Introdução a Circuitos Elétricos Lineares II: Números Complexos e Impedância

Circuitos Elétricos Lineares II Números Complexos e Impedância Introdução 2 Senoide As senoides são definidas por três propriedades magnitude fase e frequência Muitos circuitos trabalham com tensões e correntes de mesma frequência e então as tensões e correntes podem ser utilizadas expressando sua magnitude e fase fasor Fasor Número complexo que representa a amplitude e a fase de uma senoide Em circuitos elétricos a frequência é sempre conhecida Os fasores fornecem uma maneira simples de analisar circuitos com fontes senoidais A solução de tais circuitos demandaria muito tempo caso contrário As técnicas apresentadas neste material lei de Ohm LKC LKT divisor de corrente divisor de tensão etc são também utilizadas em circuitos CA A única diferença é estão nas representações o CA são números complexos o CC são números reais 3 Introdução Antes de definir completamente fasores e aplicálos a análise de circuitos é preciso realizarmos uma revisão em números complexos Abaixo observase a representação do número complexo na forma retangular e polar respectivamente 4 Introdução Fasores e Números Complexos 5 Forma retangular onde x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z Forma polar onde r é a magnitude de z e ϕ o ângulo de fase Fasores e Números Complexos 6 Representação gráfica entre as formas retangular e polar Funções Trigonométricas 7 Função seno Função cosseno Função tangente Fonte Prof Gabriel Cremona Parma Fasores e Números Complexos 8 Operações básicas Considere os seguintes números complexos Adição e subtração são melhores realizadas na forma retangular Fasores e Números Complexos 9 Operações básicas Considere os seguintes números complexos Multiplicação e divisão são melhores realizadas na forma polar Fasores e Números Complexos 10 Operações básicas Considere os seguintes números complexos Fasores e Números Complexos 11 Operações básicas Considere os seguintes números complexos Fasores e Números Complexos 12 Representação Fasorial As representações fasoriais são baseadas na identidade de Euler A representação de Euler é uma representação de z em termos de suas coordenadas isto e A qual mostra que podese considerar cos e sen como as partes real e imaginaria isto é Fasores e Números Complexos 13 Dada uma senoide onde um fasor é uma representação complexa da magnitude e fase de uma senoide Resumindo Fasores e Números Complexos 14 Diagrama fasorial como um fasor tem magnitude e fase ele se comporta como um vetor e é escrito em negrito Transformação A frequência não é explicitamente mostrada na representação no domínio fasorial porque ω é constante A análise fasorial se aplica somente quando a frequência for constante Fasores e Números Complexos 15 EXEMPLOS 16 Exemplo 1 Se z1 3 j5 e z2 6 j8 encontre z1 z2 e z1z2 EXEMPLOS 17 Exemplo 1 Se z1 3 j5 e z2 6 j8 encontre z1 z2 e z1z2 EXEMPLOS 18 Exemplo 1 Se z1 3 j5 e z2 6 j8 encontre z1 z2 e z1z2 EXEMPLOS 19 Exemplo 2 Calcule os números complexos EXEMPLOS 20 Exemplo 2 Calcule os números complexos EXEMPLOS 21 Exemplo 2 Calcule os números complexos EXEMPLOS 22 Exemplo 2 Calcule os números complexos EXEMPLOS 23 Exemplo 2 Calcule os números complexos EXEMPLOS 24 Exemplo 2 Calcule os números complexos EXEMPLOS 25 Exemplo 3 Transforme as senoides em fasores EXEMPLOS 26 Exemplo 3 Transforme as senoides em fasores EXEMPLOS 27 Exemplo 3 Transforme as senoides em fasores Vamos transformar cos para sen utilizando a relação trigonométrica EXEMPLOS 28 Exemplo 4 Transforme a corrente I em senoide EXEMPLOS 29 Exemplo 4 Transforme a corrente I em senoide EXEMPLOS 30 Exemplo 4 Transforme a tensão V em senoide EXEMPLOS 31 Exemplo 4 Transforme a tensão V em senoide Exemplo 5 A partir de i₁t 4 cosωt 30 e i₂t 5 senωt 20 encontre a soma de i₁ e i₂ Exemplo 5 A partir de i₁t 4 cosωt 30 e i₂t 5 senωt 20 encontre a soma de i₁ e i₂ senωt 90 cos ωt i₁t 4 cosωt 30 4 senωt 30 90 Exemplo 5 A partir de i₁t 4 cosωt 30 e i₂t 5 senωt 20 encontre a soma de i₁ e i₂ i₁t 4 cosωt 30 4 senωt 30 90 I₁ 4120 I₂ 520 A partir de i1t 4 cosωt 30 e i2t 5 senωt 20 encontre a soma de i1 e i2 A partir de i1t 4 cosωt 30 e i2t 5 senωt 20 encontre a soma de i1 e i2 it 3218 senωt 3303 A Relações fasoriais para elementos de circuitos 37 Vamos aprender a transformar a tensãocorrente do domínio do tempo para o domínio fasorial para cada elemento passivo ou seja L C e R Resistor Relações fasoriais para elementos de circuitos 38 Resistor A relação tensãocorrente para um resistor no domínio fasorial também obedece a Lei de Ohm tal como no domínio do tempo Tempo Frequência Corrente em fase com tensão Relações fasoriais para elementos de circuitos 39 Indutor Para o indutor L vamos assumir que a corrente através dele seja 0 j 1 Relações fasoriais para elementos de circuitos 40 Indutor Magnitude ωLIm Fase ϕ 90º Assim tensão e corrente estão defasados de 90º ou seja a corrente está atrasada de 90º da tensão Relações fasoriais para elementos de circuitos 41 Capacitor Relações fasoriais para elementos de circuitos 42 Capacitor Magnitude ωCV Fase ϕ 90º Assim tensão e corrente estão defasados de 90º ou seja a corrente está adiantada de 90º da tensão Relações fasoriais para elementos de circuitos 43 Resumo Impedância 44 Impedância Z razão entre o fasor tensão e o fasor corrente medida em ohms Dessas três equações obtémse a Lei de Ohm para a forma fasorial EXEMPLO 1 45 Determine a corrente que flui através de um resistor de 8Ω conectado a uma fonte de tensão vst 110 cos377tV EXEMPLO 1 46 Determine a corrente que flui através de um resistor de 8Ω conectado a uma fonte de tensão vst 110 cos377tV A tensão vt 12 sen60t 45 é aplicada em um indutor de 01 H Encontre a corrente de regime permanente através do indutor A tensão vt 12 sen60t 45 é aplicada em um indutor de 01 H Encontre a corrente de regime permanente através do indutor V jωLI A tensão vt 12 sen60t 45 é aplicada em um indutor de 01 H Encontre a corrente de regime permanente através do indutor V jωLI ω 60 rads V 1245 V A tensão vt 12 sen60t 45 é aplicada em um indutor de 01 H Encontre a corrente de regime permanente através do indutor V jωLI ω 60 rads V 1245 V I VjωL 1245j60 01 1245690 245 A A tensão vt 12 sen60t 45 é aplicada em um indutor de 01 H Encontre a corrente de regime permanente através do indutor V jωLI ω 60 rads V 1245 V I VjωL 1245j60 01 1245690 245 A it 2 sen60t 45 A 52 Determine a corrente que flui através de um indutor de 4mH conectado a uma fonte de tensão vt 60 cos500t 65ºV EXEMPLO 3 53 Determine a corrente que flui através de um indutor de 4mH conectado a uma fonte de tensão vt 60 cos500t 65ºV EXEMPLO 3 ω 500 rads 60 65 90 vt 60 sen500t 65º 90V 60 25 54 Determine a corrente que flui através de um indutor de 4mH conectado a uma fonte de tensão vt 60 cos500t 65ºV EXEMPLO 3 60 25 500 0004 2 60 25 30 65º it 30 sen500t 65ºA 55 Determine a tensão sobre um capacitor de 2x106F quando a corrente através dele é igual a it 4 sen106t 25ºA EXEMPLO 4 Determine a tensão sobre um capacitor de 2x10⁶F quando a corrente através dele é igual a it 4 sen10⁶t 25A VI 1jωC I 4 25 A Z 1jωC 1j 10⁶ 2 10⁶ 1j2 j05 0590 57 Determine a tensão sobre um capacitor de 2x106F quando a corrente através dele é igual a it 4 sen106t 25ºA EXEMPLO 4 V Z x I x 05 90 4 25 V 2 65V vt 2 sen106t 65ºV 58 Uma fonte de corrente de it 10 sen377t 30ºA é aplicada a uma carga composta por um elemento simples A tensão resultante sobre o elemento é vt 65 cos377t 120ºV Que tipo de elemento é esse Calcule seu valor EXEMPLO 5 59 Uma fonte de corrente de it 10 sen377t 30ºA é aplicada a uma carga composta por um elemento simples A tensão resultante sobre o elemento é vt 65 cos377t 120ºV Que tipo de elemento é esse Calcule seu valor EXEMPLO 5 I 10 30 60 Uma fonte de corrente de it 10 sen377t 30ºA é aplicada a uma carga composta por um elemento simples A tensão resultante sobre o elemento é vt 65 cos377t 120ºV Que tipo de elemento é esse Calcule seu valor EXEMPLO 5 V 65 30 vt 65 cos 377t 120 vt 65 sen 377t 120 90 61 Uma fonte de corrente de it 10 sen377t 30ºA é aplicada a uma carga composta por um elemento simples A tensão resultante sobre o elemento é vt 65 cos377t 120ºV Que tipo de elemento é esse Calcule seu valor EXEMPLO 5 I 10 30 Z R 65 Ω V 65 30