Respostas Temporais em Sistemas de Controle - Análise e Projeto

5 Respostas Temporais 37 37 5 Respostas Temporais 51 Introdução Uma das vantagens da realimentação é permitir ajustar os desempenhos transitório e estacionário de sistemas de controle Para projetar e analisar sistemas de controle é necessário definir e medir o desempenho dos sistemas Então com base no desempenho desejado os parâmetros do controlador podem ser ajustados para se atingir esse objetivo É necessário estabelecer uma base que permita ao analistaprojetista comparar os desempenhos de diferentes opções de sistemas de controle Isto pode ser feito escolhendose sinais de entrada particulares e comparandose os desempenhos obtidos em cada caso Um bom número de critérios de projeto baseiase nesses sinais particulares ou na resposta do sistema a condições iniciais As especificações de projeto de sistemas de controle normalmente incluem vários índices de resposta temporal para um sinal de entrada determinado além de uma precisão especificada para a resposta estacionária Muitas vezes na prática o sinal de referência de um sistema de controle não é conhecido a priori por exemplo o controle de trajetória de robôs móveis Pode ocorrer inclusive que o sinal de referência seja de natureza aleatória Há naturalmente exceções como o caso de máquinas de corte foguetes lançadores de satélites etc Os sinais de referência mais utilizados são o degrau a rampa a parábola menos comum o impulso e a senóide O tipo de sinal mais apropriado para uma dada aplicação depende das características desta Assim por exemplo quando se altera o valor desejado para a temperatura ambiente controlada através de um sistema do tipo ar condicionado calefação o degrau é um sinal apropriado O mesmo ocorre por exemplo no caso de um piloto automático de navio quando se altera bruscamente o rumo desejado Por outro lado imaginese um sistema de posicionamento para uma antena rastreadora de satélites Neste caso uma boa escolha para o sinal de referência é a rampa Por fim considerese um sistema de controle de uma suspensão ativa de automóvel Se o objetivo for estudar o comportamento do sistema quando o carro passar em alta velocidade por um buraco o impulso será uma escolha adequada para o sinal de distúrbio 52 Resposta a Impulso Para um sistema linear invariante no tempo SLIT com condições iniciais nulas Y s G s X s Supondo que a entrada seja um impulso unitário x t t X s 1 Portanto Y s G s Assim a resposta impulsiva yt do sistema é dada por y t g t L 1 G s Em vista disso a resposta impulsiva e a Função de Transferência são formas equivalentes de representar o comportamento dinâmico em termos de entradasaída Note que a relação Y s G s X s 5 Respostas Temporais 38 38 permite obter a resposta do sistema a uma entrada qualquer através do seguinte caminho Gs L 1 xt Xs Ys yt L Por outro lado uma das propriedades vistas de Transformada de Laplace referente à convolução de funções permite escrever y t g t x d g x t d t t 0 0 integral de convolução e portanto o conhecimento da resposta impulsiva permite obter a saída yt correspondente à função de entrada xt Na prática uma entrada em forma de pulso cuja duração é muito menor que as constantes de tempo significativas do sistema pode ser considerada como impulsiva de intensidade igual à área sob o pulso Exemplo 0 1 2 3 1 t t 10 01 1 1 s 0 1 2 3 1 t t 8 0 1 s 1 Notese que esse resultado pode ser entendido através da integral de convolução Para isso considere um pulso de área unitária de duração t1 t1T onde T é a menor constante de tempo do sistema e amplitude 1 t1 x t t t t t t t 0 0 1 0 0 1 1 1 Y s G s X s y t g t x d t 0 y t g t t d t g t d t t 1 1 1 0 1 0 1 1 t 1t Como t1 é suficientemente pequeno face às constantes de tempo do sistema podemos considerar g praticamente constante em qualquer intervalo de duração t1 e portanto Área 1 1 1t 0 t1 t 5 Respostas Temporais 39 39 y t t g t t g t 1 1 1 53 Sistemas de 1a Ordem Seja um sistema de 1a ordem com Função de Transferência Im Re 1 T e condições iniciais nulas C s R s s T T s T 1 1 1 1 Resposta a degrau r t t R s s C s s T s 1 1 1 1 1 Expandindo em frações parciais e tomando a transformada inversa C s s T s T c t e t t T 1 1 1 0 para t T c T e 1 0632 1 para t c T 0 0 1 tlim c t c 1 No caso geral em que o degrau tem amplitude A como consequência da linearidade do sistema condições iniciais nulas temse c t A e t t T 1 0 Portanto 0 T 2T 3T 4T 5T 1 0632 ct inclinação 1T t 632 865 950 982 993 Rs Cs 1 1 s T 5 Respostas Temporais 40 40 c T A e A 1 0632 1 c A T 0 c A Podemos escrever ct como c t c e t t T 1 0 donde se obtem c t c c e t t T 0 Tomando o logaritmo do valor absoluto ln ln c t c c t T t 0 Portanto o gráfico de ln c t c em função de t é uma reta Sendo assim quando conhecemos a saída de um SLIT com condições iniciais nulas para sabermos se o mesmo é de 1a ordem basta traçarmos o gráfico da função c t c em escala logarítmica e verificarmos se ele tem a forma de uma reta Resposta a Rampa Para entrada rampa unitária r t t t R s s 1 1 2 Portanto após decompor em frações parciais C s s T s T s T 1 1 2 Tomando a transformada inversa c t t T T e t t T 0 Note que para t T podemos aproximar c t t T t T Note também do diagrama de blocos que lnc t c lnc t inclinação 1T c t t T T e t T 0 T 2T 3T 4T 5T e e t tT rt t 5 Respostas Temporais 41 41 E s R s C s e t r t c t Portanto e t t t T T e T e t T t T 1 Para t suficientemente grande e t T 1 e portanto e t T t T Em particular lim t e t e T o que significa que há um erro estacionário Observando a figura e amparado pelas deduções acima podese afirmar que i quanto menor T mais rápido o transitório a que está sujeita a saída ct ii quanto menor T menor o erro estacionário e Resposta a impulso A entrada é dada por r t t R s 1 e portanto como já havíamos visto C s s T T s T 1 1 1 1 Logo c t T e t t T 1 0 cujo gráfico pode ser visto ao lado Propriedade Consideremos um SLIT com Função de Transferência Gs e condições iniciais nulas Quando a entrada é uma função rt dada a saída ct é tal que C s G s R s Se tomarmos agora r t r t 1 como entrada e as condições iniciais forem nulas 0 T 2T 3T 4T 5T 1T 0368T ct t Gs 5 Respostas Temporais 42 42 R s s R s 1 e a saída c1t correspondente é tal que C s G s R s s G s R s s C s 1 1 e portanto c t c t 1 Assim quando aplicamos na entrada do sistema a derivada de um sinal a saída obtida corresponde à derivada da saída original O mesmo acontece com a integral Seja r t r d t 2 0 que tem como Transformada de Laplace R s R s s 2 A saída c2t correspondente é tal que condições iniciais nulas C s G s R s G s R s s C s s 2 2 o que acarreta que c t c d t 2 0 Exemplo consideremos o sistema de 1a ordem visto e seja rt a rampa unitária Conforme vimos neste caso c t t T T e t t T 0 Como o degrau unitário é igual à derivada da rampa unitária a resposta a degrau c1t do sistema é c t c t e t t T 1 1 0 Para obtermos a resposta impulsiva basta considerarmos que o impulso unitário pode ser visto como a derivada do degrau unitário e portanto a resposta impulsiva do sistema c t resulta de imediato como sendo c t c t T e t t T 1 1 0 A título de verificação constatase que esta função é igual a L1 Gs como já havíamos visto anteriormente Observação poderíamos ter tomado o caminho inverso isto é partindo da resposta impulsiva e através de integrações sucessivas obtido as respostas a degrau e rampa Gs Gs r t c t r t c t Gs Gs r t c t r d t 0 c d t 0 Rs Cs 1 1 s T 5 Respostas Temporais 43 43 54 Sistemas de 2a ordem Resposta a degrau Consideremos o sistema de 2a ordem genérico com Função de Transferência 0 2 2 2 2 n n n n s s s R C s Os polos deste sistema são as raízes de s s n n 2 2 2 0 Analisemos a localização dos polos em função dos parâmetros do sistema Temos s n n n n 1 2 2 2 2 2 2 4 4 2 1 Em todos os problemas de controle o requisito fundamental a ser atendido é a estabilidade do sistema o que se traduz pela necessidade de que os polos do sistema se situem no semiplano esquerdo SPE Tendo em vista este fato há três casos a considerar 0 1 s s 1 2 são complexos conjugados subamortecimento 1 s s 1 2 são reais amortecimento crítico 1 s s 1 2 são reais superamortecimento ou sobreamortecimento Às demais possibilidades quanto aos valores de corresponde sempre a existência de dois polos no semiplano direito SPD quando 0 ou dois polos sobre o eixo imaginário quando 0 No primeiro caso o sistema é instável e no segundo sem amortecimento Estudemos então cada um dos três casos anteriores quando a entrada é um degrau unitário 1o Caso 0 1 Subamortecimento Neste caso os polos do sistema são s j j n n d 1 2 2 1 A figura ao lado mostra a representação desses polos no plano complexo Note que cos e 1 2 sen Nomenclatura n frequência natural não amortecida d frequência natural amortecida coeficiente de amortecimento Vamos ver em seguida as razões dessas designações Im Re Im n Re n 1 2 jd n 5 Respostas Temporais 44 44 Aplicando um degrau unitário na entrada do sistema R s s 1 e considerando condições iniciais nulas a saída será C s s s j s j n d d 2 Expandindo em frações parciais e antitransformando cada parcela ou consultando uma tabela obtémse c t e sen t t t d 1 1 1 0 2 O gráfico de ct tem o aspecto mostrado na figura ao lado Notase que i a resposta ct é uma oscilação amortecida ii a frequência de oscilação é d daí a designação frequência natural amortecida e portanto depende tanto de n quanto de sendo sempre d n e à medida que aumenta d diminui iii a envoltória das oscilações é uma exponencial amortecida com constante de tempo T 1 que também depende de n e e à medida que n ou aumentam aumenta e T diminui iv o valor estacionário da resposta é c 1 e portanto a saída é igual à entrada v apenas como verificação notase que c sen 0 1 1 1 0 2 Observação no caso em que o coeficiente de amortecimento é nulo 0 podese mostrar que c t t t n 1 0 cos e a saída tem o aspecto indicado na figura ao lado Portanto i ct não é amortecida ii a freqüência de oscilação é n daí a designação freqüência natural não amortecida 0 T 2T 3T 4T 1 t ct 1 1 2 e t 1 1 2 e t 0 1 0 1 2 t ct 2 n 4 n Im Re jn jn 5 Respostas Temporais 45 45 2o Caso 1 Amortecimento crítico Neste caso o sistema tem dois polos reais negativos e iguais s s n 1 2 0 pois 2 2 2 2 2 2 n n n n n s s s s R s C A figura ao lado mostra a representação desses polos no plano complexo Se a entrada é um degrau unitário R s s 1 então C s s s n n 2 2 Antitransformando c t t e t n nt 1 1 0 O aspecto de ct é mostrado na figura ao lado Notase portanto que ct tende assintoticamente a 1 ou seja a saída tende a tomar o valor da entrada para t 3o Caso 1 Superamortecimento Neste caso os polos do sistema são reais negativos e distintos s n 1 2 1 0 s n 2 2 1 0 Fazendo R s s 1 vem C s s s s s s n 2 1 2 cuja antitransformada é c t e s e s t n s t s t 1 2 1 0 2 2 1 2 1 Assim a resposta é uma soma algébrica de duas exponenciais decrescentes Também neste caso c 1 Especificações da Resposta Transitória Im Re n 0 2T 4T 6T 1 ct t 1 Im Re s1 s2 0 5T 10T 15T 1 t ct 1 1 5 Respostas Temporais 46 46 É grande o número de casos práticos em que as especificações de desempenho do sistema de controle são estabelecidas com base em grandezas relacionadas à sua resposta temporal A resposta a degrau é com frequência usada como referência para essas especificações Além de ser simples de testar ela representa uma excitação bastante severa sobre o sistema dado que a entrada muda bruscamente de nível no instante da aplicação do degrau Sua importância reside tanto no estudo da resposta transitória como da resposta em regime estacionário As variáveis associadas à resposta temporal são definidas para a entrada degrau unitário no caso oscilatório por razões que serão discutidas a seguir São elas vide figura a tempo de atraso delay time td b tempo de subida rise time tr c intante de pico peak time tp d tempo de acomodação settling time ts e sobressinal máximo maximum peak Mp O sobressinal é uma medida relativa de quanto no máximo a resposta transitória ultrapassa o seu valor estacionário sendo definido como M c t c c p p É importante observar que no caso em que 1 c 1 p p c t M 1 Nos casos de superamortecimento ou amortecimento crítico definese tempo de subida como o intervalo necessário para a resposta ir de 10 a 90 do valor estacionário O tempo de acomodação depende diretamente da constante de tempo mais lenta do sistema A razão para se definir os parâmetros da resposta transitória tomando por base o caso oscilatório é que em geral desejase que a resposta a degrau seja rápida tr pequeno e com pouco sobressinal Mp pequeno No entanto esses dois requisitos são conflitantes Por um lado a resposta não oscilatória seria interessante pois Mp seria nulo no entanto neste caso a resposta seria em muitos casos práticos proibitivamente lenta Em geral tempos de subida aceitáveis são obtidos apenas às custas de uma resposta de caráter oscilatório o que significa existência de sobressinal Nesta seção a discussão até este ponto se deu sobre um sistema genérico de ordem qualquer Daqui em diante contudo restringiremos nossa atenção aos sistemas de 2a ordem A razão para isso é que para fins de projeto muitas vezes se pode aproximar um sistema de ordem elevada por um de 2 a ordem Vamos expressar cada uma das variáveis tr tp Mp e ts como função dos parâmetros n e do sistema de 2 a ordem a saber C s R s s s n n n 2 2 2 2 e considerando como sinal de entrada o degrau unitário 1 Este é o caso quando o degrau de referência é unitário e o erro estacionário é nulo portanto em regime estacionário a saída também tem valor unitário c 0 c 2 M p ct t t d t r t p t s 2 ou 5 de c 5 Respostas Temporais 47 47 a Tempo de Subida tr Da definição tr é o primeiro instante tal que c tr 1 Ou seja 1 1 1 1 2 e sen t t d r r sen t d r 0 d rt tr d Portanto quando está fixo para que tr seja pequeno é necessário que d e por conseguinte n seja grande quando d está fixo tr pequeno requer grande e portanto o sistema se torna muito oscilatório pois os polos tendem a se aproximar do eixo imaginário b Instante de Pico tp Para que t tp seja instante de pico é necessário que c t p 0 Derivando ct vem cos c t e t sen t t d d d 1 2 de onde resulta que d d p d p t sen t cos 0 Mas d n sen e n cos E portanto n d p d p sen t sen t cos cos 0 sen d t p 0 sen t sen t d p d p 0 Assim o primeiro pico corresponde a d pt Isto é t p d n Im jd 5 Respostas Temporais 48 48 Notese que o período de oscilação que corresponde à freqüência amortecida d é de 2 d e portanto tp corresponde à metade desse período c Sobressinal máximo Mp Para calcular Mp basta notar que para o caso de degrau unitário da definição temse M c t p p 1 Portanto M e sen t e sen e p t d p t t p p p 1 1 1 1 2 2 Mas t sen p d n n cos 1 2 Portanto M e p 1 2 Assim o sobressinal Mp é determinado apenas pelo coeficiente O gráfico de Mp x tem o aspecto indicado na figura ao lado Para melhor visualizar o significado desse comportamento a figura abaixo ilustra a resposta a degrau do sistema de 2a ordem parametrizado em 0 05 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Mp 03 02 01 00 04 05 06 07 10 20 0 2 4 6 8 10 12 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 n t ct 5 Respostas Temporais 49 49 d Tempo de acomodação ts Conforme vimos para um sistema subamortecido c t e sen t t t d 1 1 1 0 2 Ou seja a resposta ct tem como envoltórias as funções f t e t 1 2 1 1 1 f t e t 2 2 1 1 1 Tanto f1t como f2t têm como constante de tempo T 1 Esta constante de tempo define a velocidade com que a faixa da envoltória de ct se reduz Adotando a faixa de 2 em torno do valor estacionário para definir ts podese mostrar que t T s n 2 4 4 4 0 0 9 Para a faixa de 5 por outro lado t T s n 5 3 3 3 0 0 9 Note que é possível reduzir o tempo de acomodação que é uma medida do tempo de duração do transitório aumentando n mesmo que esteja fixo pela especificação do sobressinal Exemplo Considere o sistema representado na figura Desejase selecionar os parâmetros p e k de maneira que M p 0 05 e t s s 2 4 Para 0 05 0 043 2 2 M p Por outro lado 1 4 4 2 n n st Essas duas condições definem a região admissível para a localização dos polos de malha fechada como sendo aquela hachurada na figura ao lado Podemos escolher por exemplo 1 j Tendo em vista que a função de transferência de malha fechada é k ps s k s R s C 2 Rs Cs k s s p Re 45o Im 1 5 Respostas Temporais 50 50 e identificando os polinômios k ps s j j s s 2 1 1 resultam os valores p 2 e k 2 55 Estabilidade O requisito mais importante dos sistemas de controle é a sua estabilidade Ele deve ser garantido antes do atendimento de qualquer outra especificação relativa ao comportamento do sistema É imediato concluir que uma condição necessária e suficiente CNS para a estabilidade dos SLIT é que todos os seus polos tenham parte real negativa isto é se situem no SPE Se não fosse assim os termos da expansão em frações parciais associados aos polos do SPD forneceriam contribuições à saída do tipo exponencial crescente e o sistema seria instável Sistemas com polos sobre o eixo imaginário inclusive na origem não são assintoticamente estáveis Quando os polos são imaginários puros o sistema apresenta uma resposta na forma de oscilações não amortecidas quando a condições inicial é não nula quando há pelo menos um polo na origem a resposta a degrau é ilimitada e portanto o sistema não é BIBOestável Critério de Routh O Critério de Routh permite determinar o número de polos de um sistema situados no SPD de maneira simples isto é sem ter que calcular as raízes do polinômio do denominador da Função de Transferência Considerese então o sistema s A s B a s a a s s a b s b b s s b s R s C n n n n m m m m 1 1 1 0 1 1 1 0 sendo o problema saber se As tem raízes no SPD O procedimento é o seguinte a escreva As na forma A s a s a s a s a n n n n 0 1 1 1 Admitese que an 0 isto é que eventuais raízes nulas de As já tenham sido removidas b arranje então os coeficientes do polinômio numa tabela da seguinte forma onde b a a a a a 1 1 2 0 3 1 e c b a a b b 1 1 3 1 2 1 b a a a a a 2 1 4 0 5 1 e c b a a b b 2 1 5 1 3 1 b a a a a a 3 1 6 0 7 1 e c b a a b b 3 1 7 1 4 1 sn a0 a2 a4 a6 0 Dados sn1 a1 a3 a5 a7 0 sn2 b1 b2 b3 b4 sn3 c1 c2 c3 c4 Calculados s1 f1 s0 g1 5 Respostas Temporais 51 51 Note que a tabela assim construída tem formato triangular O Critério de Routh garante que o número de raízes de As com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal dos elementos da primeira coluna da tabela acima O Critério de Routh estabelece uma CNS de estabilidade para o polinômio As Teste de Hurwitz O Teste de Hurwitz fornece uma maneira simples e imediata de verificar se um polinômio não é estável Basta que uma das condições abaixo seja verdadeira para que o sistema seja instável a nem todos os coeficientes de As estão presentes isto é pelo menos um dos coeficientes é nulo b nem todos os coeficientes de As têm o mesmo sinal isto é há pelo menos dois coeficientes com sinais opostos Portanto se todos os coeficientes estão presentes no polinômio característico e todos têm o mesmo sinal nada se pode afirmar a respeito da estabilidade Às vezes em vista de sua simplicidade aplicase em primeiro lugar o Teste de Hurwitz este pode apenas indicar se o sistema não é estável mas nunca permite concluir que ele é estável Se o sistema passar pelo teste então aplicase o Critério de Routh Como alternativa podese aplicar diretamente o Critério de Routh já que este é conclusivo a respeito da estabilidadeinstabilidade No entanto a construção da tabela de Routh pode ser um pouco trabalhosa Exemplo A s s s s s 4 3 2 2 3 4 5 Critério de Routh Há duas mudanças de sinal entre os coeficientes da primeira coluna e portanto duas raízes com parte real positiva 02878 j 14161 Observação uma linha inteira da tabela pode ser dividida ou multiplicada por um número positivo visando simplificar os cálculos subsequentes sem alterar a conclusão sobre a estabilidade Note que o Teste de Hurwitz é inconclusivo neste caso pois todos os coeficientes do polinômio estão presentes e têm o mesmo sinal Exemplo A s s s s 3 6 2 11 6 Critério de Routh Todos os coeficientes da primeira coluna são positivos e portanto o sistema é estável Também neste exemplo o Teste de Hurwitz é inconclusivo Exemplo Considere o sistema de controle em malha fechada da figura ao lado A questão que se coloca é será possível escolher k adequadamente de forma que o sistema em malha fechada seja estável note que o sistema em malha aberta é instável pois tem um polo em s 1 A Função de Transferência de malha fechada do sistema é C s R s k s s s k s k B s A s 1 4 5 3 2 s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5 s1 6 s0 5 s3 1 11 s2 6 6 s1 10 s0 6 Rs Cs s s s s 1 1 5 k 5 Respostas Temporais 52 52 Neste problema podemos aplicar diretamente o Critério de Routh pois o Teste de Hurwitz não permite resolvêlo conforme se vê a seguir o Teste de Hurwitz só permite determinar condições em que o sistema não é estável Critério de Routh Tabela de Routh veja ao lado Para a estabilidade devemos ter 3 20 4 0 0 k k k 20 3 Conclusão O sistema é estável se e apenas se k 20 3 Notase aqui um benefício da realimentação um sistema instável em malha aberta pode ser estabilizado utilizandose um esquema de realimentação Teste de Hurwitz Para que todos os coeficientes de As estejam presentes e tenham o mesmo sinal isto é sejam positivos k k 5 0 0 k 5 Portanto se k 5 nada se pode concluir a respeito da estabilidade por outro lado se k 5 o sistema é instável Observação Note que a conclusão que decorre da aplicação do Teste de Hurwitz está contida naquela resultante do Critério de Routh Resumo Importante Note que o Critério de Hurwitz não permite concluir que um sistema é estável Por outro lado o Critério de Routh é uma condição necessária e suficiente de estabilidade Em outras palavras dele sempre se pode concluir se o sistema é estável ou instável Em resumo como o Critério de Hurwitz é muito simples de aplicar podese eventualmente concluir que o sistema não é estável rapidamente quando nada se conclui então devese aplicar o Critério de Routh Por outro lado o Critério de Routh é sempre conclusivo mas é mais trabalhoso de aplicar 56 Erro estacionário O desempenho de muitos sistemas de controle pode ser especificado não apenas com base na sua resposta transitória mas também pelo erro estacionário em relação a certos sinais de referência tais como degraus rampas e parábolas A este respeito um conceito útil em teoria de controle é o de tipo do sistema que está associado a uma medida qualitativa da precisão com que o sistema é capaz de acompanhar em regime estacionário as entradas acima Consideremos o sistema em malha fechada com realimentação unitária representado na figura ao lado Seja Gs escrita na forma2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 0 T s T s T s s s s s K s G p N m onde os polos na origem em malha aberta foram explicitados através do termo sN Esta forma de escrever a função de transferência será chamada aqui de forma de constantes de tempo 2 Apesar de esta forma implicitamente considerar apenas polos e zeros reais as conclusões desta seção são válidas também para o caso em que há pares de polos ou zeros complexos conjugados escritos na forma normalizada s3 1 k 5 s2 4 k s1 3 20 4 k s0 k Rs Es Cs Gs 5 Respostas Temporais 53 53 O valor de N define o tipo do sistema Usualmente falase em sistemas tipo 0 1 ou 2 respectivamente para N 0 1 ou 2 À medida que cresce o tipo do sistema aumenta sua capacidade de seguir entradas no sentido degrau rampa parábola Em compensação sistemas de tipos mais altos requerem compensadores mais complexos para sua estabilização Para o sistema representado pelo diagrama de blocos acima obtémse facilmente a Função de Transferência que relaciona Es a Rs E s G s R s 1 1 Admitindo que o sistema em malha fechada seja estável o Teorema do Valor Final fornece s G s R s s E s e t e s s t lim 1 lim lim 0 0 Na verdade a aplicação direta do Teorema do Valor Final permite resolver qualquer problema relativo a erro estacionário Os coeficientes de erro estacionário definidos a seguir são figuras de mérito de sistemas de controle no sentido de que quanto maiores esses coeficientes tanto menores os erros estacionários Entrada Degrau Unitário Quando R s s 1 G s e s 1 1 lim 0 Definese coeficiente de erro de posição estacionário Kp como K G s p s lim 0 de maneira que Kp e 1 1 No caso de sistemas do tipo 0 0 2 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 lim K T s T s s T s s s K K p m s p E portanto 0 1 1 K e tipo 0 Quando se trata de sistemas do tipo 1 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 1 0 0 T s T s T s s s s s K K p m s p 1 t rt ct ess 5 Respostas Temporais 54 54 e da mesma forma para sistemas do tipo 2 Kp Nestes dois casos 0 e tipo 1 2 ou maior Entrada Rampa Unitária Neste caso R s s 1 2 e por conseqüência s G s G s s e s s 1 lim 1 1 lim 0 0 O coeficiente de erro de velocidade estacionário é definido como K s G s v s lim 0 Assim o erro estacionário para a entrada rampa unitária é dado por Kv e 1 Para sistemas do tipo 0 0 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 1 0 0 T s T s s T s s s sK K p m s v e portanto e tipo 0 A rigor isto significa que de fato o regime estacionário não é atingido Se o sistema é do tipo 1 então 0 2 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 lim K T s T s T s s s s s sK K p m s v de onde resulta que 0 1 K e tipo 1 Por fim no caso de sistemas do tipo 2 1 rt ct rt ct t rt ct t 5 Respostas Temporais 55 55 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 2 1 0 0 T s T s T s s s s s sK K p m s v e dessa forma 0 e tipo 2 ou maior Entrada Parábola Unitária Para uma entrada do tipo r t t t R s s 2 3 2 0 1 Neste caso G s s G s s e s s 2 0 2 0 1 lim 1 1 lim Definese o coeficiente de erro de aceleração estacionário como K s G s a s lim 0 2 de forma que Ka e 1 Se o sistema é do tipo 0 0 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 1 0 2 0 T s T s s T s s s K s K p m s a e se o sistema é do tipo 1 0 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 1 0 2 0 T s T s T s s s s s K s K p m s a Nestes dois casos e tipo 0 ou 1 Para sistemas do tipo 2 0 2 1 2 2 1 0 2 0 1 1 1 1 1 1 lim K T s T s T s s s s s K s K p m s a e portanto 0 1 K e tipo 2 rt ct t rt ct t rt ct t ess 5 Respostas Temporais 56 56 Resumo Exemplo Um servomecanismo utilizando um motor CC controlado pela armadura pode ser representado pelo diagrama de blocos ao lado Neste caso como se observa 1 1 s p s p k p s s k G s e portanto tratase de um sistema do tipo 1 para o qual p k K 0 Sendo assim para entrada degrau unitário 0 e para entrada rampa unitária 0 1 K e para entrada parábola unitária e 57 Rejeição de Perturbações em Regime Estacionário Considerese o sistema de controle em malha fechada representado na figura abaixo em que Ns representa uma perturbação que age na entrada da planta r t t 0 Tipo do Sistema 1 t t 2 2 0 0 1 1 K 1 0 0 1 K 2 0 0 0 1 K Rs Cs k s s p Planta Controlador Cs Ns Rs Ks Gs 5 Respostas Temporais 57 57 A questão que se coloca é determinar em que condições o sistema é capaz de rejeitar a perturbação Ns em regime estacionário Ou seja em que condições o efeito em regime estacionário da perturbação sobre a saída do sistema é nulo Para isso serão considerados dois tipos de perturbações a saber degraus e rampas Admitase o caso geral em que Gs é expresso por 1 1 1 1 1 1 0 T s T s s s s K s G p N m G G em que NG 0 representa o número de polos na origem de Gs Definindo 1 1 1 1 1 1 0 T s s T s s K s G p m G podese reescrever Gs como NG s G s G s em que G s contém apenas os polos não nulos de Gs e G s K s G 0 0 lim É interessante notar que quando Gs não tem polos na origem NG 0 o fator sNG do denominador reduzse a 1 e G s G s Neste caso em que NG 0 sem qualquer crise de consciência podemos escrever simbolicamente que 1 lim 0 G N s s apesar de 0 0 representar formalmente uma indeterminação De maneira inteiramente análoga reescrevese Ks na forma NK s K s K s em que NK 0 representa o número de polos na origem de Ks K s contém apenas os polos não nulos de Ks e K s K s K 0 0 lim Tendo em vista a linearidade do sistema a saída Cs é dada por duas parcelas CR s que é produzida por Rs e CN s proveniente de Ns isto é s C s C C s N R Para se estudar o efeito da perturbação Ns sobre a saída podese considerar 0 R s e portanto 5 Respostas Temporais 58 58 1 s K s N s G G s s C C s N Supondo válidas as hipóteses do Teorema do Valor Final sua aplicação neste caso leva a lim 1 lim 0 0 G s K s N s s s G s s s s K s N s G G s s c K G K N N N s s Perturbação do tipo degrau unitário Neste caso s N s 1 e portanto lim 0 G s K s s s G s s c K G K N N N s Conforme o valor de NK há duas situações distintas a considerar 1 NK 0 Neste caso há duas possibilidades quanto ao valor de NG a saber a NG 0 Nestas condições a expressão anterior fornece K G G K K K c 0 0 0 1 a qual mostra que são necessários valores elevados do ganho K 0K do controlador para que o efeito da perturbação em degrau sobre a saída seja pequeno em regime estacionário b NG 1 Nestas condições K K c 0 1 a qual também mostra que são necessários valores elevados do ganho K0K do controlador para que o efeito da perturbação em degrau sobre a saída seja pequeno em regime estacionário Concluise assim que se o controlador não tem polo na origem é impossível fazer com que esse efeito seja nulo independentemente do número de polos da planta na origem 5 Respostas Temporais 59 59 2 NK 1 Neste caso independentemente do valor de NG 0 obtémse 0 c Concluise assim que se o controlador tem pelo menos um polo na origem o efeito da perturbação em degrau sobre a saída em regime estacionário é nulo independentemente do número de polos da planta na origem Perturbação do tipo rampa unitária Neste caso 2 1 s N s e portanto lim 0 G s K s s s s G s s c K G K N N N s Conforme o valor de NK há três situações distintas a considerar independentemente do valor de NG 0 a saber 1 NK 0 Neste caso a expressão anterior fornece c o que significa que o efeito da perturbação do tipo rampa sobre a saída é ilimitado na verdade o regime estacionário não é atingido 2 NK 1 Neste caso K K c 0 1 o que mostra que o efeito estacionário da perturbação do tipo rampa sobre a saída pode ser reduzido aumentando se o valor do ganho K0K do controlador 3 NK 2 Por fim neste caso 0 c e portanto o efeito da perturbação do tipo rampa sobre a saída é nulo em regime estacionário 5 Respostas Temporais 60 60 Conclusão Para que um sistema de controle sujeito a uma perturbação do tipo degrau na entrada da planta a rejeite completamente em regime estacionário é preciso que o controlador tenha pelo menos um polo na origem Quando se deseja que o sistema de controle rejeite completamente em regime estacionário perturbações do tipo rampa é necessário que o compensador tenha pelo menos dois polos na origem