Lugar das Raizes - Metodo para Localizacao de Polos em Sistemas de Controle

Capítulo 4 O método do lugar das raízes 41 Introdução Neste capítulo é apresentado o método do lugar das raízes que consiste basicamente em levantar a localização dos pólos de um sistema em malha fechada em função da variação de um parâmetro K O projeto de controladores envolve sempre a escolha da localização de pólos e ze ros do sistema em malha fechada que deve ser traduzida através da escolha da estrutura do controlador e dos seus parâmetros Como em controlares P PI PD e PID Desta forma a utilização do lugar das raízes pode ser útil no projeto de contro ladores pois neste podese observar a movimentação dos pólos em malha fechada a medida que um parâmetro K varia Ao final apresentase exemplos da utilização do método do lugar das raízes para o projeto de controladores 42 O método do lugar das raízes Considere o seguinte sistema em malha fechada ilustrado na Figura 41 Es Rs Ys Hs Controlador Gs Planta referencia saida Us Figura 41 Sistema de controle em malha fechada A equação em malha fechada deste sistema pode ser escrita como Ys Rs GsHs 1 GsHs Os pólos em malha fechada deste sistema podem ser encontrados resolvendose a se guinte equação característica 1 GsHs 0 ou GsHs 1 53 Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM Figura 42 ab ângulos de dois pontos de teste em relação os pólos e zeros de GsHs Como GsHs é um número complexo podemos escrever as seguintes equações Condição do ângulo GsHs 180o2 k 1 k 0 1 2 Condição do módulo GsHs 1 Em muitos casos GsHs envolve um ganho K 1 K s z1s z2 s zm s p1s p2 s pn 0 Para começarmos a esboçar o lugar das raízes é necessário conhecer os pólos e zeros de GsHs Os ângulos de qualquer ponto s em relação aos pólos e zeros de GsHs devem ser medidos no sentido antihorário O lugar das raízes é um gráfico que fornece as raízes em malha fechada no plano s em função da variação de K 0 K Por exemplo seja o seguinte sistema Ks z1 s p1s p2s p3s p4 onde p2 e p3 são pólos complexos conjugados Podemos escrever a condição de ângulo como a seguir GsHs φ1 θ1 θ2 θ3 θ4 A Figura 42 ilustra os ângulos para dois pontos de teste distintos A condição do módulo é dada por GsHs KB1 A1A2A3A4 onde A1 A2 A3 A4 e B1 são os módulos das grandezas complexas s p1 s p2 s p3 s p4 e s z1 como pode ser observado na Figura 42a Note que pelo fato dos pólos complexos conjugados ou zeros complexos conjuga dos se existirem serem simétricos o lugar das raízes também é simétrico em relação ao eixo real σ 20 de setembro de 2007 324 PM 54 DRAFT V 50 Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM Exemplo 41 Suponha que desejamos construir o lugar das raízes do sistema de controle em malha fechada ilustrado na Figura 41 Onde Gs Kss1s2 e Hs 1 Desejase construir o lugar das raízes para se determinar o valor K tal que o coeficiente de amortecimento ζ de um par de pólos complexos conjugados dominantes seja igual a ζ 05 A condição do ângulo pode ser escrita como GsHs Kss1s2 s s1 s2 180º2k1 k012 A condição do módulo pode ser escrita como Gs Kss1s2 1 O lugar das raízes pode agora ser construído através dos seguintes passos Passo 1 Determinar o lugar das raízes sobre o eixo real O primeiro passo para a construção do lugar das raízes é a localização dos pólos em malha aberta s 0 s 1 s 2 no plano complexo não existem zeros neste caso Note que os pontos de partida do lugar das raízes são as raízes de GsHs O número de trechos do lugar das raízes é três o que equivale ao número de pólos em malha aberta Vamos admitir alguns pontos de teste Vamos supor que o ponto de teste se encontra na região positiva ie s σ 0 Para qualquer ponto s σ 0 temos s s1 s2 0º Desta forma a condição de ângulo para sσ0 não é satisfeita Para s 1 σ 0 temos s 180º s1 s2 0º Desta forma s s1 s2 180º Logo o trecho 1 σ 0 pertence ao lugar das raízes Para s 2 σ 1 temos s 180º s1 180º s2 0º Desta forma s s1 s2 360º Logo o trecho 2 σ 1 não pertence ao lugar das raízes 20 de setembro de 2007 324 PM 55 DRAFT V 50 Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM Para s σ 2 temos s 180º s1 180º s2 180º Desta forma s s1 s2 3180º Logo o trecho σ 2 pertence ao lugar das raízes Portanto no eixo real o lugar das raízes existe entre 1 σ 0 e σ 2 Passo2 Determinar as assíntotas no lugar das raízes Se o ponto de teste está localizado longe da origem então lim s Gs lim s Kss1s2 lim s Ks³ ou seja a condição do ângulo pode ser escrita como 3s 180º2k1 k012 A equação do ângulo das assíntotas pode então ser escrita como ângulo das assíntotas 180º2k13 k012 Os ângulos são portanto 60º 60º e 180º Na Seção 43 a fórmula genérica da determinação do ângulo das assíntotas é deduzida Para qualquer sistema as assíntotas podem ser calculadas através da seguinte equação ângulo das assíntotas 180º2k1nm k012 Onde n número de pólos finitos de GsHs m número de zeros finitos de GsHs O ponto de interseção das assíntotas σa pode ser calculado como a seguir σa an1 bm1nm Onde Veja Equação 248 an1 pólos em malha aberta bm1 zeros em malha aberta Na Seção 43 apresentase uma dedução completa desta equação Para o sistema em questão temos σa an1 bm1nm 3 03 0 1 20 de setembro de 2007 324 PM 56 DRAFT V 50 Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM Passo 3 Cálculo do ponto de saída do eixo real breakway point O ponto de saída do eixo imaginário se encontra entre os pólos de malha aberta s 0 e s 1 e corresponde a um ponto onde os pólos são duplos O ponto de saída do eixo real pode ser determinado através da seguinte equação3 dK ds 0 Para o sistema em questão a equação característica pode ser representada como 1 GsHs 1 K ss 1s 2 0 o que resulta em K s3 3s2 2s Calculando a derivada obtemos dK ds 3s2 6s 2 0 As raízes desta equação de 2a ordem são s 04226 que corresponde a K 03849 e s 15774 que corresponde a K 03849 Note que a raiz s 15774 não pode ser a solução pois corresponde a um ganho negativo Por outro lado sabemos que a solução está no intervalo 1 0 logo a solução é dada por s 04226 Passo 4 Determinar os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo ima ginário Esses pontos podem ser encontrados utilizando o critério de estabi lidade de RouthHurwitz já que o ponto de cruzamento representa o ponto de transição de uma região estável para uma região instável A equação característica é dada por s3 3s2 2s K 0 A tabulação de RouthHurwitz é a seguinte s3 1 2 s2 3 K s1 6K 3 s0 K Para que o sistema seja estável a primeira coluna deve conter todos os elemen tos com o mesmo sinal então concluímos neste caso que todos os elementos devem ser positivos Na linha referente a s1 temos 6K 3 0 K 6 Ou seja K 6 é o valor de transição A solução para o problema pode ser encontrado adotando o valor K 6 e 3Na Seção 43 apresentase a dedução desta equação 20 de setembro de 2007 324 PM 57 DRAFT V 50 Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM a equação auxiliar referente a s2 3s2 K 0 3s2 6 0 s2 2 s j 2 Passo 5 Escolher pontos de teste na vizinhança do eixo jω e da origem Escolha um ponto de teste na vizinhança do eixo jω e da origem como ilustrado na Figura 43 Figura 43 Escolha de um ponto de teste Verifique a condição de ângulo caso não seja satisfeita escolha um outro ponto Determine um número de pontos suficiente para traçar o lugar das raízes Passo 6 Desenhe o lugar das raízes A Figura 44 ilustra o lugar das raízes resultante 20 de setembro de 2007 324 PM 58 DRAFT V 50 Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM Figura 44 Lugar das raízes para GsHs Kss1s2 Passo 7 Determinar o par de pólos complexos conjugados para ζ 05 Sabemos que cos β ζ veja Figura 45 logo temos β cos¹ 05 60º Ou seja a solução do problema pode ser determinada pela intersecção entre retas com um ângulo de 60º em relação ao eixo real e o lugar das raízes Os pólos correspondentes podem ser determinados no gráfico s₁ 03337 j05780 s₂ 03337 j05780 Para descobrir o valor de K correspondente podemos utilizar a condição de módulo GsHs Kss1s2 1 K ss1s2s03337j05780 K 10383 Com este valor de K é possível achar o terceiro pólo em s 23326 20 de setembro de 2007 324 PM 59 DRAFT V 50 Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM Figura 45 Pólos complexos e grandezas associadas Exemplo 42 Considere um sistema de controle em malha fechada ilustrado na Figura 41 onde Gs Ks 2 s2 2s 3 e Hs 1 A função de transferência em malha aberta possui um par de pólos com plexos conjugados em 1 j 2 Determinar o lugar das raízes para este sis tema Passo 1 Determinar o lugar das raízes no eixo real Para qualquer ponto de teste no eixo real a contribuição dos pólos complexos conjugados é 360o veja Figura 46 Ou seja θ1 θ2 360o Figura 46 Determinação do lugar das raízes no eixo real 20 de setembro de 2007 324 PM 60 DRAFT V 50 é fácil verificar que o trecho no eixo real correspondente a sσ2 pertence ao lugar das raízes já que GsHsKs2s22s3s2 s22s3s2360º180º2k1 k0123 Passo 2 Determinar o ângulo de partida em relação ao par de pólos complexos conjugados é importante determinar neste caso o ângulo de partida do lugar das raízes em relação ao par de pólos complexos conjugados Vamos supor um ponto de teste ao redor muito próximo de sp1 veja Figura 47 Figura 47 Determinação do ângulo de partida Se o ponto s pertence ao lugar das raízes então deve satisfazer a condição de ângulo ϕ1 θ1 θ2 180º2k1 ou θ1 180º θ2 ϕ1 180º θ2 ϕ1 Se o ponto s está na vizinhança de p1 então podemos admitir que θ2 ϕ1 θ2 ϕ1 Logo θ1 180º θ2 ϕ1 180º 90º 55º 145º Como o lugar das raízes é simétrico o ângulo de partida em p2 é 145º 20 de setembro de 2007 324 PM 61 DRAFT V 50 Passo 3 Determinar o ponto de chegada no eixo real breakin point Sabemos que o lugar das raízes deve se encontrar no eixo real num ponto correspondente a um pólo duplo Podemos resolver este problema podemos utilizar dKds0 A equação característica do sistema é dada por 1GsHs1 Ks2s22s3 0 K s22s3s2 Caculando a derivada obtemos dKds 2s2s2s22s3s22 0 2s2 4s 2s 4 s2 2s 3s22 0 s2 4s 1s22 0 A equação característica é dada então por s2 4s 1 0 As raízes são dadas por s 3732 K 54641 pertence ao lugar das raízes s 02680 K 14641 não pertence ao lugar das raízes Então o ponto de chegada é dado por s 03732 Passo 4 Desenhe o lugar das raízes Aqui devemos testar vários pontos no plano s para tentar se determinar o lugar das raízes Para este caso entretanto sabemos que o lugar das raízes na região dos pólos complexos conjugados descreve um círculo Para se derivar a equação do círculo vamos escrever inicialmente a condição do ângulo s2 s1j2 s1j2 180º2k1 Substituindo s σ jω obtemos σ2jω σ1jω j2 σ1jω j2 180º2k1 Esta equação pode ser escrita como tan1ωσ2 tan1ω2σ1 tan1ω2σ1 180º2k1 ou tan1ω2σ1 tan1ω2σ1 tan1ωσ2 180º2k1 Tomando a tangente de ambos os lados e utilizando a seguinte relação tanx y tan x tan y1 tan x tan y 20 de setembro de 2007 324 PM 62 DRAFT V 50 obtemos tantan1ω2σ1tan1ω2σ1tantan1ωσ2 180º2k1 ω2σ1ω2σ11ω2σ1ω2σ1 ωσ2 01 ωσ20 2ωσ1σ12ω22 ωσ2 ωσ22 ω2 3 0 Desta forma ω0 ou σ22 ω2 32 Obtemos portanto uma equação de um círculo de raio 32 e centro em 20 A Figura 48 ilustra o lugar das raízes resultante Figura 48 Lugar das raízes resultante 20 de setembro de 2007 324 PM 63 DRAFT V 50 43 Um resumo das regras gerais para a construção do lugar das raízes Inicialmente devese partir da equação característica 1 GsHs 0 Esta equação deve agora ser rearranjada da seguinte forma 1 K s z1s z2 s zms p1s p2 s pn 0 onde K 0 Passo1 localizar os pólos e zeros de GsHs no plano s O lugar das raízes começa em pólos de malha aberta e termina em zeros zeros finitos ou infinitos4 Note que o lugar das raízes é sempre simétrico em relação ao eixo real no plano s devido ao fato que pólos complexos e zeros complexos são sempre pares conjugados Os pontos de partida do lugar das raízes são pólos em malha aberta e correspondem a K 0 Isto pode ser observado pela condição do módulo GsHs 1 fazendo o valor de K tender a zero limK0s z1s z2 s zm s p1s p2 s pn limK0 1K infinity Esta equação implica que quando K tende a 0 o valor de s deve se aproximar dos pólos em malha aberta Portanto cada lugar das raízes se origina em um pólo da função de transferência em malha aberta GsHs Quando K aumenta para infinito cada lugar das raízes devese aproximar de um zero da função de transferência em malha aberta ou infinito no plano s Isto pode ser concluído através da observação da seguinte equação limKinfinitys z1s z2 s zm s p1s p2 s pn limKinfinity 1K 0 Portanto no infinito o valor de s deve se aproximar de um zero finito de malha aberta ou um zero de malha aberta infinito O lugar das raízes terá tantos pedaços quanto forem o número de raízes da equação característica Se o número de raizes em malha aberta é igual ao número de raízes em malha fechada eventualmente em malha fechada pólos e zeros podem se cancelar o número de pedaços terminando em zeros finitos é igual ao número m de zeros em malha aberta Os n m pedaços restantes terminam no infinito tangenciando as assíntotas Passo 2 determinar a localização do lugar das raízes no eixo real O lugar das raízes no eixo real é determinado através dos pólos e zeros em malha aberta que estão sobre o mesmo Os pólos e zeros complexos conjugados de malha aberta não tem influência sobre o lugar das raízes no eixo real porque a contribuição à condição do ângulo de pólos e zeros complexos conjugados é de 360º Cada porção do lugar das raízes no eixo real se estende de um pólo ou zero em malha aberta para outro pólo ou zero em malha aberta Ao se escolher um ponto de teste s no eixo real se o número de pólos e zeros reais à direita do ponto de teste for ímpar então este ponto faz parte do lugar das raízes Passo3 determinar as assíntotas do lugar das raízes Se o ponto de teste está localizado longe da origem então o ângulo de cada pólo complexo pode ser considerado o 4um sistema possui um número de zeros no infinito equivalente ao excesso de pólos ou seja n m Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM mesmo As assíntotas podem ser calculadas através da seguinte equação ângulo das assíntotas 180o2k 1 n m k 0 1 2 Onde n número de pólos finitos de GsHs m número de zeros finitos de GsHs O ponto de intersecção das assíntotas σa pode ser calculado como a seguir Consi derando a equação característica do sistema em malha fechada 1 GsHs 0 Que pode ser escrito também como 1 K sm bm1sm1 b0 sn an1sn1 a0 0 41 para valores grandes de s podemos considerar apenas os termos de maior ordem Dessa forma podemos escrever 1 K sm sn 0 Desta aproximação resultam n m assíntotas com início em s 0 Uma aproximação mais razoável é considerar que as assíntotas cruzam o eixo real num ponto denominado σa 1 K 1 s σanm 0 Expandindo o denominador e tomando os dois termos de maior grau resulta em 1 K 1 snm n mσ nm1 a 0 42 Voltando à Equação 41 dividindo o denominador pelo numerador obtemos 1 K 1 snan1sn1a0 smbm1sm1b0 0 A divisão dos polinômios sn an1sn1 a0 sm bm1sm1 b0 considerando os dois primeiros termos do numerador e denominador é dada por sn an1sn1 sm bm1sm1 snm an1 bm1snm1 am1 bm1bm1sn1 sm bm1sm1 Desprezando a parte correspondente ao resto da divisão a equação característica pode então ser escrita como 1 K 1 snm an1 bm1snm1 0 43 Comparando as Equações 42 e 43 obtemos an1 bm1 n mσa então σa an1 bm1 n m 20 de setembro de 2007 324 PM 65 DRAFT V 50 Onde Veja Equação 248 an1 sum pólos em malha aberta bm1 sum zeros em malha aberta Passo 4 calcular os pontos de chegada breakin e de partida breakaway no eixo real Se o lugar das raízes se encontra entre duas raízes de malha aberta no eixo real então existe pelo menos um ponto de partida entre os dois pólos Similarmente se o lugar das raízes se encontra entre dois zeros de malha aberta um dos zeros pode estar em então sempre existirá pelo menos um ponto de chegada entre os dois zeros Se o lugar das raízes se encontra entre um pólo de malha aberta e um zero finito ou infinito no eixo real então pode não existir um ponto de chegada ou partida ou podem existir ambos Os pontos de chegada ou partida podem ser determinados como a seguir Inicialmente escrevemos a equação característica da seguinte forma fs Bs KAs 0 44 onde As e Bs não contêm K Devemos notar que fs tem múltiplas raízes onde d fsd s 0 Isto pode ser comprovado observando a seguinte equação característica onde s1 é uma raiz com multiplicidade r Então fs pode ser escrito como fs s s1r s s2 s sn Se esta equação for diferenciada com respeito a s e calculada no ponto s1 então d fsd sss1 0 45 Isto significa que os pólos múltiplos satisfazem a Equação 45 Vamos agora diferenciar a Equação 44 d fsd s Bs KAs 0 46 onde As dAsd s e Bs dBsd s O valor particular K que possui raízes múltiplas é obtido através da Equação 46 como K BsAs 47 Substituindo o valor de K dado pela Equação 47 na Equação 44 obtemos fs Bs BsAs As 0 ou BsAs BsAs 0 48 Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM Se esta equação for resolvida para s a raiz múltipla pode ser encontrada Por outro lado da Equação 44 obtemos K Bs As calculando a derivada obtemos dK ds BsAs BsAs A2s Se para esta equação for imposto que dKds 0 então obtemos a mesma equação que a Equação 48 Desta forma os pontos de chegada ou partida podem ser determinados através da equação dK ds BsAs BsAs 0 Devese notar que nem todas as raízes que satisfazem esta equação são pontos de partida ou de chegada Passo 5 determine o ângulo de partida de um pólo complexo ou ângulo de chegada em um zero complexo de malha aberta Para se determinar o ângulo de partida ou chegada devese fazer a suposição que para um teste nas vizinhanças de um pólo ou zero a soma das contribuições angulares dos outros pólos e zeros pode ser considerada constante Desta forma o ângulo de partida e chegada podem ser calculados da seguinte forma ângulo de partida de um pólo complexo 180o soma das contribuições angulares dos outros pólos em relação ao pólo em questão soma das contribuições angulares dos zeros em relação ao pólo em questão e ângulo de chegada em um zero complexo 180o soma das contribuições angulares dos outros zeros em relação ao zero em questão soma das contribuições angulares dos pólos em relação ao zero em questão Passo 6 determinar os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário Os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário pode ser determinado através do critério de estabilidade de RouthHurwitz já que o ponto onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário corresponde a um valor de K tal que torna o sistema instável Devese utilizar a Tabulação de Routh e determinar o valor limite de K que faz com que o primeira coluna esteja no limite de uma troca de sinal ou seja impor que o elemento da primeira coluna que esteja em função de K seja nulo Calculado o valor de K facilmente determinase os pontos do lugar das raízes que cruzam o eixo imaginário em geral utilizando a equação auxiliar na linha correspondente ao termo s2 na Tabulação de Routh Passo 7 determinar o lugar das raízes na vizinhança global em torno da origem Aqui devese realizar um trabalho braçal determinadose o lugar das raízes utilizando vários pontos de teste e a informação acumulada nos ítens anteriores 20 de setembro de 2007 324 PM 67 DRAFT V 50 Passo 8 identificar os pólos de malha fechada desejados e os valores do ganho K associados Obviamente qualquer ponto do lugar das raízes deve sastisfazer a condição de módulo Desta forma se for conhecida a localização de um pólo em malha fechada o ganho K pode ser calculado através da seguinte equação K Πi1n sc siΠk1m sc zk 44 O efeito da introdução de pólos e zeros no lugar das raízes Adição de pólos A adição de um pólo na função de transferência em malha aberta tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a direita diminuindo a estabilidade relativa e aumentando o tempo de acomodação do sistemaLembrese que a adição de um controle integral adiciona um pólo na origem tornando o sistema menos estável A Figura 49 ilustra o efeito da adição de um pólo para um sistema originalmente com um único pólo e também o efeito da adição de dois pólos Figura 49 a Lugar das raízes para um sistema com um único pólo b Lugar das raízes para um sistema com dois pólos c Lugar das raízes para um sistema com três pólos Adição de zeros A adição de um zero na função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a esquerda aumentando a estabilidade relativa e diminuindo o tempo de acomodação do sistema Fisicamente a adição de um zero corresponde a introdução de uma ação de controle derivativa O efeito desta ação de controle proporciona uma ação antecipatória no sistema além de uma resposta transitória rápida A Figura 410a ilustra um sistema que é estável para ganhos pequenos e instável para ganhos grandes As Figuras 410b c e d mostram o gráfico de lugar das raízes quando um zero é adicionado à função de transferência de malha aberta Note que quando um zero é adicionado ao sistema da Figura 410a o sistema se torna estável para qualquer valor de ganho Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM Figura 410 a Lugar das raízes de um sistema com três pólos b c e d Ilustrações com o efeito da adição de um zero ao sistema 45 Configurações típicas de pólos e zeros e lugares das raízes correspondentes Na prática sempre utilizamos informações a priori ou seja muitas vezes já sabemos qual o formato básico do lugar das raízes baseado no número de pólos e zeros da malha aberta GsHs e sua localização no plano s Estas informações a priori em geral levam a uma construção do lugar das raízes de maneira muito rápida A Figura reffigtabelalr ilustra configurações típicas de pólos e zeros e os lugares das raízes correspondentes 20 de setembro de 2007 324 PM 69 DRAFT V 50 Notas de Aula PMR2360 Cap 4 NM Figura 411 Configurações típicas de pólos e zeros e lugares das raízes 20 de setembro de 2007 324 PM 70 DRAFT V 50