La Place Funções Periódicas

CEFETRJ Campus UnED Angra dos Reis Disciplina Métodos Matemáticos Data 14082024 Professora Anderson Correa Porto Discente Matrícula Curso Semestre 20241 Trabalho Transformada de Laplace de Funções Periódicas Orientações gerais 1 Atentese para as orientações aqui fixadas 2 O trabalho consta de 3 questões somando 3 pontos 3 Respostas sem justificativas ou que não incluam os cálculos necessários não serão consideradas 4 O professor não irá tirar dúvidas sobre o trabalho A interpretação das questões faz parte da mesma 5 A atividade deve ser entregue preferencialmente a caneta 6 Bom Trabalho Questão 1 2 3 Total Valor 1 1 1 3 Pontuação 1 1 ponto Considere a função ft sinωt Faça o que se pede a Esboce o gráfico de f b Determine o período fundamental de f c Determine Lft 2 1 ponto Considere a função gt ta qt onde qt é a função Onda Dente de Serra Faça o que se pede a Esboce o gráfico de f b Determine o período fundamental de g c Determine Lgt 3 1 ponto Considere a função ft 1at Faça o que se pede a Esboce o gráfico de f b Determine o período fundamental de f c Determine Lft 1 a Um esboço do gráfico de f é ft senωt Pelo gráfico vemos claramente que o período fundamental é dado por P πω uma justificativa mais algebraica pode ser dada pelo seguinte sabemos que a função gt senωt tem período dado por Pg 2πω Ao tomar o módulo sobre a função g teremos que o período fundamental de g se reduz a metade pois onde gx 0 se reflete e fica com o sinal positivo c Para o cálculo da transformada de Laplace de uma função periódica f de período P usamos Lft 11 esP 0P ft est dt Assim Lsenωt 11 es 2πω 02πω senωt est dt note que senωt 0 11 es2πω 0πω senωt est dt t 0 πω Seja I 0πω senωt est dt estω cosωt 0πω 0πω 1ω est cosωt dt esπω 1ω 1ω estω senωt 0πω 1ω 0πω est ωt esπω 1 ω s2ω2 I I ωs2 ω2 esπω 1 logo Lsenωt ω1 es 2πω esπω 1s2 ω2 ωs2 ω2 A função f é a função onda quadrada a b Por definição o período fundamental de ft 1ta e dado por P 1aa 4a c Lft 11es aa ₀ a ftes t dt 11es aa ₀ 2a 1es t dt 2a a 1es t dt 11es aa 1s 1e2 aa 1s e4 aa e2 aa 11es aa 1s 1e2 aa2 2 Por definição temos que qt ta 0 t a qta qt t a Assim gt ta qt ta ta 0 t a ta qta t a 0 0 t a ta qta t 0 a gt é a função nula em períodos iguais de a tempos b Por construção P a é o período fundamental c Lgt 11 ea s ₀ a 0 es t dt 0 c Lft 11 es aa ₀ a ft es t dt 11 es aa ₀ 2a 1 es t dt 2a a 1 es t dt 11 es aa 1s 1 e2 aa 1s e4 aa e2 aa 11 es aa 1s 1 e2 aa2