Aula 7 - Tipos de Sistemas e Erro em Regime Permanente - ITA

Instituto Tecnologico de Aeronautica 1 9 Instituto Tecnologico de Aeronautica Divisao de Engenharia Eletrˆonica Departamento de Sistemas e Controle Sao Jose dos Campos Sao Paulo Brasil Aula 7 Tipos de sistemas e erro em regime permanente Rubens J M Afonso EES10 Sistemas de Controle I 13 de marco de 2018 Rubens J M Afonso Tipos de sistemas e erro em regime permanente Instituto Tecnologico de Aeronautica 2 9 Motivac ao Um dos primeiros requisitos que se estabelece para um sistema de controle referese ao seguimento de um sinal de referˆencia rt O comportamento da variavel de saıda yt apos um determinado tempo de aplicac ao da entrada de referˆencia rt e de particular interesse como no caso de ajuste de temperatura de um forno ajuste de velocidade de uma aeronave posicionamento de um braco robotico entre outros Este valor e chamado de valor em regime permanente da variavel e seu requisito e expresso em termos de um erro em regime permanente maximo aceitavel Rubens J M Afonso Tipos de sistemas e erro em regime permanente Se o denominador da transformada de Laplace de um sinal tiver todos os polos no SPE a menos de um deles que pode estar em s 0 este sinal convergirá para um valor real Neste caso podemos aplicar o teorema do valor final para obter o valor em regime permanente deste sinal Example 1 Um sinal Ys 3 ss2 s 2 terá valor final igual a note que duas raízes do denominador estão no SPE e uma é igual a 0 lim t yt lim s 0 sYs 3 2 De fato expandindo em frações parciais podese determinar a resposta yt 32 32 et2 cos72t 327 et2 sen72t O erro em regime consiste no valor do erro et depois de um longo tempo de aplicação da referência rt Para uma malha de controle com realimentação negativa unitária sabemos que Ys KGs 1 KGs Rs Com isso podese calcular Es como Es Rs Ys 1 KGs 1 KGs Rs 1 1 KGs Rs Instituto Tecnologico de Aeronautica 5 9 Entradas de interesse Algumas entradas de interesse para sistemas de controle sao 1 Degrau Rs 1 s 2 Rampa Rs 1 s2 3 Parabola Rs 1 s3 Para estas entradas e interessante calcular o erro em regime Rubens J M Afonso Tipos de sistemas e erro em regime permanente Instituto Tecnologico de Aeronautica 6 9 Erro em regime para entrada degrau O erro em regime pode ser calculado substituindo Rs 1 s na expressao de Es e usando o teorema do valor final e necessario que o limite exista lim tet lim s0sEs lim s0s 1 1KGs 1 s 1 1K lims0 Gs 4 Caso Gs nao tenha nenhum polo na origem teremos e 1 1KG0 1 1Kp 5 em que Kp e a constante de erro de posic ao Vale notar que quanto maior o ganho de malha DC Direct Current em referˆencia a uma corrente estacionaria direta em um circuito eletrico dado por Kp KG0 menor sera o erro em regime para uma entrada degrau Caso haja um ou mais polos em zero temse e 0 6 Rubens J M Afonso Tipos de sistemas e erro em regime permanente Instituto Tecnologico de Aeronautica 7 9 Erro em regime para entrada rampa O erro em regime pode ser calculado substituindo Rs 1 s2 na expressao de Es e usando o teorema do valor final e necessario que o limite exista lim tet lim s0sEs lim s0s 1 1KGs 1 s2 1 K lims0 sGs 7 Caso Gs nao tenha nenhum polo na origem teremos e 8 isto e a saıda nao consegue acompanhar a rampa e o erro aumenta cada vez mais Caso haja um polo em zero temse e 1 K lims0 sGs 1 Kv 9 em que Kv e a constante de erro de velocidade Vale notar que quanto maior Kv menor sera o erro em regime para uma entrada rampa Caso haja dois ou mais polos em zero temse e 0 10 Rubens J M Afonso Tipos de sistemas e erro em regime permanente Instituto Tecnologico de Aeronautica 8 9 Erro em regime para entrada parabola O erro em regime pode ser calculado substituindo Rs 1 s3 na expressao de Es e usando o teorema do valor final e necessario que o limite exista lim tet lim s0sEs lim s0s 1 1KGs 1 s3 1 K lims0 s2Gs 11 Caso Gs tenha um ou nenhum polo na origem teremos e 12 isto e a saıda nao consegue acompanhar a parabola e o erro aumenta cada vez mais Caso haja dois polos em zero temse e 1 K lims0 s2Gs 1 Ka 13 em que Ka e a constante de erro de acelerac ao Vale notar que quanto maior Ka menor sera o erro em regime para uma entrada parabola Caso haja trˆes ou mais polos em zero temse e 0 14 Rubens J M Afonso Tipos de sistemas e erro em regime permanente Instituto Tecnologico de Aeronautica 9 9 Tipo do sistema Pudemos notar que o numero de polos de Gs na origem desempenha um papel importante no erro em regime para as entradas degrau rampa e parabola muito comuns em sistemas de controle Por isso definese o tipo do sistema atraves do numero de polos do mesmo na origem em malha aberta polos de Gs Assim um sistema com N polos na origem e chamado sistema tipo N Resumindo Tabela Erro em regime para entradas degrau rampa e parabola conforme o tipo do sistema Tipo Entrada 0 1 2 Degrau 1 s 1 1Kp 0 0 Rampa 1 s2 1 Kv 0 Parabola 1 s3 1 Ka Rubens J M Afonso Tipos de sistemas e erro em regime permanente