Princípio Fundamental da Contagem e Propriedades da Probabilidade

Lembra o que é o Princípio Fundamental da Contagem BUSSAB MORETTIN 2004 explicam que quando temos um espaço amostral finito em que todos os pontos amostrais têm a mesma probabilidade 1n não é necessário explicitar completamente Ω e A Nesse caso são usados os métodos clássicos de contagem da análise combinatória Um princípio fundamental de contagem diz que se uma tarefa pode ser executada em duas etapas a primeira podendo ser realizada de p maneiras e a segunda de q maneiras então a tarefa completa pode ser executada de pq maneiras Esse é o princípio multiplicativo Propriedades da Probabilidade A probabilidade varia entre 0 e 1 ou entre 0 e 100 podemos assim representar por 0 PA 1 para qualquer evento A O espaço amostral Ω é composto por todos os possíveis resultados logo a probabilidade do espaço amostral é 1 ou 100 Sendo PΩ 1 Se A é o complemento do evento A então PA1PA Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se possuem interseção vazia a probabilidade de eles ocorrerem simultaneamente é nula Isto é A B Ø Teorema da soma se A e B são dois eventos quaisquer então a probabilidade de pelo menos um dos eventos ocorrer A ou B é dada por PA B PA PB PA B Teorema do produto dado que o evento A com probabilidade PA ocorre n vezes a probabilidade das n repetições é dada por Se a ocorrência de A não influencia na ocorrência de B ou viceversa os dois eventos são considerados independentes e a probabilidade da ocorrência dos dois eventos é dada por PA B PA PB A sentença acima pode ser lida por A probabilidade de A ocorrer e B ocorrer Exemplo sejam A e B dois eventos mutuamente exclusivos A probabilidade de ocorrência de pelo menos um deles é 052 e a probabilidade de A não ocorrer é 060 Calcule PB Temos Logo PB 052 04 012 Operações com Eventos Ilustração das propriedades Exemplo em um estudo feito com 60 pessoas foram coletadas informações sobre o estilo de vida de cada um sedentário ou não e sobre o peso de cada um obeso ou não Foram observadas 24 pessoas obesas e 34 sedentárias dentre as 24 pessoas obesas 15 foram classificadas como sedentárias Qual a probabilidade de A um indivíduo ser obeso ou sedentário B um indivíduo ser sedentário e obeso C um indivíduo ser sedentário e não obeso Resolução Definimos O Pessoas obesas S Pessoas sedentárias As possíveis combinações de características são Com os valores informados no enunciado poderemos montar uma tabela ou um diagrama de Venn de possibilidades e assim encontrar as probabilidades Podemos iniciar com a tabela Temos então que 15 pessoas são obesas e sedentárias ONS e para completar o número de obesas teremos 9 pessoas obesas e não sedentárias ONS Das 34 sedentárias sabese que 15 são obesas logo 19 são não obesas e sedentárias ŌS Completando a tabela temos que 17 pessoas são Não obesas e não sedentárias ŌS O diagrama de Venn iniciase preenchendo a informação da interseção no centro do diagrama ou seja o número de pessoas que são obesas O e sedentárias S que foi informado no enunciado como sendo 15 pessoas Depois preenchese os valores restantes dos eventos obeso e sedentário E por fim encontra a quantidade necessária para completar o valor de 60 pessoas Observe que Nº de Obesos 9 15 24 Nº de sedentários 15 19 34 Nº de não obesos e não sedentários 60 9 15 19 17 Agora podemos responder os questionamentos feitos no problema utilizando as operações entre eventos e teorema da soma a Qual a probabilidade de um indivíduo ser obeso ou sedentário Nesse caso poderemos usar o teorema da soma utilizando os totais informado ou seja P SO PS PO PSO Ou utilizar o diagrama de Venn e somar os valores de O e S ou seja ATENÇÃO Se vários eventos raros ocorrem em algum lugar eles podem ter sido causados simplesmente pela casualidade Os eventos raros irão acontecer com alguém em algum lugar e em algum momento desde que haja tempo e pessoas suficientes RUMSEY2009 4 Probabilidade Condicional Quando a probabilidade de ocorrência de um evento é afetada pela ocorrência ou não de outro chamamos de probabilidade condicional Matematicamente segundo Bussab 2010 dizemos que a probabilidade de A está condicionada a ocorrência de B com a seguinte notação Também podemos interpretar como a probabilidade de A dado a ocorrência de B ou a probabilidade de A sabendo que B ocorreu Exemplo em um estudo feito com 60 pessoas foram coletadas informações sobre o estilo de vida de cada uma sedentário ou não e sobre o peso de cada uma obeso ou não conforme tabela abaixo