média sabese ser a soma dos valores do conjunto dividida pela quantidade de elementos desse conjunto a mediana vem a ser o valor que representa o centro da série ou seja aquele que deixa 50 dos valores abaixo dele e os outros 50 acima dele enquanto a moda é o valor mais frequente CRESPO 2011 Dessas medidas a mais utilizada é a média aritmética por ser um valor bastante representativo em virtude de seu processo de cálculo VIEIRA 2008 Quando utilizar as diferentes medidas de posição 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 320 Utilização das medidas de tendência central Em um dado momento podem surgir dúvidas sobre que medida de tendência central utilizar no entanto dois fatores devem ser averiguados 1º o aspecto ou forma da distribuição 2º o objetivo da pesquisa Forma da distribuição dos dados A forma da distribuição pode influenciar o pesquisador na escolha de uma medida de tendência central Em uma distribuição unimodal e perfeitamente simétrica a moda a mediana e a média serão idênticas uma vez que o ponto de frequência máxima Mo é também o valor que divide a distribuição em duas partes contendo o mesmo número de termos em cada uma das partes é também o centro de gravidade distribuição Na distribuição assimétrica à esquerda a média aritmética é deslocada para a esquerda da moda na distribuição inclinada para a direita a média incide à direita da moda Em cada caso a média aritmética é deslocada na mesma direção da inclinação da distribuição A direção do deslocamento da mediana é o mesmo da direção do deslocamento da média mas a extensão deste deslocamento é menos do que o da média aritmética visto que a média é influenciada pelos valores extremos Em uma distribuição assimétrica a mediana sempre se situa em algum lugar entre a média e a moda É essa característica que torna a média aritmética a medida de tendência central mais utilizada por alguns pesquisadores para representar uma distribuição assimétrica Objetivo da pesquisa A escolha da medida de tendência central depende das hipóteses ou objetivos do pesquisador Utilizará a moda se pretender uma medida descritiva rápida e simples ainda que grosseira e se a distribuição for unimodal Se a pretensão for uma medida exata ele poderá optar entre a média e a mediana Se a distribuição for aproximadamente simétrica a média aritmética é a mais indicada mesmo porque esta poderá ser utilizada em estatística mais avançada e é uma medida mais estável FEIJOO 2010 p 1422 Considerando as formas da distribuição de que trata a citação direta acima graficamente teríamos Formato das curvas considerando distribuições de valores unimodais ou seja com um único pico 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 420 Na figura anterior além de perceber os possíveis tipos de curvas de frequências há também outra informação muito relevante uma vez que está descrita a posição relativa entre as três medidas de posição de acordo com o tipo de curva Reforçando esse aspecto de acordo com FONSECA 2010 nas distribuições simétricas média mediana e moda coincidem e nas assimétricas a mediana sempre fica em posição intermediária enquanto média e moda trocam de posição Na assimetria positiva o valor da média é maior que o valor da moda e na assimetria negativa a média tem valor menor que a moda 3 Cálculo das medidas de posição ou de tendência central Antes de dar início ao cálculo das medidas de posição vamos verificar como se realizam cálculos envolvendo somatórios no vídeo a seguir Para se calcular as medidas de posição há que se verificar a estrutura dos dados ou seja verificar se os dados estão tabulados ou não e quando tabulados qual a característica da distribuição de frequência uma vez que se deve ajustar o procedimento de cálculo ao formato dos dados Obs quando os valores não estão tabulados dados brutos porém organizados em ordem crescente ou decrescente dizemos que estão organizados em um rol 31 Cálculo da Média Para o cálculo da média temos então duas fórmulas para amostras a Média para os dados não tabulados média simples Onde 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 520 b Média para os dados tabulados Onde Dessa forma quando os dados são tabulados devemos calcular uma média ponderada em que as frequências são os pesos Obs para o cálculo da média na população temos ajustes de simbologia somente quando Para saber diferenciar média aritmética simples de ponderada assista ao vídeo a seguir Tomemos como exemplo para o cálculo das medidas de posição os seguintes casos 1 A sequência seguinte corresponde a nove repetições de uma variável numérica idade 20 22 22 25 28 35 37 41 65 Para esse caso aplicase a média simples uma vez que os dados não estão tabulados mas sim organizados em um rol Fazendose o cálculo Média 2022222528353741659 2959 328 anos 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 620 2 Quer se estudar a taxa média de sucesso em inseminações artificiais Para isso escolheuse uma amostra de animais sendo que em cada um deles foram feitas 5 inseminações e contouse o número de sucessos obtidos nas 5 tentativas de forma que a seguinte tabela foi obtida Neste segundo caso aplicase a média ponderada uma vez que os dados estão tabulados Fazendose os cálculos Para obterse a média uma vez realizada a soma dos produtos 257 neste exemplo basta dividir essa soma pelo total de observações ou número de animais 88 neste exemplo portanto Média 25788 292 3 sucessos a cada 5 inseminações 3 Como parte de um experimento ratos de laboratório foram privados de água por 23 horas e então permitido o acesso à água por uma hora assim obtevese a tabela descrita abaixo Como no exemplo 2 neste caso também se aplica a média ponderada uma vez que os dados estão tabulados Observase neste caso de distribuição de frequências para valores agrupados em classes ou intervalos que o ponto médio de cada classe que vem a ser a média entre os dois limites de classe é o que será utilizado para realizar o produto x f Obs i i 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 720 pmc Li Ls2 Onde Pmc ponto médio da classe Li limite inferior da classe Ls limite superior da classe Fazendose os cálculos Dessa maneira para se obter a média uma vez realizada a soma dos produtos 4677 neste exemplo basta dividir essa soma pelo total de observações 33 neste exemplo quando se obterá 32 Cálculo da Mediana Para o cálculo da mediana valor mais central do conjunto alguns cuidados devem ser tomados 1 Caso os dados não estejam ordenados devem ser organizados em um rol crescente do menor para o maior valor 2 Observar se o número de observações é par ou ímpar 3 Verificar o tipo de organização dos dados rol ou distribuição de frequências para valores individuais ou em classes a Caso tenhamos um rol o procedimento de cálculo para a mediana Md será como se segue 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 820 Onde n número de observações Assim se o n número de observações for ímpar já existe um valor centralizado de forma que o cálculo da mediana tornase mais simples como no exemplo do conjunto de idades anteriormente utilizado Nesse conjunto teríamos o seguinte cálculo 20 22 22 25 28 35 37 41 65 Se adicionarmos um valor a este mesmo conjunto mais alguém com 24 anos por exemplo teríamos um novo conjunto com um número par de observações que ordenadas assim ficariam 20 22 22 24 25 28 35 37 41 65 Para esse novo conjunto como não há um único valor já centralizado há que se tirar a média dos dois valores mais centrais a fim de se obter a mediana Dessa forma teríamos b No caso dos dados tabulados há dois procedimentos dependendo do tipo de distribuição de frequências b1 Para distribuições de frequências para valores individuais Neste caso o procedimento é similar aos dados brutos utilizandose da frequência acumulada Fac para encontrar a mediana Os passos para o cálculo seriam 1 Cálculo elemento Mediano EM onde EM n2 2 Cálculo da frequência acumulada Fac 3 Localização do valor mediano Tomando o exemplo anterior do número de sucessos em inseminações teríamos 1 EM n2 882 44 2 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 920 3 De posse da tabela com as Facs é possível definir que o 44º valor é o número de sucessos igual a 3 pois pela leitura da Fac do 42º ao 45º valor é a sequência de 2 do conjunto portanto Md 3 b2 Para distribuições de frequências com valores agrupados em classes tomaremos o exemplo 3 e o seguinte roteiro será seguido 1 Calcular elemento mediano EM n2 2 Com o valor do EM e auxílio da Fac localizar a classe mediana que vem a ser a classe que contém o valor deseja ou seja valor mediano 3 Aplicar a seguinte fórmula Onde l limite inferior da classe mediana h amplitude de classe Fac Frequência acumulada da classe anterior F frequência simples da classe mediana Para o exemplo 3 teríamos 1 EM n2 332 165 2 Classe mediana é a 3ª marcada em vermelho uma vez que nessa classe encontramse do 13º ao 21º valor da sequência de observações que deu origem à tabela i ant md 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 1020 3 33 Cálculo da Moda A moda Mo é a medida de cálculo mais simples e devido a esse fato quando se pretende uma medida de cálculo rápido e simples FEIJOO 2010 utilizase a moda Assim sendo seu cálculo se resume a identificar o valor de maior frequência exceção feita ao cálculo quando os dados estão agrupados em classes em que o processo pode ser mais elaborado Ainda a moda quanto ao tipo de distribuições pode ser A Amodal nenhum valor se destaca no conjunto de dados B Unimodal quando somente um valor se destaca no conjunto de dados C Bimodal quando dois valores se destacam no conjunto de dados D Trimodal quando três valores se destacam no conjunto de dados E Multimodal quando mais de três valores se destacam num conjunto de dados 1 Caso tenhamos um rol 20 22 22 25 28 35 37 41 65 Mo 22 b No caso dos dados tabulados há dois procedimentos dependendo do tipo de distribuição de frequências b1 Para distribuições de frequências para valores individuais basta definir o valor de maior frequência No exemplo do número de sucessos em inseminações teríamos 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 1120 Nesse caso a moda é igual a 4 número de sucessos por ser o valor de maior frequência b2 Para distribuições de frequências com valores agrupados em classes segundo exemplo que se segue há alguns processos Abordaremos dois desses b21 Podemos calcular a moda bruta um valor estimado para a moda verdadeira caso queiramos um cálculo rápido quando a moda será o ponto médio da classe de maior frequência marcada em vermelho no exemplo Dessa forma Mb 131482 139 ml b22 Para um cálculo mais elaborado podemos utilizar o método de Czuber em que Calculando com os dados do exemplo teríamos 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 1220 Para esses exemplos do ponto de vista do tipo de distribuição qual das 3 medidas de posição tornase mais adequada para cada um deles 4 Medidas de ordenamento ou medidas separatrizes Conhecer algumas propriedades das medidas de posição e dispersão podem nos ajudar a desenvolver os cálculos com mais rapidez Toda a demonstração algébrica será omitida pois não é a finalidade deste curso Mas caso queiram se aprofundar sugerimos que consultem os livros indicados na referência por exemplo Crespo 1996 Listamos aqui três propriedades que serão bem úteis Primeira propriedade a soma dos desvios em relação à média é igual a zero Exemplo seja o conjunto de notas dos alunos de estatística composto por 4 5 7 7 8 8 8 9 9 10 A nota média desses alunos será igual a 75 Fazendo as contas do desvio temos Exemplo da primeira propriedade 08092022 2043 Medidas de Posicgao e de Ordenamento Desta forma vocé vera que a soma dos desvios sera igual a zero Segundo Morettin 2010 a soma dos desvios nao uma boa medida de dispersdo Vocé consegue dizer o porqué Segunda propriedade se somarmos ou subtrairmos um valor constante a cada elemento da amostra a média também ficara somada ou subtraida a esse valor Exemplo seja o conjunto de notas dos alunos de estatistica composto por 4 5 7 7 8 8 8 9 9 10 A nota média desses alunos sera igual a 75 Suponha que o professor dé um ponto para cada aluno Qual sera a média dessas novas notas Exemplo da segunda propriedade Fazendo a média desse novo conjunto de dados 0 valor encontrado é 85 Concluimos assim que a nova média sera 75 1 85span classEOP SCXW121611622 BCXO dataccpprops Terceira propriedade se multiplicarmos ou dividirmos um valor constante a cada elemento da amostra a média também ficara multiplicada ou dividida a esse valorspan dataccpprops 4 5 7 7 8 8 8 9 9 10 A nota média desses alunos sera igual a 75 Suponha que o professor precise fazer uma adequacao na qual ele multiplique todas as notas por meio ponto Qual sera a nota média desse novo conjunto de notasspan dataccpprops Exemplo da terceira propriedade httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 1320 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 1420 Fazendo a média desse novo conjunto de dados o valor encontrado é 775 Concluímos assim que a nova média será 75 05 375span classEOP SCXW231598069 BCX0 dataccpprops 41 Quartis Quartis são valores que dividem o conjunto de dados em quatro partes Primeiro quartil valor abaixo do qual encontramse 25 das observações Segundo quartil mediana valor abaixo do qual encontramse 50 das observações Terceiro quartil valor abaixo do qual encontramse 75 das observações A grande utilidade dos quartis é acompanhar a mediana a fim de mostrar a variabilidade em torno dela nos casos em que o conjunto é muito assimétrico VIEIRA 2008 Graficamente essa avaliação da dispersão e da assimetria pode ser feita a partir da construção do gráfico chamado boxplot Esse gráfico mostra a distância entre a mediana e os quartis permitindo ao leitor perceber se a assimetria é positiva ou negativa forte ou fraca bem como mostra outros detalhes como a presença de outliers que são observações consideradas muito discrepantes Boxplot Diagrama de Caixa 42 Percentis Os percentis dividem um conjunto de dados em cem partes de frequências iguais embutem os quartis e os decis e são utilizados quando se precisa definir pontos de corte para a característica como por exemplo definir estágios de obesidade a partir de uma medida como o IMC ou outra O percentil 95 por exemplo é o valor abaixo do qual encontramse 95 das observações Ele pode ser por exemplo o ponto valor de IMC que divide a população em obesos 5 dos valores acima do IMC no ponto em questão e não obesos que seriam os 95 com IMC abaixo do ponto 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 1520 Cálculo dos quartis Para realizar este cálculo basta se basear no cálculo da mediana lembrando que agora têmse mais pontos de forma que para calcular esses pontos alguns ajustes devem ser feitos a Dados brutos Considerando o exemplo das idades 20 22 22 25 28 35 37 41 65 Mediana Q 28 anos Valor central Quartil 1 Q 22 anos 25 abaixo Quartil 3 Q 37412 39 anos 75 abaixo Q será a mediana entre valor mínimo e Q Q será a mediana entre Q e valor máximo b Dados tabulados b1 Distribuição tipo A valores individuais Procedimento de cálculo Calcular elemento quartil Onde k ordem do quartil e n é o total de observações 2 Na sequência localizar com auxílio da Fac o valor e definilo fazendo Ex Calculando o quartis 1 e 3 2 1 3 1 2 3 3 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 1620 EQ 1x884 884 22 O resultado do cálculo fornece a ordem do elemento que representa a medida desejada no exemplo Q é o 22º elemento Portanto Q 1 uma vez que nesse ponto temos pelo que nos indica a frequência acumulada do 5º ao 24º valor EQ 3x884 2644 66 O resultado do cálculo fornece a ordem do elemento que representa a medida desejada no exemplo Q é o 66º elemento Portanto Q 4 sucessos por ser o elemento de ordem 66 b1 Distribuição tipo B Valores em Classes Procedimento de cálculo 1 Calcular elemento quartil 2 Com o valor do elemento e auxílio da Fac localizar a classe do quartil que vem a ser a classe em que se encontra o quartil de interesse 3 Aplicar a fórmula Onde a l limite inferior da classe mediana b h amplitude de classe c F Frequência acumulada da classe anterior à classe do quartil d F frequência simples da classe quartil Ex Portanto caso se queira calcular por exemplo Q 1 1 1 3 3 3 i ant quartil 1 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 1720 Cálculo dos decis O procedimento será análogo ao cálculo dos quartis calculandose agora o elemento decil onde O restante do procedimento é similar para os dados tabulados e no caso de dados brutos utilizase o seguinte roteiro 1 Calcular elemento porcentil fazendo a devida aproximação 2 Com o valor do elemento porcentil e auxílio da Fac definir o valor do porcentil em questão Para o caso de distribuição de frequências em classes considere o exemplo dos ratos que foram privados de água Os valores de D por exemplo seriam assim calculados 2 2 Aplicando a fórmula para cálculo 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 1820 Cálculo dos percentis O procedimento será análogo ao cálculo dos quartis calculandose agora o elemento percentil onde O restante do procedimento é similar para os dados tabulados e no caso de dados brutos utilizase o seguinte roteiro 3 Calcular elemento porcentil fazendo a devida aproximação 4 Com o valor do elemento porcentil e auxílio da Fac definir o valor do porcentil em questão Para o caso de distribuição de frequências em classes considere o exemplo dos ratos que foram privados de água Os valores de P e P por exemplo seriam assim calculados 10 90 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 1920 4 Aplicando a fórmula para cálculo Obtémse 5 Conclusão Este Tópico procurou mostrar um pouco das medidas estatísticas que são utilizadas como parâmetros quando os valores são oriundos de dados populacionais ou estimativas quando são calculados a partir de amostras As medidas vistas neste Tópico junto às medidas de dispersão a serem vistas no próximo tópico permitem resumir o conjunto de valores de forma bastante eficiente permitindo assim i a análise descritiva do conjunto de valores ii expressar ao leitor o comportamento das características avaliadas no estudo variáveis no caso da escrita de trabalhos científicos 6 Referências 08092022 2043 Medidas de Posição e de Ordenamento httpsceadgraduacaouvvbrconteudophpaulamedidasdeposicaoedeordenamentodcpestatisticabasicaadaptacaobioestatisticaadaptacaoprobabilidadeeestatisticaadaptacaotopico03 2020 ARANGO Hector Gustavo Bioestatística Teórica e Computacional 3 ed Barueri Grupo GEN 2009 CRESPO A A Estatística Fácil São Paulo Saraiva 1996 MORETTIN Pedro Alberto BUSSAB Wilton Oliveira Estatística básica São Paulo Saraiva Educação SA 2017 YouTube 2017 Dá uma força Média Moda e Mediana Todos os detalhes de forma simples 7min18 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv2sJ8RSUXMUY YouTube 2020 Propriedades da média da variância e do desvio padrão Scimus Estatística 7min17 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvUZyTALkE4x4