Resposta em Frequência e Resposta ao Impulso

UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu Processamento Digital de Sinais GELE0820 Aula 4 Filtros digitais Prof Wesley L Passos wesleypassoscefetrjbr Engenharia de Controle e Automacao Centro Federal de Educacao Tecnologica Celso Suckow da Fonseca Unidade de Ensino Descentralizada Nova Iguacu 22025 UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 258 Agradecimentos Este curso utiliza o material desenvolvido pelos professores Gabriel M Araujo e Rafael da S Chaves Da mesma forma utiliza figuras e textos retirados do livro Processamento Digital de Sinais dos Autores Paulo S R Diniz Eduardo A B da Silva e Sergio L Netto editora Bookman UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 358 Sumario Introducao Estruturas basicas de filtros naorecursivos Estruturas basicas de filtros digitais recursivos Blocos componentes uteis UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 458 Sumario Introducao Estruturas basicas de filtros naorecursivos Estruturas basicas de filtros digitais recursivos Blocos componentes uteis UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 558 Introducao Nas aulas anteriores estudamos diferentes formas de descrever sistemas lineares invariantes no tempo discreto Transformada z Transformada de Fourier Agora estudaremos varias estruturas que podem ser empregadas para realizar uma dada funcao de transferˆencia As funcoes de transferˆencia que vamos considerar serao da forma Polinomial caso dos filtros filtros naorecursivos Racional polinomial filtros recursivos No caso naorecursivo enfatizamos a existˆencia da importante subclasse dos filtros com fases linear UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 658 Introducao Entao apresentamos algumas ferramentas para calcular a funcao de transferˆencia para uma rede digital assim como para analisar seu comportamento interno Tambem discutimos algumas propriedades de estruturas genericas de filtros digitais associadas a sistemas praticos no tempo discreto UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 758 Sumario Introducao Estruturas basicas de filtros naorecursivos Estruturas basicas de filtros digitais recursivos Blocos componentes uteis Filtros nãorecursivos Podemos ser reescrever a Equação 1 como yn l0Mhlxnl 2 Aplicando a transformada z temos Hz YzXz l0Mbl zl l0Mhlzl 3 Na prática a Equação 3 pode ser implementada de várias formas distintas usando como blocos básicos atrasos multiplicadores e somadores Filtros nãorecursivos Filtros nãorecursivos são caracterizados por uma equação de diferenças na forma yn l0Mbl xnl 1 na qual os coeficientes bl se relacionam diretamente com a resposta ao impulso do sistema ie bl hl Devido ao comprimento finito de suas respostas ao impulso filtros nãorecursivos também são chamados de filtros com resposta ao impulso de duração finita FIR UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 1058 Elementos basicos Atraso Multiplicador Somador Atraso Multiplicador Somador Forma direta A realização mais simples de um filtro digital FIR provém da Equação 3 reproduzida abaixo Hz l0Mhlzl xn z1 z1 z1 z1 h0 h1 hM1 hM yn UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 1258 Forma direta Essa estrutura e chamada de realizacao na forma direta pois seus coeficientes multiplicadores sao obtidos diretamente da funcao de transferˆencia do filtro Tal estrutura tambem e chamada de forma direta canˆonica pois ela realiza uma funcao de transferˆencia com o menor numero possıvel de atrasos multiplicadores e somadores Mais especificamente uma estrutura que utiliza o menor numero possıvel de atrasos e dita canˆonica em relacao aos atrasose assim por diante Forma direta alternativa Uma forma direta canônica alternativa para a Equação 3 pode ser obtida expressandose Hz como Hz l0M hlzl h0 z1h1 z1h2 z1hM 1 z1hM 4 A implementação dessa forma fica Forma cascata A Equação 3 pode ser realizada através de várias estruturas equivalentes Contudo os coeficientes dessas diferentes realizações possíveis podem não representar explicitamente a resposta ao impulso ou a correspondente função de transferência do sistema descrito Um exemplo importante dessas realizações é a chamada forma cascata que consiste numa série de filtros FIR de segunda ordem conectados em sequência A função de transferência associada a essa realização é da forma Hz k1N γ0k γ1kz1 γ2kz2 5 onde M é a ordem do filtro N M2 quando M é par e N M 12 quando M é ímpar Neste último caso um dos γ2k tornase zero UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 1558 Forma cascata Forma com fase linear Uma importante subclasse dos filtros digitais FIR é a dos filtros com fase linear Tais filtros se caracterizam por apresentarem atraso de grupo constante τ e portanto sua resposta na frequência deve ser da seguinte forma Hejω Bωejωτ jφ 6 onde Bω é real e τ e φ são constantes Então a resposta ao impulso hn de filtros com fase linear satisfaz hn 12π ππ Hejωejωn dω 12π ππ Bωejωτ jφ ejωn dω ejφ2π ππ Bω ejωn τ dω 7 Filtros com fase linear Vamos considerar filtros cujo atraso de grupo é múltiplo de meia amostra ie τ k2 k Z 8 Logo para casos em que 2τ é inteiro podemos escrever h2τ n ejφ2π from π to π Bω ejω2τ n τ dω ejφ2π from π to π Bω ejωτ n dω 9 Como Bω é real temos h2τ n ejφ2π from π to π Bω ejωτ n dω ejφ2π from π to π Bω ejωn τ dω 10 UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 1858 Filtros com fase linear Entao pelas Equacoes 7 e 10 para que um filtro apresente fase linear com atraso de grupo constante τ sua resposta ao impulso tem que satisfazer hn e2jϕh2τ n 11 Agora prosseguimos mostrando que filtros FIR com fase linear apresentam respostas ao impulso de formas muito particulares De fato a Equacao 11 implica que h0 e2jϕh2τ Assim se hn e causal e tem duracao finita para 0 n M temos necessariamente que τ M 2 12 e entao a Equacao 11 se torna hn e2jϕhM n 13 Essa e a forma geral que os coeficientes de um filtro FIR com fase linear tˆem que satisfazer UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 1958 Filtros com fase linear No caso comum em que todos os coeficientes sao reais entao hn hn e a Equacao 13 implica que e2jϕ tambem tem que ser real Logo ϕ kπ 2 k Z 14 e a Equacao 13 se torna hn 1khM n k Z 15 ou seja a resposta ao impulso do filtro tem que ser simetrica ou antissimetrica Da Equacao 6 a resposta na frequˆencia dos filtros FIR com fase linear e coeficientes reais se torna H ejω BωejωM 2jkπ2 16 UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 2058 Filtros com fase linear Para efeitos praticos so precisamos considerar os casos em que k 0 1 2 3 ja que quaisquer outros valores de k serao equivalentes a um desses quatro casos Alem disso como Bω pode ser tanto positivo quanto negativo os casos k 2 e k 3 podem ser obtidos dos casos k 0 e k 1 respectivamente bastando fazerse a substituicao Bω Bω Portanto consideramos apenas os quatro casos distintos descritos pelas Equacoes 13 e 16 classificados como Tipo I k 0 e M par Tipo II k 0 e M ımpar Tipo III k 1 e M par Tipo IV k 1 e M ımpar Prosseguimos mostrando que hn 1khM n e uma condicao suficiente para que um filtro FIR com coeficientes reais tenha fase linear Tipo I k 0 implica que o filtro tem resposta ao impulso simétrica ie hM n hn Uma vez que a ordem M do filtro é par a Equação 3 pode ser reescrita como Hz from n0 to M2 1 hn zn hM2 zM2 from nM21 to M hn zn from n0 to M2 1 hn zn zMn hM2 zM2 17 Tipo I Avaliandose essa equação sobre a circunferência unitária z ejω obtémse Hejω from n0 to M2 1 hn ejωn ejωM jωn hM2 ejωM2 ejωM2 hM2 from n0 to M2 1 2 hn cos ω n M2 18 Tipo I Substituindo n por M2 m chegamos a Hejω ejωM2 hM2 m1M2 2hM2 m cosωm ejωM2 m0M2 am cosωm 19 com a0 hM2 e am 2hM2 m para m 1 2 M2 Uma vez que essa equação está na forma da Equação 16 está completa a prova da suficiência para os filtros do Tipo I Tipo II k 0 implica que o filtro tem resposta ao impulso simétrica ie hM n hn Uma vez que a ordem M do filtro é ímpar a Equação 3 pode ser reescrita como Hz n0M12 hn zn nM12M hn zn n0M12 hn zn zMn 20 Tipo II Avaliandose essa equação sobre a circunferência unitária z ejω obtémse Hejω n0M12 hn ejωn ejωMjωn ejωM2 n0M12 hn ejωnM2 ejωnM2 ejωM2 n0M12 2hn cosωn M2 21 Substituindose n por M 12 m chegamos a Hejω ejωM2 m1M12 2hM 12 m cosωm 12 ejωM2 m1M12 bm cosωm 12 22 com bm 2hM 12 m para m 1 2 M 12 Note que em ω π Hejω 0 pois consiste num somatório de funções cosseno avaliadas em π2 Então filtros passaaltas e rejeitafaixa não podem ser aproximados por filtros do Tipo II k 1 implica que o filtro tem resposta ao impulso antissimétrica ie hM n hn Nesse caso hM2 é necessariamente nulo Uma vez que a ordem M do filtro é par a Equação 3 pode ser reescrita como Hz n0M2 1 hnzn nM2 1M hnzn n0M2 1 hnzn zM n 23 Avaliandose essa equação sobre a circunferência unitária z ejω obtémse Hejω n0M2 1 hnejωn ejωM jωn ejωM2 n0M2 1 hn ejωn M2 ejωn M2 ejωM2 n0M2 1 2jhn sinωn M2 ejωM2 π2 n0M2 1 2hn sinωn M2 24 Tipo III Substituindose n por M2 m Hejω ejωM2 π2 m1M2 2hM2 m sinωm ejωM2 π2 m1M2 cm sinωm 25 com cm 2hM2 m para m 1 2 M2 Note que a resposta em frequência se torna nula em ω 0 e ω π Isso faz com que esse tipo de realização seja apropriada para filtros passafaixa Filtros do Tipo III também se prestam à aproximação de diferenciadores e transformadores de Hilbert Tipo IV k 1 implica que o filtro tem resposta ao impulso antissimétrica ie hMn hn Uma vez que a ordem M do filtro é ímpar a Equação 3 pode ser reescrita como Hz n0M12 hnzn nM12M hnzn n0M12 hnzn zMn 26 Tipo IV Avaliandose essa equação sobre a circunferência unitária z ejω obtémse Hejω n0M12 hnejωn ejωM jωn ejωM2 n0M12 hnejωnM2 ejωnM2 ejωM2 n0M12 2jhn sinωn M2 ejωM2 π2 n0M2 2hn sinωn M2 27 Tipo IV Substituindo n por M 12 m Hejω ejωM2 π2 m1M12 2hM 12 m sinω12 m ejωM2 π2 m1M12 dm sinωm 12 com dm 2hM 12 m para m 1 2 M 12 Note que a resposta em frequência se torna nula em ω 0 Assim filtros passabaixas não podem ser aproximados por filtros do Tipo IV Entretanto estes são apropriados para diferenciadores e transformadores de Hilbert como os do Tipo III UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 3358 Resposta ao impulso Respostas ao impulso tıpicas dos quatro casos de filtros digitais FIR com fase linear sao representadas na figura abaixo a Tipo I b Tipo II c Tipo III e d Tipo IV UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 3458 Principais caracterısticas dos filtros com fase linear As propriedades de todos os quatro casos estao resumidas na tabela abaixo Resposta ao impulso Podemse derivar importantes propriedades dos filtros FIR com fase linear representandose as Equações 17 20 23 e 26 na forma unificada Hz zM2 n0K hnzM2n zM2n com K M2 se M é par ou K M 12 se M é ímpar Da Equação 29 observase que se zγ é um zero de Hz então zγ1 também o é Isso implica que todos os zeros de Hz ocorrem em pares recíprocos UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 3658 Propriedades Uma vez que sendo os coeficientes hn reais todos os zeros complexos ocorrem em pares conjugados entao podese inferir que os zeros de H z tˆem que satisfazer as seguintes interrelacoes Todos os zeros complexos que nao ficam sobre a circunferˆencia unitaria ocorrem em quadruplas de conjugados e simetricos Em outras palavras se zγ e complexo entao z 1 γ z γ e z 1 γ tambem sao zeros de H z Zeros complexos sobre a circunferˆencia unitaria ocorrem simplesmente em pares conjugados ja que nesse caso temos automaticamente que z 1 γ z γ Todos os zeros reais que nao se localizam sobre a circunferˆencia unitaria ocorrem em pares recıprocos Pode haver qualquer numero de zeros em z zγ 1 ja que nesse caso temos necessariamente que z 1 γ 1 UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 3758 Propriedades Um diagrama de zeros tıpico de um filtro FIR passabaixas com fase linear e mostrado na figura abaixo UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 3858 Propriedades Uma propriedade interessante dos filtros digitais FIR com fase linear e poderem ser realizados por estruturas eficientes que exploram a simetria ou antissimetria de sua resposta ao impulso Quando M e par essas estruturas eficientes requerem apenas M 2 1 multiplicacoes Quando M e ımpar sao necessarias somente M 12 multiplicacoes UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 3958 Resposta ao impulso simetrica ordem par Como exemplo a figura abaixo apresenta duas estruturas eficientes para filtros FIR com fase linear que tˆem resposta ao impulso simetrica ordem par UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 4058 Resposta ao impulso simetrica ordem ımpar Como exemplo a figura abaixo apresenta duas estruturas eficientes para filtros FIR com fase linear que tˆem resposta ao impulso simetrica ordem ımpar UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 4158 Sumario Introducao Estruturas basicas de filtros naorecursivos Estruturas basicas de filtros digitais recursivos Blocos componentes uteis Forma direta A função de transferência de um filtro recursivo é dada por Hz NzDz i0M bi zi 1 i0N ai zi Podemos considerar que Hz na forma anterior resulta na cascata de dois filtros separados com funções de transferência iguais a Nz e 1Dz O polinômio Nz pode ser realizado com a forma direta FIR A realização de 1Dz pode ser efetuada como descreve a figura abaixo onde Dz 1 i1N ai zi UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 4458 Forma direta A forma direta para realizar 1Dz e entao UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 4558 Forma direta A realizacao completa de H z e como cascata de N z e 1Dz e UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 4658 Forma direta canˆonica Tipo 1 No caso geral podemos trocar a ordem na qual sequenciamos os dois filtros individuais ie H z pode ser realizada como N z 1Dz ou 1Dz N z Na segunda opcao todos os atrasos empregados partem do mesmo no o que nos permite eliminar os atrasos redundantes A estrutura resultante geralmente chamada de forma direta canˆonica do Tipo 1 e apresentada na figura a seguir para o caso especial em que N M UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 4758 Forma direta canˆonica Tipo 1 UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 4858 Forma direta canˆonica Tipo 2 Uma estrutura alternativa e a chamada forma direta canˆonica do Tipo 2 apresentada na figura a seguir Tal realizacao e gerada a partir da forma naorecursiva A maior parte das funcoes de transferˆencia de filtros IIR usadas na pratica apresentam o grau M do numerador menor ou igual ao grau N do denominador Em geral podese considerar sem perda de generalidade que M N Nos casos em que M N basta fazer os coeficientes bM 1 bM 2 bN iguais a zero UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 4958 Forma direta canˆonica Tipo 2 Da mesma forma que os filtros FIR os filtros IIR apresentam uma ampla variedade de realizações alternativas possíveis Na realização em cascata os blocos básicos representam funções de transferência simples de ordem 2 ou 1 A forma cascata baseada em blocos de segunda ordem é associada à seguinte decomposição da função de transferência Hz k1m γ0k γ1k z1 γ2k z21 m1k z1 m2k z2 k1m γ0k z2 γ1k z γ2kz2 m1k z m2k H0 k1m z2 γ1k z γ2kz2 m1k z m2k UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 5158 Forma cascata Outra importante realização para filtros digitais recursivos é a forma paralela Usando blocos de segunda ordem que são os mais comumente usados na prática a realização paralela corresponde à seguinte decomposição da função de transferência Hz k1m γp0k z2 γp1k z γp2kz2 m1k z m2k h0 k1m γp1k z γp2kz2 m1k z m2k h0 k1m γp0k z2 γp1k zz2 m1k z m2k Essa equação indica três formas alternativas da realização paralela das quais as duas últimas são canônicas em relação ao número de elementos multiplicadores UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 5358 Forma paralela UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 5458 Realizacoes de segunda ordem Deve ser mencionado que cada bloco de segunda ordem nas formas cascata e paralela pode ser realizado por qualquer das estruturas distintas existentes UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 5558 Forma cascata e paralela Exemplo 41 Descreva a implementacao como filtro digital da funcao de transferˆencia H z 16z 2z 1 4z 2 2z 14z 3 usando a Uma realizacao em cascata b Uma realizacao em paralela UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 5658 Sumario Introducao Estruturas basicas de filtros naorecursivos Estruturas basicas de filtros digitais recursivos Blocos componentes uteis UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 5758 Blocos componentes de segunda ordem Passabaixas H z z 2 2z 1 z 2 m1z m2 Passaaltas H z z 2 2z 1 z 2 m1z m2 Passafaixa H z z 2 1 z 2 m1z m2 UPEM Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica CEFETRJ campus Nova Iguaçu 5858 Blocos componentes de segunda ordem Notch H z z 2 m1m2z 1 z 2 m1z m2 Passatudo H z m2z 2 m1z 1 z 2 m1z m2 Oscilador digital H z z sinω0 z 2 2 cosω0z 1 Relatório Completo Implementação e Análise de Filtro Digital 12 de fevereiro de 2025 Sumário 1 Introdução 2 2 Representação da Função de Transferência 2 3 Realização em Cascata 2 31 Estágio 1 H1z 3 32 Estágio 2 H2z 3 33 Verificação Convolução dos Coeficientes 3 4 Realização em Paralela Expansão em Frações Parciais 4 5 Análise da Resposta em Frequência 4 51 Observações Analíticas 5 52 Frequência de Corte 5 6 Resposta ao Impulso 6 7 Discussão dos Resultados e Análises Relevantes 6 71 Caracterização do Filtro 6 72 Comparação entre as Realizações 7 73 Resultados Numéricos Obtidos pelo Código Python 7 8 Código Python Utilizado 8 9 Conclusão 10 1 1 Introdução Neste relatório implementamos e analisamos um filtro digital definido pela função de transferência Hz 16 z2 z 1 4z2 2z 14z 3 1 utilizando duas abordagens a Realização em cascata b Realização em paralelo por meio da expansão em frações parciais Além disso são apresentadas a resposta em frequência magnitude e fase e a resposta ao impulso 100 coeficientes Também discutiremos a natureza do filtro por exemplo passabaixa a estimativa da frequência de corte e outras análises relevantes 2 Representação da Função de Transferência A função original é Hz 16z2z 1 4z2 2z 14z 3 2 Para implementar o filtro de forma causal reescrevemos Hz em termos de z1 Uma abordagem comum é normalizar dividindo numerador e denominador por uma potência adequada de z Neste caso após manipulações algébricas ou observando que a relação pode ser escrita de forma equivalente obtemos Hz 1 z1 1 025 z1 0125 z2 01875 z3 3 Ou seja os coeficientes do filtro são Numerador b 1 1 0 0 Denominador a 1 025 0125 01875 3 Realização em Cascata A realização em cascata consiste em decompor Hz em estágios de forma que o sistema global seja implementado como a série de sistemas mais simples Podemos fatorar Hz da seguinte forma Hz 16z2z 1 4z2 2z 14z 3 H1z H2z 4 onde definimos H1z 4zz 1 4z2 2z 1 5 H2z 4z 4z 3 6 2 31 Estágio 1 H1z Temos H1z 4zz 1 4z2 2z 1 4z2 4z 4z2 2z 1 7 Dividindo numerador e denominador por 4 H1z z2 z z2 1 2z 1 4 8 Para expressar em termos de z1 multiplicamos numerador e denominador por z2 H1z 1 z1 1 1 2z1 1 4z2 9 Logo os coeficientes deste estágio são Numerador b1 1 1 Denominador a1 1 05 025 32 Estágio 2 H2z Temos H2z 4z 4z 3 10 Dividindo numerador e denominador por 4 H2z z z 3 4 11 Multiplicando numerador e denominador por z1 para obter a forma em z1 H2z 1 1 3 4z1 12 Os coeficientes deste estágio são Numerador b2 1 Denominador a2 1 075 33 Verificação Convolução dos Coeficientes A função de transferência global deve ser obtida através da convolução dos coeficientes dos estágios bcascata convb1 b2 1 1 13 acascata conva1 a2 14 3 Realizando a convolução manualmente acascata0 1 acascata1 05 075 025 acascata2 025 05 x 075 025 0375 0125 acascata3 025 x 075 01875 Logo temos acascata 1 025 0125 01875 15 que coincide exatamente com os coeficientes obtidos na representação em z1 da função de transferência 4 Realização em Paralela Expansão em Frações Parciais A abordagem em paralelo envolve expressar Hz como uma soma de termos simples da forma rk 1 pk z1 16 ou de forma mais geral Hz 1 z1 1 025 z1 0125 z2 01875 z3 Σ from k1 to 3 rk 1 pk z1 K 17 onde rk são os resíduos pk os polos e K é um eventual termo direto neste caso K é vazio pois o grau do numerador é inferior ao do denominador Utilizando técnicas algébricas ou a função residuez do Python obtemos Resíduos r1 057895 039503 j r2 057895 039503 j r3 015789 Polos p1 025 043301 j p2 025 043301 j p3 075 Esta expansão em frações parciais fornece uma forma alternativa de implementação e é bastante útil para a análise do comportamento temporal do sistema por exemplo para encontrar a resposta ao impulso 5 Análise da Resposta em Frequência A resposta em frequência do filtro é obtida substituindo z ejω em Hz Hejω 1 ejω 1 025 ejω 0125 ej2ω 01875 ej3ω 18 A magnitude e a fase são dadas respectivamente por Hejω sqrtReHejω2 ImHejω2 19 Hejω arctanImHejω ReHejω 20 51 Observações Analíticas Em ω 0 DC substituindo ej0 1 temos Hej0 1 1 1 025 0125 01875 2 13125 15238 Assim o ganho em DC é alto Em ω π como ejπ 1 o numerador se anula 1 ejπ 1 1 0 indicando que o filtro atenua fortemente as altas frequências característica de um filtro passabaixa 52 Frequência de Corte A frequência de corte ωc é definida como a frequência para a qual a magnitude cai para 12 do ganho em DC Assim Hejωc Hej0 2 15238 2 1077 21 Através de métodos numéricos por exemplo utilizando a função freqz no Python podese determinar o valor exato de ωc que satisfaz essa condição Figura 1 Fase e Magnitude 6 Resposta ao Impulso A resposta ao impulso hn do filtro é a transformada inversa de Hz hn L1Hz 22 No código Python ao aplicar um impulso unitário δn ou seja δ0 1 e zero para os demais n e utilizando a função lfilter obtemos os primeiros 100 coeficientes da resposta ao impulso Este gráfico revela informações sobre a memória do sistema e o atraso introduzido pelos termos de z1 Figura 2 Impulso 7 Discussão dos Resultados e Análises Relevantes 71 Caracterização do Filtro A análise dos polos e zeros do filtro permite concluir que Zeros O numerador 16z2z1 possui dois zeros em z 0 e um zero em z 1 O zero em z 1 localizado na circunferência unitária atua para anular a resposta na frequência ω π reforçando o comportamento passabaixa Polos Os polos encontrados são p1 025 043301j p2 025 043301j e p3 075 Todos estão dentro do círculo unitário garantindo que o filtro seja estável 6 Figura 3 Polos e zeros 72 Comparação entre as Realizações Cascata A decomposição em dois estágios com os coeficientes b1 1 1 e a1 1 05 025 para o primeiro estágio e b2 1 e a2 1 075 para o segundo foi verificada através da convolução obtendo exatamente os coeficientes b 1 1 0 0 e a 1 025 0125 01875 Paralelo A expansão em frações parciais gerou os resíduos e polos que representam a mesma função de transferência Como não há termo direto a soma dos termos simples reproduz Hz com exatidão 73 Resultados Numéricos Obtidos pelo Código Python A execução do código Python gerou a seguinte saída Realização em Cascata Coeficientes b cascata 1 1 Coeficientes a cascata 1 025 0125 01875 Realização em Paralela Frações Parciais Resíduos 057894737039502913j 057894737039502913j 0157894740j Polos 02504330127j 02504330127j 0750j Termos diretos k Esses resultados confirmam que as implementações tanto em cascata quanto em paralelo estão corretas e que os cálculos algébricos efetuados correspondem ao esperado 7 8 Código Python Utilizado Segue abaixo o código Python completo utilizado para realizar as implementações e aná lises 1 import numpy as np 2 import matplotlibpyplot as plt 3 from scipy import signal 4 5 1 D e f i n i o dos coeficientes do filtro 6 Hz 1 z 1 1 025z1 0125z2 01875z 3 7 b 1 1 0 0 Numerador 8 a 1 025 0125 01875 Denominador 9 10 2 R e a l i z a o em Cascata 11 E s t g i o 1 H1z 4zz14z22z1 em termos de z 1 1z 1 1 05z 1025z 2 12 b1 1 1 13 a1 1 05 025 14 15 E s t g i o 2 H2z 4z4z3 em termos de z 1 11075z 1 16 b2 1 17 a2 1 075 18 19 C o n v o l u o para verificar a cascata 20 bcascade nppolymulb1 b2 21 acascade nppolymula1 a2 22 23 print R e a l i z a o em Cascata 24 printCoeficientes b cascata bcascade 25 printCoeficientes a cascata acascade 26 27 3 R e a l i z a o em Paralela F r a e s Parciais 28 r p k signalresiduezb a 29 print R e a l i z a o em Paralela F r a e s Parciais 30 print R e s d u o s r 31 printPolos p 32 printTermos diretos k k 33 34 4 Resposta em F r e q u n c i a Magnitude e Fase 35 w h signalfreqzb a worN 8000 36 37 pltfigurefigsize 8 6 38 pltsubplot 211 39 pltplotw 20nplog10npabsh 40 plttitleResposta em F r e q u n c i a Magnitude 41 pltxlabel F r e q u n c i a radsample 42 pltylabelMagnitude dB 43 pltgrid 44 8 45 pltsubplot 212 46 pltplotw npangleh 47 plttitleResposta em F r e q u n c i a Fase 48 pltxlabel F r e q u n c i a radsample 49 pltylabelFase radianos 50 pltgrid 51 plttightlayout 52 pltshow 53 54 5 Estimativa da F r e q u n c i a de Corte 55 h0 npabsh0 56 cutoffmag h0npsqrt 2 57 idxcutoff npwherenpabsh cutoffmag00 58 wcutoff widxcutoff 59 print n F r e q u n c i a de corte estimada 4f radsampleformat wcutoff 60 61 6 Resposta ao Impulso 100 coeficientes 62 nimp 100 63 impulse npzerosnimp 64 impulse 0 1 Impulso u n i t r i o 65 himp signallfilterb a impulse 66 67 pltfigurefigsize 8 4 68 pltstemnparangenimp himp uselinecollectionTrue 69 plttitleResposta ao Impulso 100 coeficientes 70 pltxlabeln 71 pltylabelhn 72 pltgrid 73 pltshow 74 75 7 Diagrama de Polos e Zeros A n l i s e Adicional 76 z p signaltf2zpkb a 77 pltfigurefigsize 6 6 78 pltscatternprealz npimagz markero facecolorsnone edgecolorsb labelZeros 79 pltscatternprealp npimagp markerx colorr label Polos 80 plttitleDiagrama de Polos e Zeros 81 pltxlabelParte Real 82 pltylabelParte I m a g i n r i a 83 pltlegend 84 pltgrid 85 pltaxhline 0 colorblack lw 05 86 pltaxvline 0 colorblack lw 05 87 pltshow Listing 1 Código Python para Implementação do Filtro Digital 9 9 Conclusão Neste relatório demonstramos a implementação de um filtro digital por meio de duas abor dagens cascata e paralelo e confirmamos analiticamente que ambas geram os mesmos coeficientes A análise da resposta em frequência mostrou que o filtro apresenta carac terísticas de filtro passabaixa ganho máximo em DC e forte atenuação em ω π A frequência de corte foi definida como o ponto em que a magnitude cai para 1 2 do valor em DC Por fim a análise dos polos e zeros reforça a estabilidade do filtro visto que todos os polos estão no interior do círculo unitário 10